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第8节 机械能守恒定律
1．动能和重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则________能转化为________能，若重力做负功，则________能转化为________能，转化过程中，动能与重力势能之和________.
要点一 动能和势能的相互转化
重力势
动
动
重力势
保持不变
2．动能和弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做________功，________势能转化为________能．
3．机械能
________势能、________势能和________能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
正
弹性
动
重力
弹性
动
1．内容
在只有________或________做功的物体系统内，________和________可以互相转化，而总的机械能________.
2．表达式
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或________
3．守恒条件
除重力和弹力外，其他力________.
要点二 机械能守恒定律
重力
弹力
动能
势能
保持不变
E1＝E2
不做功
1．机械能守恒的条件——只有重力或弹力做功
“只有重力或弹力做功”中的“弹力”指的是像弹簧一类的发生弹性形变而产生的弹力，不包含像支持力、绳的拉力之类的弹力．
考点一 机械能及其守恒条件的理解
正确理解机械能守恒的条件
(1)合力为零是物体处于平衡状态的条件．物体受到的合力为零时，它一定处于匀速运动状态或静止状态，但它的机械能不一定守恒．
(2)合力做功为零是物体动能守恒的条件．合力对物体不做功，它的动能一定不变，但它的机械能不一定守恒．
(3)只有重力做功或系统内弹力做功是机械能守恒的条件．只有重力对物体做功时，物体的机械能一定守恒；只有重力或系统内弹力做功时，系统的机械能一定守恒．
2．机械能是否守恒的判断
(1)从做功的角度考虑
①对于一个物体，若只有重力做功，而其他力不做功，则该物体的机械能守恒．
②对于由两个或两个以上物体(包括弹簧在内)组成的系统，如果只有重力做功或系统内弹力做功，则系统的机械能守恒．
(2)从能量转化的角度考虑
物体间只有动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统与外界没有机械能的转移，系统内部没有机械能与其他形式的能量的转化，则系统的机械能守恒．
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
思维导引：(1)判断单个物体的机械能是否守恒时，就看是否只有重力做功，其他力不做功或其他力做功的代数和为零．(2)对两个或几个物体组成的系统，判断机械能是否守恒时，就看是否只有重力或系统内弹力做功，若其他外力或内力做功(如内部有滑动摩擦力)，则系统机械能不守恒．
答案
BC
D
解析
甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功代数和为零，机械能守恒，选项B正确；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，选项C正确；丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，选项D正确．
【变式1】
关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A．物体做匀速运动，其机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，其机械能一定不守恒
C．物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒
D．物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2的匀加速运动，其机械能减少
答案 D
解析
物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项A错误；物体仅受重力作用，只有重力做功时，物体的机械能守恒，选项B、C错误；物体沿竖直方向向下做加速度为5
m/s2
的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，选项D正确．
1．机械能守恒定律的数学表达式有三种形式：
(1)从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即E2＝E1；或者Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
即系统的初始状态的机械能总量等于末状态的机械能总量．
(2)从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即ΔEA＝－ΔEB．
考点二 机械能守恒定律的理解与应用
(3)从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即ΔEk＝－ΔEp.
究竟选用哪种形式要视具体情况而定，在参考平面较易选取时一般应选(1)的形式，反之选用(2)或(3)的形式．形式(2)对应两个(或以上)物体组成的系统才可用．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
正确理解守恒的含义
“守恒”是一个动态概念，指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能总量总保持不变．
【例题2】
如图所示，总长为L的光滑匀质铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间，其速度多大？
思维导引：对于绳索、链条之类的物体，在运动过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否正确判断其重心的位置，就成了解决这类问题的关键．
解析
链条下滑时，每一节都要受到相邻两节的拉力，且合力不为零，即除重力以外还有其他力做功，故每一节机械能都不守恒，但因链条光滑，没有摩擦力做功，整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律来解．
【变式2】
如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多少？
在用机械能守恒定律解连接体问题时，一定要注意下面几个问题：
1．灵活地选取研究对象：应用机械能守恒定律必须准确地选择研究对象，研究对象选择得当则机械能守恒，研究对象选择不得当则机械能不守恒．
考点三 机械能守恒定律在连接体问题中的应用
2．正确判断机械能是否守恒：判断选定的研究对象的机械能是否守恒可从做功的角度或能量转化的角度考虑．一般连接体之间只有弹力相互作用时，内力做功代数和一定为零，若外力中只有重力做功，那么系统机械能守恒．
3．在连接体的机械能守恒问题中，不同物体的速度往往并不相等，而存在某种牵连关系，需要用速度的合成与分解进行辅助求解．
思维导引：(1)运动过程中，A和B均受到细线的拉力作用，细线的拉力做功，A和B的机械能都不守恒．
(2)若选取A和B及细线组成的系统为研究对象，则运动过程中只有重力做功，系统的机械能守恒．
1．下列说法正确的是
( )
A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合力不为零时，其机械能可能守恒
D．物体机械能的变化等于合力对物体做的功
答案 C
解析
机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，外力不做功即可，故选项A错误；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，故选项B错误；若物体做平抛运动、自由落体运动、竖直上抛、竖直下抛或斜抛运动只受重力作用，则机械能均守恒，故选项C正确；根据动能定理知，合力对物体做的功等于动能的变化，故选项D错误．
2．(多选)质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法正确的是( )
A．物体的势能减少2mgh
B．物体的机械能保持不变
C．物体的动能增加2mgh
D．物体的机械能增加mgh
答案
C
D
解析
重力做正功mgh，故重力势能减少mgh，选项A错误；除重力做功外，还有其他力做功，故机械能不守恒，选项B错误；合力的功为2mgh，故动能增加2mgh，选项C正确；除重力外，其他力做功mgh，故物体的机械能增加mgh，选项D正确．
4．如图所示，轻绳的一端挂一个质量为M的物体，另一端系在质量为m的圆环上，圆环套在竖直固定的细杆上，细杆与定滑轮相距0.3
m，将环拉至与滑轮同一水平高度上，再将环由静止释放．圆环沿杆向下滑动的最大位移为0.4
m．若不计一切摩擦阻力，求：
(1)物体与环的质量比；
(2)圆环下降0.3
m时速度的大小．(g取10
m/s2)机械能守恒定律
1．如图所示四个选项中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
C 解析
在A、B图中，木块受三个力作用，即重力、支持力和推力，因有外力F做功，故机械能不守恒；在D图中因有摩擦力做功，机械能也不守恒，在C图中只有重力做功，机械能守恒．
2．某人用平行于斜面的拉力将物体沿斜面拉下，已知拉力大小等于摩擦力大小，则下列说法正确的是( )
A．物体是匀速下滑的
B．合力对物体做的功等于零
C．物体的机械能减少
D．物体的机械能保持不变
D 解析
对物体进行受力分析可知，物体所受合力等于物体的重力沿斜面向下的分力，则物体一定加速下滑，故选项A、B错误；拉力和摩擦力大小相等，它们所做的总功为零，支持力不做功，相当于在下滑过程中只有重力做功，物体机械能保持不变，故选项C错误，D正确．
3．如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌面为参考平面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)
( )
A．mv＋mgh
B．mv－mgh
C．mv
D．mv＋mg(H－h)
C 解析
小球下落过程中机械能守恒，所以EA＝E0＝Ek＝mv.
4．(多选)如图所示是运动员在赛场上投三分球时的照片．现假设他的质量为m，双脚离开地面时速度为v，从开始下蹲至跃起过程中重心上升的高度为h，则下列说法正确的是( )
A．从地面跃起的过程中，地面支持力对他所做的功为零
B．从地面跃起的过程中，地面支持力对他所做的功为mv2＋mgh
C．离开地面后，他在上升过程和下落过程中机械能守恒
D．从下蹲到离开地面上升过程中，他的机械能守恒
AC 解析
运动员从地面跃起的过程中，地面支持力为零，对他所做的功为零，选项A正确，B错误；离开地面后仅有重力做功，机械能守恒，从下蹲到离开地面的过程中，机械能增大，选项C正确，D错误．
5．如图所示，mA＝2mB，不计摩擦力，A物体自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上．若以地面为参考平面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是( )
A．
B．
C．
D．
B 解析
A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v.
则有mAgh＝mAv2，可得v2＝2gh，
从开始到距地面的高度为h的过程中，系统减少的重力势能
ΔEp＝mAg(H－h)＝2mBg(H－h)，
系统增加的动能ΔEk＝(mA＋mB)v2＝(3mB)·2gh＝3mBgh，由ΔEp＝ΔEk得h＝H.
6．如图所示，A的质量为M，B和C的质量都是m，且2m>M>m，用劲度系数为k的轻弹簧连接A与地面，A与B、B与C用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮相连，C距离地面足够高，A、B物块距定滑轮足够远，不计一切阻力，下列说法正确的是( )
A．若剪断B与C之间的细绳，B的机械能先减少后增加
B．若剪断B与C之间的细绳，A的动能不断增加
C．若剪断轻弹簧，B与C的机械能减少量等于A的动能增加量
D．若剪断轻弹簧，A、B、C系统的重力势能减少量等于系统动能增加量
D 解析
剪断B与C之间的细绳，开始一段时间内B上升，绳的拉力对B做正功，故B的机械能先增加，选项A错误；剪断B与C之间的细绳，当A、B的加速度为零时A的动能最大，再压缩弹簧，A的动能又随之减小，选项B错误；剪断轻弹簧，A、B、C组成的系统机械能守恒，故B与C的机械能减少量等于A的机械能增加量，系统的重力势能减少量等于系统动能增加量，选项C错误，D正确．
7．(多选)如图所示，甲、乙两个小球质量相同，分别用细线悬挂在同一点上，悬线长分别为L甲、L乙，且L乙＝2L甲，若把甲球拉至使线处于水平的位置，把乙球拉至使线与竖直方向成θ＝60°角的位置，当两球同时由静止释放时，则它们下摆过各自的最低位置时，下列说法正确的是( )
A．有相同的机械能
B．有相同的动能
C．两小球各自做圆周运动经最低点时所受的向心力不同
D．悬线受到的拉力相同
BC 解析
选择悬点所在的水平面为零势面，知E甲＝0，E乙<0，故选项A错误；甲、乙两球都只有重力做功，故机械能守恒，从开始到最低点重力势能的减少量都等于mgL甲，故选项B正确；由F向＝m知，F向甲＝2F向乙，故选项C正确；在最低点时，对球受力分析知，悬绳拉力FT＝mg＋F向，FT不同，故选项D错误．
8．(多选)一物体从光滑斜面AB底端的A点以初速度v0上滑，沿斜面上升的最大高度为h.下列说法正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v0)( )
A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h
B．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点
C．若把斜面变成圆弧形D，物体仍沿圆弧升高h
D．若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h
BD 解析
选项A中物体冲过C点后做斜抛运动，在最高点时速度不为零，由机械能守恒知，选项A错误；选项B中物体到达最高点时速度为零，选项B正确；选项C中物体到达最高点后速度不为零，选项C错误；选项D中物体若上升到最大高度时，低于圆心位置，速度为零，上升的最大高度为h，若上升到最大高度时高于圆心位置，速度必不为零，则上升的最大高度小于h，选项D正确．
[能力提升]
9．(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时OB与地面相垂直，放手开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是( )
A．A球到达最低点时速度为零
B．A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量
C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度
D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度
BCD 解析
支架在摆动过程中系统的机械能守恒，故选项D正确；设单个小球的机械能为E，则EA1＋EB1＝EA2＋EB2，即ΔEA减＝ΔEB增，故选项B正确；由于mA>mB，故A球运动到最低位置时A球重力势能的减少量大于B球重力势能的增加量，系统减少的重力势能转化为系统的动能，故此时A、B两球有速度将继续向左摆，故选项A错误，C正确．
10．(多选)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点．已知杆与水平面之间的夹角θ＜45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是
( )
A．小球的动能与重力势能之和保持不变
B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和增大
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
BC 解析
以弹簧为研究对象，小球运动过程中，弹簧的形变量先变小到原长，后变大，所以弹簧的弹性势能Ep1先减小后增大，再以弹簧和小球组成的系统为研究对象，只有重力、弹力做功，所以系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能Ep1、小球的动能Ek和重力势能Ep2之和保持不变，即Ek＋Ep1＋Ep2＝恒量，由于Ep1先减小后增大，选项A错误，B正确；由于Ep2一直减小，所以Ek与Ep1之和一直增大，选项C正确；由题意知，小球的速度先增大后减小，即Ek先增大后减小，所以Ep1与Ep2之和先减小后增大，选项D错误．
11．质量为50
kg的男孩在距离河面40
m高的桥上做“蹦极跳”，未拉伸前，长度为15
m的弹性绳AB一端缚着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图甲所示，男孩从桥面下坠，达到的最低点为水面上的一点D，假定绳在拉伸状态遵循胡克定律．不计空气阻力、男孩的身高和绳的重力，g取10
m/s2.男孩的速率v跟下坠的距离x的变化关系如图乙所示，男孩在C点时的速度最大．
试探究如下几个问题：
(1)当男孩在D点时，求绳所储存的弹性势能；
(2)绳的劲度系数是多少？
(3)就男孩在AB、BC、CD期间的运动，试讨论作用于男孩的力．
解析
(1)ΔEk＝mghAD－Ep＝0，所以Ep＝mghAD＝2×104
J.
(2)当v＝vm＝20
m/s时，有mg＝kx＝k(23－15)，
所以k＝
N/m＝62.5
N/m.
(3)AB间仅受重力作用；BC间受重力和弹力作用，且重力大于弹力；CD间受重力和弹力作用，且弹力大于重力．
答案
(1)2×104
J (2)62.5
N/m (3)见解析
12．如图所示，ABC和ABD为两个光滑固定轨道，A、B、E在同一水平面上，C、D、E在同一竖直线上，D点和C点距水平面的高度分别为h、2h，滑块从A点以初速度v0分别沿两轨道滑行到C点和D点后水平抛出．
(1)求滑块落到水平面时，落地点与E点间的距离sC和sD；
(2)为实现sC＜sD，v0应满足什么条件？
解析
(1)设抛出点高度为y，根据机械能守恒定律有
mv＝mv2＋mgy，
所以滑块做平抛运动的初速度v＝，
滑块做平抛运动的时间t满足y＝gt2，即t＝，
所以滑块落点与E点间的距离为s＝vt＝，
分别将y＝2h，y＝h代入得
sC＝2·，sD＝.
(2)为实现sC＜sD，即2＜，
解得v0＜，
因为滑块到达C点后必须能够水平抛出，即
vC＝＞0，所以v0＞2，
故为实现sC＜sD，初速度v0应满足2＜v0＜.
答案
(1)sC＝2· sD＝
(2)2＜v0＜
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6机械能守恒定律
1．(多选)(机械能守恒的条件判定)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
[解析] 题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．题图乙中拉力F做功，机械能不守恒．题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒．题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．
[答案] CD
2．(对机械能守恒定律的理解)关于机械能守恒的叙述，正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒
B．做变速直线运动的物体机械能不可能守恒
C．合外力为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体的机械能不一定守恒
[解析] 物体做匀速直线运动，意味着所受合外力为零，但并不一定满足机械能守恒的条件，故选项A正确，C错误；只要满足机械能守恒的条件，不论物体做变速直线运动，还是变速曲线运动，机械能均守恒，故选项B错误；只有系统内的重力对物体做功时，机械能一定守恒，故选项D错误．
[答案] A
3．(机械能守恒定律的应用)如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A.mv＋mgh
B.mv－mgh
C.mv
D.mv＋mg(H－h)
[解析] 小球下落过程机械能守恒，所以EA＝E初＝mv，C正确．
[答案] C
4．(用转化法认识机械能守恒)如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．小球下降阶段下列说法中正确的是( )
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加
D．从A→D位置小球重力势能的减少大于弹簧弹性势能的增加
[解析] 小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，C到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确．小球下降过程中，重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒；从A→C位置小球重力势能的减少等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误．小球下降过程中，重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒；从A→D位置，动能变化量为零，故小球重力势能的减小等于弹性势能的增加，故D错误．
[答案] B
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