北师大版七年级下册专题学习——等腰三角形中常用作辅助线课件（16张PPT）

(共16张PPT)
专题学习——等腰三角形中常用作辅助线
几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条
件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单
化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线
构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、
差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的
倍分关系．
1
方法
作“三线”中的“一线”
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
过点A作EF∥BC，且AE＝AF，求证：DE＝DF.
如图，连接AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC.
∵EF∥BC，
∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，
∴AD垂直平分EF.
∴DE＝DF.
证明：
2
方法
作平行线法
例2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，P，Q与直线BC相交于点D.
(1)如图①，求证：PD＝QD；
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存
在长度保持不变的线段？请说明理由．
如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.
∵点P和点Q同时出发，
且速度相同，
∴BP＝CQ.
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.
(1)证明：
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∴∠B＝∠PFB.
∴BP＝PF.∴PF＝CQ.
在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，
∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，
∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.
ED的长度保持不变．理由如下：
如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.
由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，
∴BE＝EF.
由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，
∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝
BC，
∴ED为定值．
(2)解：
3
方法
截长(补短)法
例3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.
求证：BD＋DC＝AB.
如图，延长BD至E，
使BE＝AB，连接CE，AE.
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°.
又∵∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，
证明：
∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，
即BD＋DC＝AB.
4
方法
加倍折半法
例4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AD是线段BE的垂直平分线．
∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.
∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，
∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，
∴AB＝EC，∴AE＝EC.
故设∠EAC＝∠C＝x，
解：
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，
∴∠B＝2x，
∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
即180°－4x＋x＝120°，
解得x＝20°，则∠C＝20°.
作业
《育才金典》126-128