人教版八年级数学上册13.3等腰三角形课时3课件（23张PPT)

(共23张PPT)
13.3.3　等边三角形
等腰三角形
知识回顾
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）.
等腰三角形的概念：两边相等的三角形是等腰三角形.
学习目标
1、理解等腰三角形的性质，体会等腰三角形性质和等边三角形性质的联系.
2、探索并掌握等边三角形性质的过程，并用以解决实际问题.
课堂导入
思考1：如果把等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结论：等边三角形的三条边都相等，是一种特殊的等腰三角形.所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
课堂导入
思考2：等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴呢？
结论：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
A
B
C
课堂导入
思考3：等边三角形的内角都相等吗？为什么？
结论：等边三角形的三个内角都相等，且都是60°.
A
B
C
如图，∵AB=BC=CA，
∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
新知探究
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
知识点1
几何语言：如图，在△ABC中，
AB=BC=AC，
∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
A
B
C
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.
（2）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合，即“三线合一”；每条边上的中线和高的长度相等，且所在的直线都是等边三角形的对称轴.
新知探究
知识点1
新知探究
例1：如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE=60°.
∵在△ABE和△CBD中，AB=CB，
∠ABE=∠CBD，
BE=BD，
∴△ABE≌△CBD（SAS）.
∴AE=CD.
A
B
D
C
E
跟踪训练
新知探究
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
分析：利用等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理的推论，求出∠CDE=∠E，从而将求CE的长转化为求CD的长.
A
B
C
D
E
跟踪训练
新知探究
如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点，点E在BC的延长线上，若DE=DB，求CE的长.
E
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBE=
∠ABC=30°.
∵DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°.
∵∠ACB=∠CDE+∠E,
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°.
∴∠CDE=∠E.
∴CD=CE.
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,
∴CE=CD=
.
A
B
C
D
E
随堂练习
1
如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（
）
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°.
∵CG=CD，
∴∠CGD
=∠CDG.
∴∠ACB
=∠CGD+∠CDG=2∠CDG.
同理可得∠CDG=2∠E，
∴∠ACB
=4∠E=60°.
∴∠E=15°.
A
如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（
）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
随堂练习
2
分析：△ABC是等边三角形，所以三个内角均为60°.通过证明△EDB≌△EDC，可求出∠ECB的度数，∠ACE=∠ACB-∠ECD即可求解.
随堂练习
2
解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠EDB=∠EDC，∠ACB=60°.
∵在△EDB和△EDC中，
ED=ED，
∠EDB=∠EDC，
BD=CD，
∴△EDB≌△EDC（SAS）.
∴∠ACE=∠ACB-∠ECD=60°-45°=15°.
A
如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（
）
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？
随堂练习
3
分析：△ABC是等边三角形，所以三个内角均为60°，三边相等.通过证明△ADC≌△CEB，可求出∠CBE=∠ACD，则∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB.
E
D
B
C
A
随堂练习
3
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.
∵在△ADC和△CEB中，
AC=CB，
∠A=∠BCE，
AD=CE，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∠CBE=∠ACD.
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
E
D
B
C
A
如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？
正三角形ABC的两条角平分线BD和CE相交于点F，则∠BFC的度数是多少？
随堂练习
4
解：∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD和CE是正三角形ABC的角平分线，
∴∠ECB=30°，∠DBC=30°.
在△BFC中，∠BFC=180°-∠ECB-∠DBC
=180°-30°-30°
=120°.
A
B
C
D
E
F
课堂小结
等边
三角形
定义
性质
三边都相等的三角形.
三边相等，三个角相等，具有等腰三角形的一切性质.
拓展提升
1
如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.
分析：首先利用等腰三角形的性质得出
∠ADE＝∠E＝50°，∠DAF＝∠EAF＝40°，进而利用等边三角形各内角度数求出∠BAD即可，再利用三角形外角性质得出答案．
A
B
C
F
E
D
拓展提升
1
解：∵DE⊥AC,
∴∠DFA=∠EFA=90°.
∵AD=AE，∠DAE=80°,
∴∠ADE=∠E=50°.
∴∠DAF=∠EAF=40°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°.
∴∠BAD=∠BAC-∠DAF=20°.
∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠EDC=60°+20°-50°=30°.
如图，△ABC是等边三角形，△ADE是等腰三角形，AD=AE，∠DAE=80°，当DE⊥AC时，求∠BAD和∠EDC的度数.
A
B
C
F
E
D
拓展提升
2
如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=60°.求△AEF的周长.
分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°，得到
∠BDE+∠CDF=60°.想把这两个三角形拼在一起构造全等三角形，即延长AC至点P，使得CP=BE，证明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，从而把△AEF的周长转化为△ABC的边长表示.
A
B
C
F
E
D
拓展提升
2
解：延长AC至点P，使得CP=BE，连接PD
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD=CD，∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠EBD=∠DCF=90°.
∴∠DCP=∠DBE=90°.
在△BDE和△CDP中
，
BD=CD
∠DBE=∠DCP
BE=CP
∴△BDE≌△CDP.
C
P
A
B
F
E
如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=60°.求△AEF的周长.
D
拓展提升
2
∵△BDE≌△CDP，
∴DE=DP，∠BDE=∠CDP.
∵∠BDC=120°，
∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，∠CDP+∠CDF=60°.
∴∠EDF=∠PDF=60°.
在△DEF和△DPF中，
DE=DP，
∠EDF=∠PDF，
DF=DF，
∴△DEF≌△DPF.
∴EF=FP，EF=FC+BE.
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+FC+BE+AF=AB+AC=2.
C
A
B
F
E
D
P