人教版八年级数学上册14.3.1提公因式法课件（23张PPT)

(共23张PPT)
14.3.1　提公因式法
因式分解
知识回顾
运用整式的乘法计算下列式子：
3xy(x2+2y)
=3x3y+6xy2
;
2a(a-b)
=2a2-2ab
;
(2a+1)(a-b)
=2a(a-b)+(a-b)
.
学习目标
1、了解并掌握因式分解的定义及意义.
2、熟练运用提公因式法进行因式分解.
课堂导入
思考：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)
x2+x
;
(2)
x2-1
.
根据整式的乘法，可以联想到：
(1)
x2+x=x(x+1)
;
(2)
x2-1=(x+1)(x-1)
.
这样的运算是什么，有什么计算方法？
新知探究
知识点1
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
x2-1
(x+1)(x-1)
因式分解
因式分解
整式乘法
新知探究
知识点1
因式分解
(1)因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形；
(2)因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分.因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解.
新知探究
知识点1
因式分解
重点：(1)因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式；
(2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
新知探究
知识点2
公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
公因式的确定：
(1)确定公因式的系数：当多项式中各项系数都是整数时，公因式的系数就是多项式中各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数都是分数时，公因式的系数为分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；
用提公因式法因式分解
新知探究
知识点2
(2)确定相同字母：公因式应取多项式各项中的相同的字母；
(3)确定公因式中相同字母的指数：取相同字母的指数的最小值作为公因式中此字母的指数；
(4)确定公因式：由步骤(1)——(3)写出多项式的公因式.
用提公因式法因式分解
新知探究
知识点2
用提公因式法因式分解
确定公因式的示例：
取相同字母m中指数最低的m2
取相同字母n中指数最低的n
取2和4的最
大公约数2
公因式2m2n
新知探究
知识点2
重点：
(1)公因式必须是多项式中各项都含有的公共的因式，只在某一项或某些项中存在而在其他项中没有的因式，不能作为公因式的一部分；
(2)公因式可以是数，也可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式；
用提公因式法因式分解
新知探究
知识点2
重点：
(3)若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开.
用提公因式法因式分解
新知探究
知识点2
提公因式法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
用提公因式法因式分解
使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式.
新知探究
知识点2
提公因式法的一般步骤：
(1)确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
(2)提公因式并确定另外一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
用提公因式法因式分解
新知探究
知识点2
重点：
(1)提公因式法的依据是乘法分配律的逆用，关键是找准公因式；
(2)当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号；
(3)多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项式就有几项，不能漏项；
(4)当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项剩余的项为“1”，一定不要漏项.
用提公因式法因式分解
随堂练习
1
判断下列式子中哪些是因式分解？
是
是
否
否
3x+6y=3(x+2y)
;
4m2n3+2mn2=2mn2(2mn+1)
;
(x+2y)2=x2+4xy+4y2
;
(a+4)(a-4)=a2-16
.
随堂练习
2
下列变形属于因式分解的有（
）
①8xy3=2xy·4y2
;
②
;
③(x+5)(x-5)=x2-25
;
④x2+2x-3=x(x+2)-3
;
⑤x2y+xy2=xy(x+y)
.
A.4个
B.3个
C.2个
D.
1个
点拨：
要判断一个式子从左到右的变形是否为因式分解，关键是看这个变形是否把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
随堂练习
2
D
解析：
①中等号左边不是多项式，所以不是因式分解
;
②中
不是整式，所以不是因式分解
;
③是整式的乘法，所以不是因式分解
;
④中等号的右边不是积的形式，所以不是因式分解
;
⑤符合因式分解的概念，是因式分解
.
下列变形属于因式分解的有（
）
①8xy3=2xy·4y2
;
②
;
③(x+5)(x-5)=x2-25
;
④x2+2x-3=x(x+2)-3
;
⑤x2y+xy2=xy(x+y)
.
A.4个
B.3个
C.2个
D.
1个
随堂练习
3
将下列各式分解因式：
(1)
ax+ay
;
(2)
8mn2+2mn
;
(3)
2a(y-z)-3b(z-y)
.
解：(1)
ax+ay=a(x+y)
;
(2)
8mn2+2mn=2mn(4n+1)
;
(3)
2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(2a+3b)(y-z)
.
课堂小结
因式分解
因式分解的定义
提公因式法分解因式的方法和步骤
拓展提升
1
已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.
解析：由条件等式求式子的值的通法是根据已知条件求出式子中字母的值，然后代入求值.但是本题中m，n不容易求出，可以先分解因式，将所求整式整理成只含m-4n和mn的形式，然后整体代入求值即可.
拓展提升
1
解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2
.
因为m-4n=-3，mn=4，
所以原式=-4×(-3)2
=-4×9
=-36.
已知m-4n=-3，mn=4，求-m3n+8m2n2-16mn3的值.
拓展提升
2
试问2032+203能被204整除吗？
解：2032+203=203(203+1)=203×204.
因为2032+203中含有因数204，所以可以被204整除.