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13.3.2 等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等腰三角形的性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
等腰三角形的性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).
等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
学习目标
1、理解等腰三角形的判定,体会等腰三角形“等边对等角”和“等角对等边”的区别.
2、探索并掌握等腰三角形的判定的过程,并用以解决实际问题.
课堂导入
思考:如果有一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角相等.反之,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
猜想:如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边相等.
你能证明这个结论吗?
新知探究
如图,在△ABC中,
∠B=∠C.求证:AB=AC.
A
C
B
D
证明:如图,作∠BAC的平分线AD交BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD.
∵在△ABD和△ACD中,
∠B=∠C,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴
AB=AC.
新知探究
等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
知识点1
几何语言:如图,在△ABC中,
∵∠B=∠C,
∴AB=AC.
A
B
C
“等角对等边”不能叙述为:如果一个三角形有两个底角相等,那么它的两条腰相等.因为在未判定出它是等腰三角形之前,不能用“底角”、“顶角”、“腰”这些名词.
新知探究
知识点1
新知探究
知识点1
“等边对等角”和“等角对等边”的区别:
由三角形的两边相等得出它们所对的角相等是性质;由三角形的两角相等得出它是等腰三角形是判定.
等腰三角形的性质:
等腰三角形的判定:
两边相等
这两边所对的角相等
两角相等
这两角所对的边相等
新知探究
例1:求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
分析:命题的证明首先需要将命题转化为已知、求证的格式,再要根据题意画出图形,最后证明结论的成立.
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD//BC.
求证:AB=AC.
A
B
C
D
E
1
2
新知探究
已知:∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,AD//BC.
求证:AB=AC.
证明:∵AD//BC,
∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等).
∠2=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠1=∠2,
∴∠B=∠C,则AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
A
B
C
D
E
1
2
新知探究
例2:已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为b,求作这个等腰三角形.
作法:(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C,使得DC=b.
(4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形.
a
b
C
M
N
D
B
A
跟踪训练
新知探究
如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
A
C
D
2
1
解:∵在△ABC中,∠A=36°,∠C=72°,
∴∠ABC=72°.
∵∠DBC=36°,
∴∠2=∠ABC-∠DBC=36°.
∵∠1=∠A+∠2=72°,
∴AD=BD=BC,AB=AC.
图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD.
B
跟踪训练
新知探究
求证:如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
D
已知:在△ABC中,CD是边AB的中线,且CD=
AB.
求证:△ABC是直角三角形.
跟踪训练
新知探究
已知:在△ABC中,CD是边AB的中线,且CD=
AB.
求证:△ABC是直角三角形.
证明:∵CD是边AB的中线,
∴点D是AB的中点.
∴AD=BD=
AB.
∵CD=
AB,
∴CD=AD=BD.
∴∠1=∠A,∠2=∠B.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACB=∠1+∠2,
∴2∠A+2∠B=180°,则∠A+∠B=90°.
∴△ABC是直角三角形.
A
C
B
D
2
1
随堂练习
1
如图,∠A=∠B,CE//DA,CE交AB于点E.求证:△CEB是等腰三角形.
证明:∵CE//DA,
∴∠A=∠CEB.
∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B.
∴CE=CB,则△CEB是等腰三角形.
D
A
E
C
B
如图,AC和BD相交于点O,且AB//DC,OA=OB.求证:OC=OD.
随堂练习
2
解:∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,则∠C=∠D.
∴OC=OD.
D
O
C
B
A
随堂练习
3
如图,AD//BC,BD平分∠ABC.求证:AB=AD.
证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵AD//BC,
∴∠ADB=∠CBD.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
A
B
C
D
课堂小结
等腰
三角形
判定
综合应用
如果有一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
将等腰三角形的性质和判定综合运用在解决实际问题中.
拓展提升
1
如图,已知AB=AE,BC=DE,∠B=∠E,AF⊥CD,垂足为点F.求证:CF=FD.
证明:连接AC,AD.
∵在△ABC和△AED中,
AB=AE,
∠B=∠E,
BC=ED,
∴△ABC≌△AED(SAS).
∴AC=AD.
又∵AF⊥CD,
∴CF=FD.
A
B
C
D
E
F