人教版八年级数学上册14.1.2幂的乘方课件（26张PPT)

(共26张PPT)
14.1.2　幂的乘方
整式的乘法与因式分解
知识回顾
同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
符号表示：am×an=am+n（m，n都是正整数）.
同底数幂的乘法的性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘.
am?
an?
ap
=
am+n+p
（m，n，p都为正整数）.
知识回顾
同底数幂的乘法的性质可以逆用，即a(m+n)=am×an（m，n都为正整数）.
(-a)m=
am
(m为正偶数)
-am
(m为正奇数)
(a-b)m=
(b-a)m
(m为正偶数)
-(b-a)m
(m为正奇数)
计算：(1)
b5?b=b5+1
;
(2)
y2n?yn+1?y4
.
解：(1)
b5?b=b5+1=b6
;
(2)
y2n?yn+1?y4=
y2n+n+1+4=
y3n+5
.
知识回顾
学习目标
1、了解幂的乘方的运算法则，熟练运用幂的乘方的运算法则进行实际计算.
2、掌握幂的乘方的运算法则的推导.
3、体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用.
课堂导入
思考：用含有
x
的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积.
图(1)是边长为
x
的正方形；
图(2)是边长为
x2
的正方形；
图(3)是边长为
x2
的正方体.
x
(1)
(2)
x2
x2
(3)
课堂导入
S(1)=
x2
思考：用含有
x
的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积.
x
(1)
(2)
x2
x2
(3)
S(2)=
(x2)2
V(3)=(x2)3
结论：(1)
(x2)2
=
x2?2=
x4
;
(2)
(x2)3
=
x2?3=
x6
.
新知探究
观察计算结果，你能发现什么规律？
(1)
(x2)2
=
x2?x2
=
x2+2=
x4
;
(2)
(x2)3
=
x2?x2?x2
=
x2+2+2=
x6
.
新知探究
观察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
(1)
(32)3=32×32×32=36
;
(2)
(a2)3=a2×a2×a2=a6
;
(3)
(am)3=am×am×am=a3m
（m是正整数）;
(4)
(am)n=am×am×???am=amn
（m，n为正整数）.
n个am
新知探究
规律：以上4个式子都是幂的乘方的形式，根据已经学过的乘方的意义和同底数幂的乘法性质可以得出幂的乘方的结果中底数不变，指数为两个指数的乘积（其中指数均为正整数）.
思考：你能总结出来幂的乘方的运算法则吗？
新知探究
知识点1
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n.
(am)n=am×am×???am=amn
=a(m+m+m+???+m)
幂的乘方
n个m
n个am
符号表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
新知探究
知识点1
示例：
=
=
=
=
底数a不变
指数相乘
幂的乘方
底数x+y不变
指数相乘
新知探究
同底数幂的乘法与幂的乘方的运算性质的区别
运算性质
不变
变化
公式
同底数幂的乘法
幂的乘方
底数不变
底数不变
指数相加
指数相乘
am×an=a(m+n)
(am)n=amn
新知探究
(1)
幂的乘方的性质也可以推广为
[(am)n]p=amnp
(m，n，p都为正整数).
(2)
幂的乘方的性质可以逆用，即
amn=(am)n
(m，n为正整数).
新知探究
(1)在形式上，幂的乘方的底数本身就是一个幂，根据乘方的意义和同底数幂的乘法的性质可以推出幂的乘方的性质；
(2)在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.
幂的乘方用性质，
底数不变指数乘，
推广指数一次幂，
逆用性质巧计算.
随堂练习
1
计算下列式子：
(1)
(103)5
;
(2)
(a4)4
;
(3)
(am)2
;
(4)
-(x4)3
.
解：(1)
(103)5=103×5=1015
;
(2)
(a4)4
=a4×4=a16
;
(3)
(am)2
=
am×2=
a2m
;
(4)
-(x4)3=-x4×3=-x12
.
(3)
-[(a-b)3
]4
=
-(a-b)3×4=
-(a-b)12
.
随堂练习
2
计算：(1)
(an+1)2
;
(2)
[(-x)7]4
;
(3)
-[(a-b)3
]4
.
解：(1)
(an+1)2
=
a(n+1)×2
=
a2n+2
;
(2)
[(-x)7]4
=
(-x)7×4
=
(-x)28=
x28
;
随堂练习
3
已知
a2n=3，求
a4n-a6n
的值.
解：a4n-a6n
=
(a2n)2-
(a2n)3
=
32-33
=-18
.
把指数是积的形式的幂写成幂的乘方，amn=(am)n
（m，n都是正整数），然后整体代入，求出式子的值.
课堂小结
幂的乘方
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(am)n=amn
（m，n为正整数）
拓展提升
1
分析：观察已知式子中两个等式的特征，可以发现16和4都可以写成2的乘方的形式，27和9都可以写成3的乘方的形式，所以可将两个等式分别化成同底数幂的形式，即16m=4×22n-2，27n=9×3m+3
.
已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3
，求
m，n
的值.
拓展提升
1
已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3
，求
m，n
的值.
解：因为16m=4×22n-2，所以24m
=22×22n-2
.
所以24m=22n，即4m=2n，2m=n.
①
因为
27n=9×3m+3
，所以(33)n=32×3m+3
.
所以33n=3m+5，即3n=m+5.
②
由①②得，m=1，n=2.
拓展提升
2
分析：通过观察可以发现，这三个数的底数和指数均不相同，但是指数都是11的整数倍，故可以逆用幂的乘方的性质，将这三个数化成相同指数的幂，比较底数的大小，当指数、底数均大于0时，指数相同，底数越大则幂越大.
比较
355、444
、533
的大小.
拓展提升
2
比较
355、444
、533
的大小.
解：
355
=
(35)11
=
24311
，
444
=
(44)11
=
25611
，
533
=
(53)11
=
12511
.
因为125<243<256，则12511<24311<25611
.
所以
533<355<
444
.
拓展提升
3
分析：观察(1)式中，底数分别为3，9，27，虽然各不相同，但是可以看出
9=32
，27=33
，经过转化可以利用同底数幂的乘法的性质解题.
观察(2)式中，底数分别为9，3，72，虽然各不相同，但是可以看出
9=32
，72=8×32
，经过转化可以利用同底数幂的乘法的性质解题.
(1)
已知
3×9m×27m=326，求
m
的值.
(2)
已知
9n+1-32n=72
，求
n
的值.
拓展提升
3
(1)解：因为
9=32
，27=33
，
所以
3×(32)m×(33)m=326，也即31+2m+3m=326
.
所以
1+2m+3m=26，解得：m=
5.
(1)
已知
3×9m×27m=326，求
m
的值.
(2)
已知
9n+1-32n=72
，求
n
的值.
拓展提升
3
(2)解：因为
9=32
，72=8×32
，
所以
9n+1-9n=8×9，也即
9n(9-1)=8×9
.
所以
9n=9，解得：n=
1
.
(1)
已知
3×9m×27m=326，求
m
的值.
(2)
已知
9n+1-32n=72
，求
n
的值.