北师大版七年级数学下册第四章 三角形 复习 三角形全等的判定及其应用与尺规作三角形课件（25张PPT）

(共25张PPT)
第九讲
三角形全等的判定及其应用
与尺规作三角形
∵△ABC≌
△DFE
全等三角形的性质
（全等三角形的对应边相等）
（全等三角形的对应角相等）
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
书写格式：
∴
AB=DF,
BC=FE,
AC=DE
∠
A=
∠
D,
∠
B=
∠
F
,
∠
C=
∠
E
三边分别相等的两个三角形全等。
在△ABC和△
DEF中
∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）
用符号语言表达为：
三角形全等判定方法一
（可以简写为“边边边”或“SSS”）。
全等三角形的条件
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∠A=∠D
∴△ABC≌△DEF（ASA）
A
B
D
E
C
F
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
简记为
“角边角”或“ASA”
。
三角形全等的判定二
AB=DE
∠B=∠E
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中，
∠A=∠D
∴△ABC≌△DEF（AAS）
A
B
D
E
C
F
三角形全等的判定三
两角分别相等且其中一组等角的对边相等两个三角形全等．
简记为
“角角边”或“AAS”
．
∠B=∠E
AC=DF
三角形全等判定方法四
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．(简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
三边对应相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS
”
全等三角形的判定
判定
图示
过程书写
全等三角形的证明思路：（SSS,ASA,AAS,SAS）
如何找三角形全等的三个条件？
（1）题目所给的已知条件
（2）注意图中的隐含的条件
（3）题目所给的准备条件
①公共边；
A
B
C
D
O
①中点的定义；②角平分线的定义；③垂直的定义；④平行线的性质
②公共角；
③对顶角；
常见模型：
图形特点：沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得
两三角形重合
图形特点：沿同一条直线平移可得到两三角形重合
常见模型：
图形特点：同一条线上有三个相等的角
图形特点：共顶点，绕该顶点旋转可得到两三角形重合
类型5
组合模型
图形特点：将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合，然后两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合，或者绕该顶点旋转后重合
平移+旋转模型
平移+对称模型
（已证）
（已证）
（已证）
证明两条线段相等：可以放在两个三角形中证明全等
例1
，如图，AB//DC,AC//DE,点C为BE的中点，
试说明：AB=DC
例2：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC，DE交于点O．求证：
（1）△ABC≌△AED；
（2）OB=OE．
(SAS)
例3：如图，点B在线段AE上，∠CAE=∠DAE，∠CBE=∠DBE．求证：EC=ED．
例4
如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有（　　）
A．△ABD≌△AFD
B．△AFE≌△ADC
C．△AEF≌△DFC
D．△ABC≌△ADE
D
例5
如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD≌△CAE．
（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，请证明.
例5
如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．
（3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由．
例6
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE．求证：AB=BC+AD．
如图，延长AE交BC的延长线于点F.
例7
如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
例7
如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t（s）．
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为x
cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；
若不存在，请说明理由．
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
尺规作图一
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
3．已知三角形的三边，求作这个三角形．
（二）全等三角形的应用
例8
尺规作图：如图所示，已知∠α，线段a，求作等腰三角形ABC，使AB=BC=a，∠A=∠α（保留作图痕迹，不写作法）．
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。
依据：全等三角形的性质。
关键：构造全等三角形。
方法：（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形。
（三）利用三角形全等测距离
A
B
如图，△ACB与△DCE
中，AD、
BE交于点
C，
AC=DC，
BC=EC
试说明AB=DE
●
解：在△ABC与△DEC
中
AC＝DC
（已知）
∠ACB＝∠DCE
（对顶角相等）
BC＝EC
（已知）
∴
△ABC≌
△DEC
(SAS)
∴
AB=DE
（全等三角形对应边相等）
延长法构造全等三角形：