人教版八年级数学上册13.3等腰三角形课时4课件（20张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册13.3等腰三角形课时4课件（20张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 129.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-09 09:38:10 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
13.3.4 等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等边三角形的性质：
1、等边三角形的三条边相等，三个角相等，都为60°；
2、等边三角形满足等边对等角；
3、等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线相互重合；
4、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴.
学习目标
1、了解等边三角形的判定方法.
2、探索并掌握等边三角形判定的过程，并用以解决实际问题.
课堂导入
思考1：等腰三角形的判定？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
所以这个三角形是等腰三角形.
那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形，你能证明这个结论吗？
如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B,
∴BC=AC.
∵∠B=∠C,
∴AC=AB.
∵BC=AC，AC=AB,
∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.
A
B
C
新知探究
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
新知探究
知识点1
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C,
∴△ABC是等边三角形.
该判定方法也可以理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.
A
B
C
新知探究
思考2：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使得等腰三角形成为等边三角形呢？
结论：1、等腰三角形的腰和底边相等；
2、有一个角是60°的等腰三角形；
结论1其实就是三边相等的三角形，也即是等边三角形，那你能证明结论2吗？
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC,
∴∠C=∠B
.
∵∠A=60°,
∴∠B+∠C=180°-∠A=120°
.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
新知探究
证明：∵AB=AC，∠B=60°
,
∴∠C=∠B=60°
.
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°
,
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
新知探究
A
B
C
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知探究
知识点2
（1）在等腰三角形中，只要有一个角是60°
，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形；
（2）等边三角形的判定方法的选用：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.
新知探究
例题：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
跟踪训练
新知探究
如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：图中与BD相等的线段有CD，CF，BE，DE，FD，AF，AE.
容易证明△BDE，△CDF是等边三角形，
容易漏掉证明AE，AF与BD相等.
A
B
C
E
F
D
跟踪训练
新知探究
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°
∴AD为BC的中线，AD为∠BAC的平分线.
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°.
∵∠B=∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE=DE.
同理，△CDF是等边三角形，∴CD=CF=DF.
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=90°.
∵∠BDE=60°，
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=30°.
∵∠ADE=∠BAD=30°，
∴AE=DE.
同理：AF=DF，
∴BD=CD=CF=BE=DE=FD=AF=AE.
A
B
C
E
F
D
随堂练习
1
已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为多少？
解：∵等腰三角形的一个内角为60°，
∴该等腰三角形是等边三角形，
∵该三角形的一边长为8，
∴它的周长为8+8+8=24.
下列条件中不能得到等边三角形的是（
）
A.有一个角是60°的等腰三角形
B.三边相等的三角形
C.有两个内角是60°的三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
随堂练习
2
D
D选项中若是顶角和底角的外角相等，则说明顶角和底角相等，此时等腰三角形的三个内角相等，可以得到等边三角形；
若是两个底角的外角相等，则不能得到等边三角形.
如图，AC和BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60?，且AB//CD.
求证：△OCD是等边三角形.
随堂练习
3
证明：∵∠A=60°，OA=OB，
∴∠B=∠A=60°.
∵AB//CD，
∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°.
∴∠COD=60°.
∴∠C=∠D=∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形.
A
B
C
D
O
课堂小结
等边三角形的判定
性质
判定方法2
三边相等的三角形是
等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
判定方法1
三个角都相等的三角形是
等边三角形.
拓展提升
1
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.
（1）若∠B=60°，求∠C的度数；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
分析：（1）△ABD中∠BDA=∠BAD，∠B=60°，则
△ABD是等边三角形.由CD=AB，∠BDA=60°，可得
∠C=30°.
（2）证明AD是∠EAC的平分线也即是证明∠EAD=∠CAD，一般选用三角形全等或者等边对等角.
拓展提升
1
解：（1）∵∠BDA=∠BAD，∠B=60°，
∴∠BDA=∠BAD=
（180°-60°）=60°.
∴△ABD是等边三角形，AB=AD.
∵CD=AB,
∴CD=AD，∠DAC=∠C.
∵∠BDA=∠DAC+∠C=60°，
∴∠C=30°.
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.
（1）若∠B=60°，求∠C的度数；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
拓展提升
1
（2）延长AE到点M，使得EM=AE，连接DM.
∵AE是△ABD的中线，
∴BE=DE.
在△ABE和△MDE中，
EA=EM，
∠AEB=∠MED，
BE=DE，∴△ABE≌△MDE，∴AB=DM，∠ABE=∠MDE.
∵∠ADC=∠ABE+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ABD，
∴∠ADC=∠ADM.
∵CD=AB，AB=DM，
∴CD=DM.
在△MAD和△CAD中，DM=CD，
∠ADM=∠ADC，
AD=AD，
∴△MAD≌△CAD，∠MAD=∠CAD.
∴AD是∠EAC的平分线.
M
13.3.4 等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等边三角形的性质：
1、等边三角形的三条边相等，三个角相等，都为60°；
2、等边三角形满足等边对等角；
3、等边三角形各边上的高、中线和所对角的平分线相互重合；
4、等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴.
学习目标
1、了解等边三角形的判定方法.
2、探索并掌握等边三角形判定的过程，并用以解决实际问题.
课堂导入
思考1：等腰三角形的判定？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.
所以这个三角形是等腰三角形.
那么三角形的三个内角都相等是否可以判定它是等边三角形，你能证明这个结论吗？
如图：已知在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵∠A=∠B,
∴BC=AC.
∵∠B=∠C,
∴AC=AB.
∵BC=AC，AC=AB,
∴AB=BC=AC，则△ABC是等边三角形.
A
B
C
新知探究
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
新知探究
知识点1
几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠A=∠B=∠C,
∴△ABC是等边三角形.
该判定方法也可以理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”.
A
B
C
新知探究
思考2：等腰三角形有两边相等，能否添加什么条件使得等腰三角形成为等边三角形呢？
结论：1、等腰三角形的腰和底边相等；
2、有一个角是60°的等腰三角形；
结论1其实就是三边相等的三角形，也即是等边三角形，那你能证明结论2吗？
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠A=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC,
∴∠C=∠B
.
∵∠A=60°,
∴∠B+∠C=180°-∠A=120°
.
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
新知探究
证明：∵AB=AC，∠B=60°
,
∴∠C=∠B=60°
.
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°
,
∴∠A=∠B=∠C.
∴△ABC是等边三角形.
新知探究
A
B
C
如图：已知在△ABC中，AB=AC，∠B=60°.
证明：△ABC是等边三角形.
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
新知探究
知识点2
（1）在等腰三角形中，只要有一个角是60°
，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形；
（2）等边三角形的判定方法的选用：若已知三边关系，一般选用定义判定；若已知三角关系，一般选用判定方法1；若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定方法2.
新知探究
例题：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
跟踪训练
新知探究
如图，等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：图中与BD相等的线段有CD，CF，BE，DE，FD，AF，AE.
容易证明△BDE，△CDF是等边三角形，
容易漏掉证明AE，AF与BD相等.
A
B
C
E
F
D
跟踪训练
新知探究
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°
∴AD为BC的中线，AD为∠BAC的平分线.
∴∠BAC=∠B=∠C=60°，BD=CD，∠BAD=∠CAD=30°.
∵∠B=∠BDE=60°，
∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE=DE.
同理，△CDF是等边三角形，∴CD=CF=DF.
∵AD是BC上的高，
∴∠ADB=90°.
∵∠BDE=60°，
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=30°.
∵∠ADE=∠BAD=30°，
∴AE=DE.
同理：AF=DF，
∴BD=CD=CF=BE=DE=FD=AF=AE.
A
B
C
E
F
D
随堂练习
1
已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长为多少？
解：∵等腰三角形的一个内角为60°，
∴该等腰三角形是等边三角形，
∵该三角形的一边长为8，
∴它的周长为8+8+8=24.
下列条件中不能得到等边三角形的是（
）
A.有一个角是60°的等腰三角形
B.三边相等的三角形
C.有两个内角是60°的三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
随堂练习
2
D
D选项中若是顶角和底角的外角相等，则说明顶角和底角相等，此时等腰三角形的三个内角相等，可以得到等边三角形；
若是两个底角的外角相等，则不能得到等边三角形.
如图，AC和BD相交于点O，若OA=OB，∠A=60?，且AB//CD.
求证：△OCD是等边三角形.
随堂练习
3
证明：∵∠A=60°，OA=OB，
∴∠B=∠A=60°.
∵AB//CD，
∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°.
∴∠COD=60°.
∴∠C=∠D=∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形.
A
B
C
D
O
课堂小结
等边三角形的判定
性质
判定方法2
三边相等的三角形是
等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
判定方法1
三个角都相等的三角形是
等边三角形.
拓展提升
1
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.
（1）若∠B=60°，求∠C的度数；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
分析：（1）△ABD中∠BDA=∠BAD，∠B=60°，则
△ABD是等边三角形.由CD=AB，∠BDA=60°，可得
∠C=30°.
（2）证明AD是∠EAC的平分线也即是证明∠EAD=∠CAD，一般选用三角形全等或者等边对等角.
拓展提升
1
解：（1）∵∠BDA=∠BAD，∠B=60°，
∴∠BDA=∠BAD=
（180°-60°）=60°.
∴△ABD是等边三角形，AB=AD.
∵CD=AB,
∴CD=AD，∠DAC=∠C.
∵∠BDA=∠DAC+∠C=60°，
∴∠C=30°.
如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线.
（1）若∠B=60°，求∠C的度数；
（2）求证：AD是∠EAC的平分线.
拓展提升
1
（2）延长AE到点M，使得EM=AE，连接DM.
∵AE是△ABD的中线，
∴BE=DE.
在△ABE和△MDE中，
EA=EM，
∠AEB=∠MED，
BE=DE，∴△ABE≌△MDE，∴AB=DM，∠ABE=∠MDE.
∵∠ADC=∠ABE+∠BAD，∠ADM=∠MDE+∠ABD，
∴∠ADC=∠ADM.
∵CD=AB，AB=DM，
∴CD=DM.
在△MAD和△CAD中，DM=CD，
∠ADM=∠ADC，
AD=AD，
∴△MAD≌△CAD，∠MAD=∠CAD.
∴AD是∠EAC的平分线.
M