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第5节 探究弹性势能的表达式
1．弹性势能
(1)概念：发生在弹性形变的物体各部分之间，由于____________________而具有的势能．
(2)相关因素：弹性势能与弹簧的________和________有关，在弹簧的形变量l相同时，弹簧的劲度系数k越大，弹簧的弹性势能________.在弹簧劲度系数k相同时，弹簧形变量越大，弹簧弹性势能________.
要点 探究弹性势能的表达式
有弹力相互作用
形变量
劲度系数
越大
越大
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)研究弹性势能要从分析弹力做功入手，对弹簧来说，规定弹簧长度为原长时，它的弹性势能为零，当弹簧被拉长或被压缩后，就具有了________.
(2)根据功是能量变化的量度可知，弹性势能的变化量与拉力对弹簧所做功的大小________.
弹性势能
相等
弹力做的功
(5)弹力做正功时，弹性势能________，弹力做负功时，弹性势能________；弹力做的功等于弹性势能的______________，即W＝－ΔEp＝Ep1－Ep2.
减少
增加
增量的负值
1．重力势能和弹性势能异同
考点一 对弹性势能的理解
项目
弹性势能
重力势能
定义
发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能
被举高的物体由于相对地球的位置发生变化而具有的势能
项目
弹性势能
重力势能
系统性
弹性势能是弹簧本身具有的能量
重力势能是物体与地球这一系统所共有的
功能关系
弹性势能的变化等于克服弹力所做的功
重力势能的变化等于克服重力所做的功
联系
两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的相对位置来决定，同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化
2.弹性势能的变化
如图所示，O为弹簧的原长处．
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能．
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp
弹力做多少正功，弹簧弹性势能就减少多少；
弹力做多少负功，弹簧弹性势能就增加多少．
利用这一关系可以求解弹力做功和弹性势能的变化．
正确理解弹性势能的相对性
如果我们规定了弹簧某一任意长度时的势能为零势能位置，在弹簧从零势能位置拉至某一位置的过程中，拉力所做的功就等于弹簧处于该位置的弹性势能．显然，这与规定自然长度为零势能时，从零势能位置拉至该位置的功是不同的．所以，弹簧在某一位置时的弹性势能是与零势能位置的规定有关的，弹性势能也具有相对性．为了在处理问题时方便，在通常情况下，我们规定弹簧处在原长时的势能为零势能．
【例题1】
关于弹性势能的大小，下列说法正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．当拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
思维导引：明确弹性势能大小的变化关系是解题的关键，弹性势能与劲度系数k有关，还与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大．
答案 C
解析
弹簧的弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能减小，当它变短时，它的弹性势能增大，在原长处时其弹性势能最小，选项A、B、D错误；当拉伸长度相同时，k越大的弹簧，需要克服弹力做功越多，它的弹性势能越大，选项C正确．
【变式1】
(多选)关于弹性势能，下列说法正确的是( )
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
答案
AC
D
解析
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，都具有弹性势能，选项A正确，B错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，选项C正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位都是焦耳，选项D正确．
1．弹性势能与拉力做功的关系
当弹簧的长度为原长时，设它的弹性势能为零，弹簧被拉长或压缩后就具有弹性势能．当缓慢拉伸时，弹簧的弹性势能应该与拉力所做的功相等．可见，探究某弹簧弹性势能的表达式，只需研究拉力做功的表达式即可．
考点二 探究弹性势能的表达式
2．拉力做功的计算
在拉伸弹簧的过程中，拉力是随弹簧的形变量变化的，拉力是变力．因此，拉力做功不能直接用功的公式W＝Flcos
α来求．那么，如何求出拉力做的功呢？与研究匀变速直线运动的位移方法类似，我们可以采用微元法和图象法．
(1)微元法
将弹簧的形变过程分成很多小段，如图所示，各个小段上近似认为拉力是不变的，所以，各个小段上，拉力做的功分别为W1＝F1Δl1，W2＝F2Δl2，W3＝F3Δl3，…，拉力在整个过程中做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＝F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋….
【例题2】
弹簧原长l0＝15
cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝20
cm时，作用在弹簧上的力为400
N，问：
(1)弹簧的劲度系数k为多少？
(2)在该过程中弹力做了多少功？
(3)弹簧的弹性势能变化了多少？
思维导引：在弹性限度内，弹簧的伸长量x与拉力F成正比，因此Fx图象是过原点的一条倾斜直线．
(3)弹性势能变化ΔEp＝－W＝10
J，ΔEp>0，表示弹性势能增加．
答案
(1)8
000
N/m (2)－10
J (3)增加10
J
【变式2】
如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp的说法正确的是( )
A．Ep1＝Ep2
B．Ep1>Ep2
C．ΔEp>0
D．ΔEp<0
答案 A
解析
开始时弹簧形变量为x1，有kx1＝mg，它离开地面时形变量为x2，有kx2＝mg，则x1＝x2，所以Ep1＝Ep2，ΔEp＝0，选项A正确．
1．(多选)关于弹性势能，下列说法正确的是
( )
A．发生弹性形变的物体具有弹性势能
B．弹性势能属于发生弹性形变的物体所独有
C．弹性势能属于发生弹性形变的物体与地球组成的系统所共有
D．发生弹性形变的物体，形变量越大，弹性势能就越大
答案 ABD
解析
发生弹性形变的物体能够对外做功，因而具有能量，也就是具有弹性势能；发生弹性形变时，只取决于物体本身，与其他物体无关，与地球无关，属于发生弹性形变的物体所独有，选项A、B正确，C错误．发生弹性形变的物体，形变量越大，弹性势能越大，选项D正确．
2．一根弹簧的弹力—位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8
cm
到伸长量4
cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A．3.6
J －3.6
J
B．－3.6
J 3.6
J
C．1.8
J －1.8
J
D．－1.8
J 1.8
J
答案 C
3．如图所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中正确的一组是( )
A．ΔE1＝ΔE2 ΔEp1＝ΔEp2
B．ΔE1＞ΔE2 ΔEp1＝ΔEp2
C．ΔE1＝ΔE2 ΔEp1＞ΔEp2
D．ΔE1＞ΔE2 ΔEp1＞ΔEp2
答案 B
解析
速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应同一位置，即ΔEp1＝ΔEp2；由于h1＞h2，所以ΔE1＞ΔE2.
4．如图所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个原长为L0的轻弹簧，其劲度系数为k，整个系统置于水平地面上，现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法正确的是( )探究弹性势能的表达式
1．如图所示是蹦床运动员在空中表演的情景．在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能、运动员的重力势能和动能的变化情况分别是( )
A．弹性势能减小，动能增大
B．重力势能增大，动能先增大后减小
C．弹性势能增大，重力势能增大
D．弹性势能增大，动能先增大后减小
B 解析
在运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床的弹性势能减小，而运动员的质量不变，高度增大，所以重力势能增大，此过程中，合力先是向上的，后是向下的，速度先增大后减小，动能先增大后减小，故选项B正确．
2．如图所示为弹弓的图片，弹弓是20世纪70～80年代孩子们比较喜爱的玩具．将弹丸放在图中的皮兜中，一手握住把手另一只手握紧皮兜，用力将橡皮筋拉长，放手后弹丸将被射出．用力将橡皮筋拉伸的过程中，下列说法正确的是( )
A．弹性势能主要储存在把手上
B．弹性势能主要储存在皮兜上
C．弹性势能主要储存在橡皮筋上
D．弹性势能主要储存在手上
C 解析
用力拉橡皮筋时，橡皮筋发生了明显的弹性形变，弹性势能主要储存在橡皮筋上，选项C正确．
3．如图所示为乌克兰名将布勃卡创造6.14
m的世界纪录的瞬间，之所以运动员能高高跃起跳过横杆，是因为撑竿能发生良好的弹性形变．则
( )
A．布勃卡手握撑竿刚与地面接触时撑竿的弹性势能最大
B．布勃卡跃过横杆的瞬间撑竿的弹性势能最大
C．布勃卡手握撑竿与地面接触后，到最高点以前的某位置撑竿的弹性势能最大
D．以上说法均错误
C 解析
撑竿的形变量最大时，弹性势能最大，撑竿刚触地和布勃卡到最高点的瞬间，撑竿没有发生形变，则弹性势能为零，选项C正确，A、B、D错误．
4．蹦极是一项比较刺激的娱乐项目，开始橡皮绳呈松弛状态，游客从高处跳下，经过一段时间橡皮绳开始拉伸，一直到最低点橡皮绳达到最长，则对游客在上述的过程中的描述错误的是( )
A．游客的重力对游客始终做正功
B．游客的重力势能一直减少
C．游客到达最低点时橡皮绳的弹性势能最大
D．当游客的速度最大时橡皮绳的弹性势能为零
D 解析
游客从跳下到最低点的过程中，重力一直做正功，重力势能一直减少，选项A、B正确；游客从高空跳下到橡皮绳达到原长的过程中，橡皮绳不做功，此后橡皮绳一直做负功，弹性势能一直增大，在最低点时橡皮绳的伸长量最大，弹性势能最大，选项C正确；当橡皮绳的拉力等于游客的重力时，游客的加速度为零，速度最大，此时弹性势能不等于零，选项D错误．
5．在“探究弹簧的弹性势能”实验中：
(1)(多选)如图甲所示，弹簧的一端固定，原来处于自然长度．现对弹簧的另一端施加一个拉力缓慢拉伸弹簧，关于拉力或弹簧弹力做功与弹簧弹性势能变化的关系，下列说法正确的是
( )
A．拉力做正功，弹性势能增加
B．拉力做正功，弹性势能减少
C．弹簧弹力做负功，弹性势能增加
D．弹簧弹力做负功，弹性势能减少
(2)由于拉力是变力，拉力做功可以分割成一小段一小段处理，每一小段的弹力可以近似看成是恒力，再把每一小段拉力做的功相加求和，可得W总＝F1Δl＋F2Δl＋F3Δl＋…某次实验中作出拉力F拉与弹簧伸长量x的关系图象如图所示，则在弹簧被拉长L的过程中，拉力做功为________．
解析
(1)拉力对弹簧做正功，则弹簧对外做负功，即弹簧克服拉力做功，此时弹性势能增加，故选项A、C正确；当弹簧弹力对外做正功时，弹性势能减小，此时外界对弹簧做负功，故选项B、D错误．(2)在弹簧被拉长L的过程中，由于弹力均匀变化，故可用平均力求功，即弹力做功，则拉力做功为.
答案
(1)AC (2)
6．某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型．图中k1、k2为原长相等的轻质弹簧．下列表述正确的是
( )
A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关
B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等
C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等
D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能都减少
B 解析
弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，选项A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两个弹簧相连，故它们之间的作用力等大，由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律F＝kx可知，两弹簧的长度不相等，选项B正确，C错误；两弹簧的弹力做负功，则两弹簧弹性势能都将增加，选项D错误．
7．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功W2，则这两次弹力做功的关系为
( )
A．W1＜W2
B．W1＝2W2
C．W2＝2W1
D．W1＝W2
D 解析
弹簧弹力做功仅与弹簧本身及形变量有关，不用考虑路径，只看起始与终止位置，选项D正确．
8．如图所示，在弹性限度内，将压缩量为x的弹簧缓慢拉伸至伸长量为x，关于这一过程中弹簧弹性势能的变化，下列说法正确的是( )
A．一直减小
B．一直增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
C 解析
根据弹簧的弹性势能的表达式Ep＝k(Δx)2可知，弹簧的形变量越大，弹性势能越大，将压缩量为x的弹簧缓慢拉伸至伸长量为x的过程中，弹簧的形变量先减小后增大，所以弹性势能先减小后增大，故选项C正确．
[能力提升]
9．通过探究得到弹性势能的表达式为Ep＝，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度．请利用弹性势能的表达式计算下列问题．
放在地面上的物体，上端系在劲度系数k＝400
N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示．手拉绳子的另一端，当往下拉0.1
m时，物体开始离开地面，继续拉绳，使物体缓慢升高到离地h＝0.5
m高处．如果不计弹簧质量和各种摩擦，求拉力所做的功以及弹簧的弹性势能．
解析
注意物体刚好离地条件，x＝0.1
m是解决本题的关键，并且物体缓慢升高时，拉力不变，刚好离开地面后拉力与物体重力的大小相等．
弹性势能Ep＝kx2＝×400×0.12
J＝2
J.
刚好离开地面时，G＝F＝kx＝400×0.1
N＝40
N，
则物体缓慢升高，F＝40
N，物体上升h＝0.5
m，
拉力克服重力做功W＝Fl＝mgh＝40×0.5
J＝20
J，
则拉力共做功W′＝(20＋2)
J＝22
J.
答案
22
J 2
J
10．如图所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻质弹簧，用手拉住弹簧上端将物体缓缓提高h，不计弹簧的质量，则人做的功应为多少？(设弹簧劲度系数为k)
解析
在物体离地之前，人的拉力(F＝kl)是变力，在物体离开地面之后，F＝mg.
可画出F随B点位移变化的图象，如图所示．
其中l0＝，在图中梯形面积代表拉力做的功W＝(h＋l0＋h)mg＝.
答案
11．一原长为l0＝15
cm的轻质弹簧水平放置，在一水平外力的作用下使其慢慢地伸长，且弹簧的长度始终在弹簧的弹性限度以内，经观测可知弹簧的长度为l1＝20
cm时，外力F0＝400
N．求：
(1)该轻质弹簧的劲度系数k；
(2)整个过程中弹簧的弹力做的功；
(3)弹簧所储存的弹性势能．
解析
(1)弹簧的劲度系数为
k＝＝
N/m＝
8
000
N/m.
(2)由于F＝kx，作出Fx图象如图所示，求出图中阴影面积，即弹力做功的绝对值．由于在弹簧伸长过程中，弹力方向与位移方向相反，故弹力在此过程中做负功．由图可得W＝－×0.05
J＝－10
J.
(3)弹簧所储存的弹性势能为ΔEp＝－W＝10
J.
答案
(1)8
000
N/m (2)－10
J (3)10
J
12．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0
kg的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10
m，力F做功2.5
J．此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50
N，如图所示，求：
(1)在木块下移0.10
m的过程中弹性势能的增加量；
(2)弹簧的劲度系数．
解析
(1)木块下移0.10
m过程中，力F和重力做的功全部用于增加弹簧的弹性势能，故弹性势能的增加量为
ΔEp＝WF＋mgh＝(2.5＋2.0×10×0.1)
J＝4.5
J.
(2)由平衡条件得，木块再次处于平衡时，F＝kh，
所以劲度系数k＝＝
N/m＝500
N/m.
答案
(1)4.5
J (2)500
N/m
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6探究弹性势能的表达式
1．(多选)(弹性势能的概念)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
[解析] 发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用都具有弹性势能，A正确，B错误；弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确；所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确．
[答案] ACD
2．(弹性势能的表达式)两个不同的弹簧A、B，劲度系数分别为k1、k2，且k1>k2.现用相同的力从自然长度开始拉弹簧，当弹簧稳定时，则下列说法正确的是( )
A．A弹簧的弹性势能大
B．B弹簧的弹性势能大
C．两弹簧的弹性势能相同
D．无法判断
[解析] 以相同的力F拉弹簧A、B，由胡克定律得A弹簧的伸长量l1＝，B弹簧的伸长量l2＝，由于k1>k2，故l1[答案] B
3．(弹性势能与重力势能的对比)关于弹性势能和重力势能，下列说法不正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
[解析] 重力势能、弹性势能都是相对于零势能点的，B错误，A、C、D正确．
[答案] B
4．(多选)(弹力做功与弹性势能变化的关系)将同一弹簧拉长或压缩相同长度，弹力大小变化相同，下列关于弹力做功和弹性势能变化的说法，正确的是( )
A．拉长时弹力做正功，弹性势能增加；压缩时弹力做负功，弹性势能减小
B．拉长和压缩时弹性势能均增加
C．对同一弹簧，拉长或压缩相同长度时，弹性势能的改变量相同
D．对同一弹簧，形变量相同时，弹性势能相同
[解析] 拉长时弹力做负功，弹性势能增加；压缩时弹力做负功，弹性势能增加，故A错误．拉长和压缩时，弹簧的形变量均增加，弹性势能均增加，故B正确．根据弹性势能的表达式Ep＝
k(Δl)2，拉长或压缩相同长度时，弹性势能的改变量相同，故C正确．对同一弹簧，形变量相同时，弹性势能也相同，故D正确．
[答案] BCD
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