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第9节 实验：验证机械能守恒定律
1．实验目的
(1)学会利用自由落体运动验证机械能守恒定律．
(2)进一步熟练掌握应用打点计时器研究物体运动的方法．
2．实验原理及方法
用研究物体自由下落的运动来验证机械能守恒定律，其实验原理是忽略空气阻力，自由下落的物体在运动过程中机械能守恒，即动能的增加量等于重力势能的减少量．
考点一 实验：验证机械能守恒定律
4．实验步骤及数据处理
(1)按图中的装置固定好打点计时器，并用导线将打点计时器接到电压合适的交流电源上(电火花计时器要接到220
V交流电源上，电磁打点计时器要接到4～6
V的低压交流电源上)．
(2)将纸带的一端用小夹子固定在重物上，使另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提着纸带，使重物静止在靠近打点计时器的地方．
(3)接通电源，松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打下一系列点．
(4)换几条纸带，重复上面的实验．
(5)从几条打上了点的纸带上挑选第一、二两点间距离接近2
mm且点迹清晰的纸带进行测量．
【例题1】
用如图所示实验装置验证m1、m2组成的系统机械能守恒．m2从高处由静止开始下落，m1向上拖着的纸带打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．如图给出的是实验中获取的一条纸带：0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个点(图中未标出)，计数点间的距离已在图中标出．已知m1＝50
g，m2＝150
g．(g取9.8
m/s2，结果保留两位有效数字)
思维导引：本题中的研究对象是由两个物体组成的连接体，数据的处理方式与落体法相似．利用纸带上的数据可以得到两物体高度的变化，根据纸带上的点计算出速度，也可以得到动能的变化．
【变式1】
如图所示为某小组的同学利用落体法验证机械能守恒定律的实验，实验室提供的器材为图中的铁架台、电磁打点计时器、纸带、重物．
(1)为了能够得出本实验的结论，必需的实验器材有________.
A．刻度尺
B．计时用的停表
C．稳恒的低压直流电源
D．低压交流电源
(2)实验中误差产生的原因有_______________________.(写出两个原因)
解析
(1)在“验证机械能守恒定律”的实验中，应用刻度尺测量出计数点之间的距离，选项A符合题意；电磁打点计时器应用低压交流电源，且本身就是一个计时仪器，选项D符合题意，选项B、C不符合题意．(2)纸带与电磁打点计时器之间有摩擦；用刻度尺测量纸带上计数点间的距离时读数有误差；交流电频率不稳定等．
答案
(1)AD (2)见解析
1．注意事项
(1)打点计时器安装时，必须使纸带两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．铁架台上的固定打点计时器的夹子不可伸出太长，以防铁架台翻倒．打点计时器离地面高度约1
m．实验用的纸带长60
cm左右即可．
考点二 注意事项和误差分析
(4)测量下落高度时，都必须从起始点算起，不能搞错，为了减小测量h时的相对误差，选取的各个计数点要离起始点远一些．
(5)因不需要知道动能和势能的具体数值，所以不需要测量重物的质量．
(6)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小．
2．误差分析
(1)做好本实验的关键是尽量减小重物下落过程中的阻力，但阻力不可能完全消除．本实验中，误差的主要来源是纸带受到的摩擦力和空气阻力．由于重物及纸带在下落过程中要不断地克服阻力做功，因此物体动能的增加量必小于重力势能的减少量，这是系统误差．减小系统误差的方法：选用密度大的实心重物、重物下落前纸带应保持竖直或选用电火花计时器等．
(2)若将电火花计时器高高地固定在铁架台的铁杆上，则实验操作时容易晃动．最好将电火花计时器下移，使之紧贴铁架台的底座或实验桌面，这样比较稳固．
(3)减小测量长度造成的误差的办法：测距离都应从起点O量起，下落高度h应适当大些(下落高度过小，h不易准确测量；下落高度过大，由于阻力影响造成的误差大)；还可多测几次取平均值．
(4)交流电源的频率f不是50
Hz也会带来误差．若f>50
Hz，但速度值仍根据频率为50
Hz计算，频率的计算值比实际值偏小，周期值偏大，算得的速度值偏小，动能值也就偏小，使EkHz，则可能出现Ek>Ep的结果．
(5)实验用的纸带一般小于1
m，从起始点开始大约能打出20个点．终结位置的点可选择倒数第二个点，从这一个点向前数4～6个点当作开始的点，可以减小这两个点瞬时速度及两点之间距离(高度差Δh)测量的误差．
【例题2】
在“验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所用电源的频率为50
Hz，当地重力加速度的值为9.80
m/s2，所用重物的质量为1.00
kg.甲、乙、丙三个学生分别用同一装置打出三条纸带，量出各纸带上第一、二两点间的距离分别为0.18
cm、0.19
cm和0.25
cm，可看出其中肯定有一个学生在操作上有错误，错误操作是________.若按实验要求正确地选出纸带进行测量，量得连续三点A、B、C到第一个点的距离如图所示(相邻计数点时间间隔为0.02
s)，那么
(4)通过计算，数值上ΔEp________ΔEk(选填“＞”“＝”或“＜”)，这是因为________.
(5)实验的结论是________.
【变式2】
在做“验证机械能守恒定律”的实验时，发现重物减少的重力势能总是略大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不规范，实验数据测量不准确
答案 C
解析
因为摩擦力和空气阻力的存在，重力势能未能完全转化为动能，选项C正确．
【例题3】
DIS实验是利用现代信息技术进行的实验．老师上课时“用DIS研究机械能守恒定律”的装置如图甲所示，在某次实验中，选择DIS以图象方式显示实验的结果
，所显示的图象如图乙所示．图象的横轴表示摆球距D点的高度h，纵轴表示摆球的重力势能Ep、动能Ek或机械能E.试回答下列问题．
考点三 创新实验设计
(1)图乙的图象中，表示小球的重力势能Ep、动能Ek、机械能E随摆球距D点的高度h变化关系的图象分别是________.(按顺序填写相应图象所对应的文字)
(2)根据图乙所示的实验图象，可以得出的结论是______________________________________________.
解析
(1)摆球运动过程中机械能守恒，①为E
?
h图象；重力势能Ep＝mgh，则②为Ep?h图象；动能Ek＝E－mgh，则③为Ek?h图象．
(2)由图中图象观察分析，对于任一相同的横坐标，②、③的纵从标之和等于①的纵坐标，则在误差允许的范围内，摆球在运动过程中机械能守恒．
答案
(1)②、③、① (2)在误差允许的范围内，摆球在运动过程中机械能守恒
【变式3】
某同学利用如图甲所示的实验装置“验证机械能守恒定律”．弧形轨道末端水平，离地面的高度为H，将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为x.
(1)若轨道完全光滑，x2与h的理论关系应满足x2＝________.(用H、h表示)
请在如图乙所示的坐标纸上作出x2h关系图．
(3)对比实验结果与理论计算得到的x2h关系图线(图乙中已画出)可得，自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率________(选填“小于”或“大于”)理论值．
(4)从x2?h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率偏差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是_________________________.
1．在“验证机械能守恒定律”实验中，下列说法正确的是( )
A．必须测量重物的质量
B．必须用秒表测出重锤下落的时间
C．把秒表测得的时间代入v＝gt，计算重锤的速度
D．释放纸带前，手捏住纸带上端并使纸带处于竖直
答案 D
答案 AB
3．(多选)如图所示是用自由落体法验证机械能守恒定律时得到的一条纸带．有关尺寸在图中已注明．我们选中n点来验证机械能守恒定律．下面举一些计算n点速度的方法，其中正确的是( )
(2)根据纸带算出各点的速度v，量出下落距离h，则以v2为纵轴，以h为横轴，画出的图线应是图中的( )实验：验证机械能守恒定律
[基础训练]
1．(多选)在“验证机械能守恒定律”的实验中，对于自由下落的重物，下述选择的条件更为有利的是
( )
A．只要足够重就可以
B．只要体积足够小就可以
C．既要足够重，又要体积足够小
D．应该密度大些，还应便于夹紧纸带
CD 解析
在“验证机械能守恒定律”的实验中，阻力与重力相比越小，实验中的误差就越小，所以选择下落的重物时应既要重，又要体积足够小，即密度要大些，而且还应便于夹紧纸带，故选项C、D正确．
2．在“验证机械能守恒定律”的实验中，某同学依据纸带求得相关各点的瞬时速度，以及与此相对应的下落距离h，以v2为纵轴，以h为横轴，建立坐标系，描点后画出变化图线，从而验证机械能守恒定律，若所有操作均正确，则得到的v2h图象应是图中的
( )
C 解析
由mv2＝mgh得v2＝2gh，所以v2∝h，所画v2?h图象是一条过原点的直线．
3．在做“验证机械能守恒定律”的实验时，实验小组不慎将一条选择好的纸带的前面一部分损坏了，剩下的一部分纸带上各点间的距离如图所示的数值，已知打点计时器的周期为T＝0.02
s，重力加速度g＝9.8
m/s2；重锤的质量为m，已知S1＝0.98
cm，S2＝1.37
cm，S3＝1.76
cm，则记录B点时重锤的动能EkB＝__J，记录C点时重锤的动能EkC＝____J；重锤从B点到C点重力势能变化量是__J，动能变化量是__J.从而可以得出结论：________________________.(计算结果保留三位有效数字)
解析
B点的速度为vB＝＝
m/s＝0.587
5
m/s，所以B点动能为EkB＝mv＝0.173m
J，C点的速度为vC＝＝
m/s＝0.782
5
m/s，C点动能为EkC＝mv＝0.306m
J，重锤重力势能的变化量是ΔEp＝mghBC＝0.134m
J，重锤动能的变化量是ΔEk＝EkC－EkB＝0.133m
J．由于存在摩擦阻力，因此重力势能的减少量略大于动能增加量，在误差允许范围内，机械能是守恒的．
答案
0.173m 0.306m 0.134m 0.133m 在误差范围内，机械能守恒
4．利用如图所示装置进行验证机械能守恒定律的实验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h，某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案．
A．用刻度尺测出物体下落高度h，并测出下落时间t，通过v＝gt计算出瞬时速度v.
B．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v＝计算出瞬时速度．
C．根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度，并通过h＝计算出高度h.
D．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v.
(1)以上方案中只有一种最合理，最合理的是________．(填入上述相应的字母)
(2)要使该实验误差尽量小，下述注意点正确的是________．(填入下述相应的字母)
A．使重物的质量越大、体积越小就越好，但悬挂时不能拉断纸带
B．选用电火花计时器比电磁打点计时器更好，可减小阻力影响
C．测长度时保持纸带悬挂状态，刻度尺的读数更准确
D．纸带上留下的点越大越好
E．纸带越长越好
解析
(1)A、B、C中用匀变速直线运动公式求v及h，这样得到的v、h不是实验直接测量数据，不能达到验证机械能守恒定律的目的．(2)纸带太长，会增大阻力做功．
答案
(1)D (2)AB
[能力提升]
5．在进行实验验证机械能守恒定律时，所用的电源为学生电源，输出电压为6
V的交流电和直流电两种．重锤从高处由静止开始落下，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点的痕迹进行测量，即可验证机械能守恒定律．
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．安装实验仪器
B．将打点计时器接到电源的直流输出端上
C．用天平测量出重锤的质量
D．先释放纸带，再接通电源开关打出一条纸带
E．测量打出的纸带上某些点之间的距离
F．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能
指出其中没有必要进行的或者操作不恰当的步骤，并说明其原因．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)利用这个装置也可以测量重锤下落的加速度a的数值，如图所示．根据打出的纸带，选取纸带上打出的连续五个点A、B、C、D、E，测出A点距起始点O的距离为l0，点A、C间的距离为l1，点C、E间的距离为l2，使用交流电的频率为f，则根据这些条件计算重锤下落的加速度a的表达式为a＝____.
(3)在“验证机械能守恒定律”的实验中发现，重锤减少的重力势能总是大于重锤增加的动能，其原因主要是因为在重锤下落过程中存在着阻力的作用，可以通过该实验装置测定该阻力的大小．若已知当地重力加速度公认的较准确的值为g，还需要测量的物理量是________.试用这些物理量和纸带上的测量数据表示出重锤下落的过程中受到的平均阻力大小F＝______.
解析
(1)选项B错误，应该接到电源的交流输出端；选项D错误，应该先接通电源，再释放纸带；选项C不必要，因为根据实验原理，重力势能和动能中都包含了m，不测出m，也可以进行比较．
(2)由Δl＝at2得，a＝＝＝f2.
(3)根据牛顿第二定律有mg－F＝ma，所以F＝mg－ma＝
m[g－]，故需要测量的物理量是质量m.
答案
(1)见解析 (2)f2 (3)质量m m[g－]
6．用气垫导轨装置验证机械能守恒定律，先非常仔细地把导轨调成水平，然后如图所示用垫块把导轨一端垫高H.滑块m上面装l＝3
cm的挡光框，使它由轨道上端任一处滑下，测出它通过光电门G1和G2时的速度v1和v2，就可以算出它由G1到G2这段过程中动能的增加量ΔEk＝
m(v－v)；再算出重力势能的减少量ΔEp＝mgh；比较ΔEk和ΔEp的大小，便可验证机械能是否守恒．
(1)已知两光电门间的距离为x，滑块的速度v1、v2如何求出？滑块通过G1时的高度h如何求出？
(2)若测得图中L＝1
m，x＝0.5
m，H＝20
cm，m＝500
g，滑块通过G1和G2的时间分别为5.0×10－2
s和2.0×10－2
s，当地重力加速度
g＝9.80
m/s2，试判断机械能是否守恒．
解析
(1)因为挡光框宽度很小，可认为通过两挡光框时的平均速度等于通过G1、G2两位置的瞬时速度，所以v＝，由相似原理，可得＝，便可求得h＝x，H、L、x都是已知的．
(2)v1＝＝0.6
m/s，v2＝＝1.5
m/s，
动能的增加量ΔEk＝m(v－v)≈0.473
J，h＝x＝0.1
m，重力势能的减少量ΔEp＝
mgh＝0.490
J，在误差允许的范围内可认为机械能守恒．
答案
见解析
7．某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的简易示意图如图所示，当有不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间．所用的西欧XDS—007光电门传感器可测的最短时间为0.01
ms.将挡光效果好、宽度为d＝3.8×10－3
m的黑色磁带贴在透明直尺上，从一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门．某同学测得各段黑色磁带通过光电门的时间Δti与图中所示的高度差Δhi，并将部分数据进行了处理，结果如下表所示．(取g＝9.8
m/s2，注：表格中M为直尺质量)
Δti(10－3s)
vi＝(m·s－1)
ΔEki＝Mv－Mv
Δhi(m)
mgΔhi
1
1.21
3.14
—
—
—
2
1.15
3.31
0.55M
0.06
0.59M
3
1.00
3.80
2.29M
0.24
2.35M
4
0.95
4.00
3.07M
0.32
3.14M
5
0.90
0.41
(1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是vi＝求出的，请你简要分析该同学这样做的理由是_________________________________________.
(2)请将表格中数据填写完整．
(3)通过实验得出的结论是_____________________________________________.
(4)根据该实验判断下列ΔEkΔh图象中正确的是( )
解析
(1)瞬时速度等于极短时间或极短位移内的平均速度．
(2)根据vi＝得v5＝4.22
m/s；根据ΔEki＝M(v－v)得ΔEk5＝3.97M，MgΔh5＝4.02M.
(3)在误差允许的范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量．
(4)根据动能定理得MgΔh＝ΔEk，所以图线斜率k＝＝Mg，应该是一条过原点的倾斜直线，选项C正确．
答案
(1)瞬时速度等于极短时间或极短位移内的平均速度
(2)4.22 3.97M 4.02M (3)在误差允许的范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量 (4)C
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5实验：验证机械能守恒定律
1．(多选)(实验原理与操作)用自由落体法验证机械能守恒定律，就是看mv是否等于mghn(n为计数点的编号0、1、2…n)．下列说法中正确的是( )
A．打点计时器打第一个点0时，重物的速度为零
B．hn是计数点n到起始点0的距离
C．必须测量重物的质量
D．用vn＝gtn计算vn时，tn＝(n－1)T(T为打点周期)
[解析] 本实验的原理是利用重物的自由落体运动来验证机械能守恒定律．因此打点计时器打第一个点时，重物运动的速度应为零，A正确；hn与vn分别表示打第n个点时重物下落的高度和对应的瞬时速度，B正确；本实验中，不需要测量重物的质量，因为公式mgh＝mv2的两边都有m，故只要gh＝v2成立，mgh＝mv2就成立，机械能守恒定律也就被验证了，C错误；实验中应用公式vn＝来计算vn，D错误．
[答案] AB
2．(实验步骤的考查)在利用自由落体运动验证机械能守恒定律的实验中，电源的频率为50
Hz，依次打出的点为0,1,2,3，…，n.
(1)如用点2到点6之间的纸带对应的运动过程来验证，必须直接测量的物理量为________________、________________、________________，必须计算出的物理量为________________、________________，验证的表达式为________________．
(2)下列实验操作步骤合理的排列顺序是________(填写步骤前面的字母)．
A．将打点计时器竖直安装在铁架台上
B．接通电源，再松开纸带，让重物自由下落
C．取下纸带，更换新纸带(或将纸带翻个面)重新做实验
D．将重物固定在纸带的一端，让纸带穿过打点计时器，用手提着纸带
E．选择一条纸带，用刻度尺测出物体下落的高度h1，h2，h3，…，hn，计算出对应的瞬时速度v1，v2，v3，…，vn
F．分别算出v和ghn，在实验误差允许的范围内看二者是否相等
[解析] (1)要验证从点2到点6之间的纸带对应的重物的运动过程中机械能守恒，应测出点2到点6的距离h26；要计算出点2和点6对应的瞬时速度v2和v6，必须测出点1到点3之间的距离h13和点5到点7之间的距离h57；机械能守恒的表达式为gh26＝v－v.
(2)实验操作顺序为ADBCEF.
[答案] (1)点2到点6之间的距离h26
点1到点3之间的距离h13
点5到点7之间的距离h57
点2对应的瞬时速度v2
点6对应的瞬时速度v6
gh26＝v－v
(2)ADBCEF
3．(实验数据的处理)在“用自由落体法验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所接交流电频率为50
Hz，当地重力加速度g＝9.8
m/s2.实验选用重锤质量为m，O是打下的第1点，从所打纸带中选择一条合适的纸带，此纸带第1、2点间的距离接近________(结果取1位有效数字)．纸带上连续的点A、B、C、D至第1点O的距离如下图所示，则重锤从O运动到C，重力势能减少________．重锤经过C时的速度为________m/s.其动能增加________．
[解析] 1、2点的距离h＝gt2＝×9.8×0.022
m＝1.96
mm≈2
mm，重锤从O运动到C，重力做功WG＝mg·hOC＝9.8m×56.1×10－2
J≈5.50m
J.
故重力势能减少5.50m
J，重锤过C点时的速度：
vC＝＝
m/s＝3.3
m/s，
增加的动能ΔEk＝mv＝×m×3.32
J≈5.45m
J.
[答案] 2
mm 5.50m
J 3.3 5.45m
J
4．(图象法处理实验数据)在用“落体法”做“验证机械能守恒定律”的实验时，某同学选择一条较为满意的纸带，如下图甲所示．他舍弃前面密集的点，以0为起点，从点1开始选取纸带上连续点1、2、3…，测出点0到点1、2、3的距离分别为h1、h2、h3，打点周期为T.
(1)打点2时，重锤速度v2的表达式为________．(用已知量表示)
(2)该同学用实验测得数据画出的－h图象如图乙所示，图线不过坐标原点的原因是________．
A．重锤在下落过程中受到空气阻力的作用
B．安装打点计时器时两限位孔不在同一竖直线上
C．打下0点时重锤有一定的速度
[解析] (1)根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，打2点时重锤的瞬时速度v2＝.
(2)图线不过坐标原点，即h＝0时，速度不为零，可知打下0点时重锤有一定的速度，故A、B错误，C正确．
[答案] (1) (2)C
5．(连接体机械能守恒问题)如图所示，两个质量各为m1和m2的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知m1>m2.现要利用此装置验证机械能守恒定律．
(1)若选定物块A从静止开始下落的过程中进行测量，则需要测量的物理量有________(填序号)．
①物块的质量m1、m2；
②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度．
(2)为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：
①软绳的质量要轻；
②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好；
③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；
④两个物块的质量之差要尽可能小．
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是________．(填序号)
(3)写出一条上面没有提到的对提高实验结果准确程度有益的建议：________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
[答案] (1)①②或①③
(2)①③
(3)例如：“对同一高度进行多次测量取平均值”、“选取受力后相对伸长量尽量小的绳”、“尽量减小滑轮的质量”、“对滑轮转动轴进行润滑”、“选择质量相对较大的物块A、B”等等(任选一个即可)
6．(创新实验)如图为验证小球做自由落体运动时机械能守恒的实验装置图．图中O点为释放小球的初始位置，A、B、C、D各点为固定速度传感器的位置，A、B、C、D、O各点在同一竖直线上．
(1)已知当地的重力加速度为g，则要完成实验，还需要测量的物理量是________．
A．小球的质量m
B．小球下落到每一个速度传感器时的速度v
C．各速度传感器与O点之间的竖直距离h
D．小球自初始位置至下落到每一个速度传感器时所用的时间t
(2)作出v2－h图象，由图象算出其斜率k，当k＝________时，可以认为小球在下落过程中系统机械能守恒．
(3)写出对减小本实验误差有益的一条建议：______________________________.
[解析] (1)小球做自由落体运动时，由机械能守恒定律得mgh＝mv2，即gh＝v2，故需要测量小球下落到每一个速度传感器时的速度v和下落的高度h，不需要测量小球的质量m和下落的时间t，故B、C正确，A、D错误．
(2)由mgh＝mv2得v2＝2gh，则v2－h图象的斜率k＝2g.
(3)为了减小测量的相对误差，建议相邻速度传感器间的距离适当大些；为减小空气阻力的影响，建议选用质量大、体积小的小球做实验等．
[答案] (1)BC (2)2g (3)相邻速度传感器之间的距离适当大些(或选质量大、体积小的小球做实验)
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