人教版八年级数学上册14.1.1同底数幂的乘法课件（25张PPT)

(共25张PPT)
14.1.1　同底数幂的乘法
整式的乘法与因式分解
知识回顾
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，其中a叫做底数，n叫做指数.
指数
底数
幂
n个a
知识回顾
例题：请按照幂的定义填空.
54
=(
)
;
102×102×102×102×102×102=(
)
;
(-a)3的底数是
，指数是
;
(b-a)4的底数是
，指数是
.
5×5×5×5
3
4
(-a)
(b-a)
1026
学习目标
1、理解同底数幂的乘法的性质，会利用这一性质进行同底数幂的乘法运算.
2、掌握同底数幂的乘法的运算性质的推导.
3、体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用.
课堂导入
思考：一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
结论：很容易得出这种电子计算机每秒可进行1015×103次的运算，这个结果应该是多少呢？我们该怎样进行运算？
1015和103分别表示什么意思，请写出并进行分析.
课堂导入
1015=10×10×10×10×10×……×10×10
;（15个10相乘）
103
=10×10×10
;（3个10相乘）
1015×103
=（10×10×……×10×10）×（10×10×10）
=10×10×10×10×10×……×10×10（18个10相乘）
=1018
.
思考：一种电子计算机每秒可进行1千万亿1015次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
新知探究
观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)
32×33=35
;
32表示2个3相乘，33表示3个3相乘，35表示5个3相乘.
(2)
(-4)3×(-4)4=(-4)7
;
(-4)3表示3个(-4)相乘，(-4)4表示个(-4)相乘，(-4)7
表示7个(-4)相乘.
(3)
a3×a5
=a8
;
a3表示3个a相乘，a5表示5个a相乘，a8表示8个a相乘.
新知探究
观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
(4)
3m×3n=3m+n
;
3m
表示m个3相乘，3n表示n个3相乘，3m+n表示(m+n)个3相乘.
(5)
(-4)m×(-4)n=(-4)m+n
;
(-4)m
表示m个(-4)相乘，(-4)n
表示n个(-4)相乘，(-4)m+n表示(m+n)个(-4)相乘.
(6)
am×an=am+n
.
am
表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am+n
表示(m+n)个a相乘.
新知探究
规律：以上6个式子都是两个底数相同的幂相乘，其结果的幂的底数仍与原来两个幂的底数相同，结果的幂的指数是原两个幂的指数相加.（其中指数均为正整数）
思考：你能总结出同底数幂相乘的运算法则吗?
性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n.
am×an=(a?a?a?a?a?a??????a?a?a?a?a?a?a)(a?a?a?a?a?a??????a?a?a?a?a?a?a)
=a?a?a?a?a?a??????a?a?a
=am+n
新知探究
知识点1
同底数幂的乘法
m个a
n个a
m+n个a
符号表示：am×an=am+n
（m，n都是正整数）.
新知探究
知识点1
性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an=am+n
同底数幂的乘法
(1)使用该性质运算的前提条件有两个：
①乘法运算；
②底数相同.
(2)单个字母或数字可以看成指数为1的幂，参与同底数幂的乘法运算时，不能忽略指数为1的幂.
新知探究
知识点1
示例：
a3×a5
=
a8
(-a)×(-a)2×(-a)3
=
(-a)
1+2+3
=(-a)6
同底数幂的乘法
底数a不变
指数相加
底数-a不变
指数相加
(-a)的指数为1
新知探究
(1)同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘，即
am?
an?
ap
=
am+n+p（m，n，p都为正整数）.
(2)同底数幂的乘法的性质可以逆用，即
am+n
=
am?
an
（m，n都为正整数）.
新知探究
(3)在幂的运算中，经常用到以下变形：
(-a)m=
am
(m为正偶数)
-am
(m为正奇数)
(a-b)m=
(b-a)m
(m为正偶数)
-(b-a)m
(m为正奇数)
新知探究
(1)同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式.
(2)底数不同时，若能化成相同底数，则先化成相同底数，再利用同底数幂的乘法的性质计算.
随堂练习
1
下列运算中正确的是（
）
A.
x2?
x2=2x2
B.
x2?
x3=x6
C.
x2?
x3=x5
D.
(-x)2?
(-x)3=(-x)6=x6
C
解：A.
x2?
x2=x2+2=x4
B.C.
x2?
x3=x2+3=x5
D.
(-x)2?
(-x)3=(-x)2+3=(-x)5=-x5
随堂练习
2
计算：(1)
x2?
x5
;
(2)
a?
a5
;
(3)
(-2)×(-2)4×(-2)3
;
(4)
xm?
x3m+1
.
解：
(1)
x2?
x5
=
x2+5
=
x7
;
(2)
a?
a5
=
a1+5
=
a6
;
(3)
(-2)×(-2)4×(-2)3
=
(-2)1+4+3=
(-2)8
=
256
;
(4)
xm?
x3m+1
=
xm+3m+1
=
x4m+1
.
(3)
-x2?
(-x)8
=
-x2?
x8=
-x10
.
(2)
(-10)3×(-10)5
=(-10)3+5=(-10)8
;
随堂练习
3
计算：(1)
x7?
x
;
(2)
(-10)3×(-10)5
;
(3)
-x2?
(-x)8
;
(4)
(x+3y)3?(x+3y)2?(x+3y)
;
(5)
(x-y)3?(y-x)4
.
解：(1)
x7?
x=x7+1=x8
;
随堂练习
3
解：(4)
(x+3y)3?(x+3y)2?(x+3y)=(x+3y)3+2+1=(x+3y)6
;
(5)
(x-y)3?(y-x)4=(x-y)3?(x-y)4=(x-y)7
.
计算：(1)
x7?
x
;
(2)
(-10)3×(-10)5
;
(3)
-x2?
(-x)8
;
(4)
(x+3y)3?(x+3y)2?(x+3y)
;
(5)
(x-y)3?(y-x)4
.
课堂小结
同底数幂
的乘法
性质：同底数幂相乘，底数不变，
指数相加.
am×an=am+n
（m，n为正整数）
拓展提升
1
分析：一平方千米土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧
1.3×105
吨煤，则
9.6×106
平方千米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧9.6×106
×1.3×105
吨煤.
我国陆地的面积约是
9.6×106
平方千米，平均每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧
1.3×105
吨煤所产生的能量.求在我国领土上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所燃烧的能量？
解：
9.6×106
×1.3×105=9.6×1.3×106
×105
=12.48
×106+5
=1.248
×1012
.
则一年内从太阳得到的能量相当于燃烧
1.248
×1012
吨煤.
拓展提升
1
我国陆地的面积约是
9.6×106
平方千米，平均每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧
1.3×105
吨煤所产生的能量.求在我国领土上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少吨煤所燃烧的能量？
拓展提升
2
分析：因为
7m+n
能被16整除，所以16是
7m+n
的一个因式，要说明
7m+2+n
能被16整除，只需说明16或者
7m+n
是
7m+2+n
的一个因式即可.
判断一个式子能否被一个数整除，只需看这个式子能否化成这个数与另一个式子的乘积形式.
如果
7m+n
能被16整除，试说明
7m+2+n
也能被16整除.
拓展提升
2
解：
7m+2+n
=72?7m+n=49×7m+n=48×7m+7m+n
.
因为7m+n和48×7m都能被16整除，
所以
48×7m+7m+n也能被16整除.
也即是
7m+2+n
也能被16整除.
如果
7m+n
能被16整除，试说明
7m+2+n
也能被16整除.
拓展提升
2
另解：因为
7m+n
能被16整除，所以可设
7m+n
=16k
(k是整数)，
所以
n
=16k-7m
，
所以
7m+2+n
=
7m+2+16k-7m
=49×7m-7m+16k
=
48×7m+16k
=
16(3×7m+k)
.
所以
7m+2+n
能被16整除.
如果
7m+n
能被16整除，试说明
7m+2+n
也能被16整除.