人教版八年级数学上册13.3等腰三角形课时5课件（18张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册13.3等腰三角形课时5课件（18张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 229.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-09 09:38:46 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
13.3.5 等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等边三角形的判定方法：
1、三边相等的三角形是等边三角形；
2、三个角都相等的三角形是等边三角形；
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
学习目标
1、掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.
2、探索并证明含有30°角的直角三角形性质的过程，并用以解决实际问题.
课堂导入
思考：用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？
结论：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半.
你能证明这个结论吗？
将两个大小相等的含有30°角的直角三角板沿着较长的直角边拼在一起.
新知探究
如图：已知Rt△ABD≌Rt△ACD，其中∠BAD=∠CAD=30°.
求证：BD=
AB，CD=
AC.
A
B
C
D
┌
┐
证明：∵Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴AB=AC.
∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠B=∠C=60°.
∵AB=AC，∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形，AB=AC=BC.
∵∠BDA=∠CDA=90°，
∴AD⊥BC
∴D为BC的中点，BD=CD=
BC.
∴BD=
AB，CD=
AC.
新知探究
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC=
AB.
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°
,
∴∠B=60°.
∵BD=BC，∠B=60°
,
∴△BCD为等边三角形，∠DCB=60°，CD=BC=BD.
∵∠ACB=90°，∠DCB=60°，
∴∠ACD=30°.
∴∠ACD=∠A=30°，
∴AD=CD.
∴BC=CD=BD=AD.
∴BC=
AB.
A
C
B
D
.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知探究
知识点1
A
C
B
几何语言：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=
AB.
新知探究
（1）该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质；
（2）这一性质与等边三角形联系密切，在等边三角形中作高即可得到含有30°
角的直角三角形.
这个性质反过来说还成立吗？请试着证明你的猜想.
如图：已知，∠C=90°，BC=
AB.
求证：∠A=30°.
新知探究
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
A
C
B
D
证明：取AB的中点D，连接CD.
∵AB的中点为D，
∴AD=BD=
AB.
∵BC=
AB,
∴BC=BD=AD.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的中点为D，
∴CD=
AB=AD=BD.
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵CD=BD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠B=60°.
∵∠ACB=90°，∠B=60°,
∴∠A=30°.
.
新知探究
利用含30°角的直角三角形的性质解决问题的方法
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段之间倍分关系的重要工具，解题时，一般先是寻找30°角所在的直角三角形，得到斜边与直角边的关系，当30°角不在一个直角三角形中时，可考虑作垂线得到含30°角的直角三角形，或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.当三角形中含有15°，30°，60°，120°角时，也可通过添加辅助线，构造含30°角的直角三角形求解.
跟踪训练
新知探究
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B，∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∵∠C=90°，∠B=2∠A.
∴∠B+∠A=180°-∠C，即3∠A=90°.
∴
∠A=30°，∠B=60°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴AB=2BC.
A
C
B
随堂练习
1
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=8cm，则BC的长度是多少？
解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴∠BDC=90°.
∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，
∴BC=2CD=16cm.
B
C
A
└
D
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
随堂练习
2
分析：求面积需要底边和高的长度，题目已经给出腰长，可以选择作腰上的高，构造出含有30°角的直角三角形，即可求出腰上高的长度，进而求出等腰三角形的面积.
A
B
C
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
随堂练习
2
B
D
└
解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠DAC=30°.
∵AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，
∴CD=
AC=5cm.
∴S△ABC=
AB×CD=25cm2.
A
C
随堂练习
3
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD=30°.
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD.
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=1,
∴AD=2CD=2.
∴BD=AD=2.
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，
若CD=1，求BD的长.
B
C
A
D
┐
课堂小结
含有30°角的直角三角形
性质
判定
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
拓展提升
1
分析：本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综合应用解题.
A
B
C
M
N
└
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（
）
A.4
B.6
C.
D.8
拓展提升
1
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,
∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠CMN.
∵MN//BC，
∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.
∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM
.
∴NM=NC.
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM，
∴∠ACB=2∠B.
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，即∠B=30°.
∴∠AMN=∠B=30°
∵∠A=90°，∠AMN=30°，AN=1,
∴MN=2.
∵AC=AN+NC=AN+MN=3，
∴BC=2AC=6.
B
A
B
C
M
N
└
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（
）
A.4
B.6
C.
D.8
13.3.5 等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等边三角形的判定方法：
1、三边相等的三角形是等边三角形；
2、三个角都相等的三角形是等边三角形；
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
学习目标
1、掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.
2、探索并证明含有30°角的直角三角形性质的过程，并用以解决实际问题.
课堂导入
思考：用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（也即是30°角所对的直角边）与斜边的长度，你有什么发现吗？
结论：30°角所对的直角边的长度是斜边长度的一半.
你能证明这个结论吗？
将两个大小相等的含有30°角的直角三角板沿着较长的直角边拼在一起.
新知探究
如图：已知Rt△ABD≌Rt△ACD，其中∠BAD=∠CAD=30°.
求证：BD=
AB，CD=
AC.
A
B
C
D
┌
┐
证明：∵Rt△ABD≌Rt△ACD，
∴AB=AC.
∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠B=∠C=60°.
∵AB=AC，∠B=∠C=60°.
∴△ABC是等边三角形，AB=AC=BC.
∵∠BDA=∠CDA=90°，
∴AD⊥BC
∴D为BC的中点，BD=CD=
BC.
∴BD=
AB，CD=
AC.
新知探究
如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC=
AB.
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°
,
∴∠B=60°.
∵BD=BC，∠B=60°
,
∴△BCD为等边三角形，∠DCB=60°，CD=BC=BD.
∵∠ACB=90°，∠DCB=60°，
∴∠ACD=30°.
∴∠ACD=∠A=30°，
∴AD=CD.
∴BC=CD=BD=AD.
∴BC=
AB.
A
C
B
D
.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知探究
知识点1
A
C
B
几何语言：如图，在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=
AB.
新知探究
（1）该性质是“含有30°角的直角三角形”所特有的，一般的直角三角形没有这个性质；
（2）这一性质与等边三角形联系密切，在等边三角形中作高即可得到含有30°
角的直角三角形.
这个性质反过来说还成立吗？请试着证明你的猜想.
如图：已知，∠C=90°，BC=
AB.
求证：∠A=30°.
新知探究
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
A
C
B
D
证明：取AB的中点D，连接CD.
∵AB的中点为D，
∴AD=BD=
AB.
∵BC=
AB,
∴BC=BD=AD.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的中点为D，
∴CD=
AB=AD=BD.
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵CD=BD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠B=60°.
∵∠ACB=90°，∠B=60°,
∴∠A=30°.
.
新知探究
利用含30°角的直角三角形的性质解决问题的方法
含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段之间倍分关系的重要工具，解题时，一般先是寻找30°角所在的直角三角形，得到斜边与直角边的关系，当30°角不在一个直角三角形中时，可考虑作垂线得到含30°角的直角三角形，或作等腰三角形构造顶角的邻补角为60°.当三角形中含有15°，30°，60°，120°角时，也可通过添加辅助线，构造含30°角的直角三角形求解.
跟踪训练
新知探究
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B，∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∵∠C=90°，∠B=2∠A.
∴∠B+∠A=180°-∠C，即3∠A=90°.
∴
∠A=30°，∠B=60°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴AB=2BC.
A
C
B
随堂练习
1
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=8cm，则BC的长度是多少？
解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴∠BDC=90°.
∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=8cm，
∴BC=2CD=16cm.
B
C
A
└
D
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
随堂练习
2
分析：求面积需要底边和高的长度，题目已经给出腰长，可以选择作腰上的高，构造出含有30°角的直角三角形，即可求出腰上高的长度，进而求出等腰三角形的面积.
A
B
C
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角形的面积.
随堂练习
2
B
D
└
解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°，
∴∠DAC=30°.
∵AB=AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，
∴CD=
AC=5cm.
∴S△ABC=
AB×CD=25cm2.
A
C
随堂练习
3
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD=30°.
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD.
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=1,
∴AD=2CD=2.
∴BD=AD=2.
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，
若CD=1，求BD的长.
B
C
A
D
┐
课堂小结
含有30°角的直角三角形
性质
判定
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
拓展提升
1
分析：本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综合应用解题.
A
B
C
M
N
└
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（
）
A.4
B.6
C.
D.8
拓展提升
1
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,
∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠CMN.
∵MN//BC，
∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.
∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM
.
∴NM=NC.
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM，
∴∠ACB=2∠B.
∵∠A=90°，
∴∠ACB+∠B=90°，即∠B=30°.
∴∠AMN=∠B=30°
∵∠A=90°，∠AMN=30°，AN=1,
∴MN=2.
∵AC=AN+NC=AN+MN=3，
∴BC=2AC=6.
B
A
B
C
M
N
└
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（
）
A.4
B.6
C.
D.8