人教A版（2019）高考三轮 圆锥曲线的常用结论 学案

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圆锥曲线的常用结论
椭圆
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、、
、、
轴长
短轴的长
长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
1.（1）与椭圆共焦点的椭圆的方程可设为.
（2）与椭圆有相同的离心率的椭圆可设为,.
2.椭圆的两焦点分别为,是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:
(1);
(2);
(3);
（4）焦半径公式,(
,
).
3.椭圆的方程为（a＞b＞0）,
左、右焦点分别为,是椭圆上任意一点,则有:
(1);
(2)参数方程;
4.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).
(2)焦点三角形的面积：
.
(3)当P点位于短轴顶点处时,
最大,此时也最大;
(4)
(5)点是内心，交于点，则.
5.有关的经典结论
(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有
(3).
椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有
(4).
椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有
6.
若在椭圆上，则
（1）以为切点的切线斜率为；
（2）过的椭圆的切线方程是.
7.若在椭圆外
，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
8.椭圆的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
9.过椭圆上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
10.
若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1,
F
2是焦点,
,
，则
.
11.
P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.
12.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.
（1）;
（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;
（3）的最小值是.
13.
已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,
则.
14.
离心率e==、e2=1-
15.
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
16.
从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
17.
过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦
点的弦.
18.
内接矩形最大面积：.
19.
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
(1).过的直线
的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有
①
；②
(2).若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线
的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
结论：椭圆过焦点弦长公式：
20.若AB是过焦点F的弦,设,则
二．双曲线
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长
实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
，越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
1.（1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。
（2）与有相同焦点的双曲线方程为
（3）与有相同焦点的椭圆方程为：
（4）与有相同焦点的双曲线方程为：
（5）与有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在轴上时：
②焦点在轴上时：
（6）与有相同的渐近线方程为：；
2.双曲线的两焦点分别为,是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:
(1);
(2);
3.
双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,
,是双曲线上任意一点,则有:
;
4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则
(1).
(2)焦点三角形的面积
.
5.有关的经典结论
(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，
即。
(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有
(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有
(4)
双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有
6.
若在双曲线上，则
（1）以为切点的切线斜率为；（2）过的双曲线的切线方程是.
7.若在双曲线外
，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
8.
双曲线的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
9.过双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
10.
离心率e==、e2=
11.
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为,
12.双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为
13.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值
14.
与双曲线（a＞0，b＞0）有相同渐近线的双曲线方程可设为
15.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为
16.
双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
17.
设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，
焦点在x轴的焦点弦长为
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。
18.
若AB是过焦点F的弦,设,
,AB交在同支时,
,AB交在两支时,
(设)
三、抛物线
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率
1.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
(1)
(2)
(3)
(4)；(5)；
(6)；
(7)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与轴相切；
2.焦点对在准线上射影的张角为
3.如图所示，以两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点M，则有：
（1）M点必在准线上；
（2）设线段AB的中点为N，则，即；
（3）
4.
AB的中垂线与X轴交于点R，则
5.以A为切点的切线斜率为
，切线方程为
6.已知抛物线方程为，定点M，直线过点M交抛物线于A，B两点，，则有
；
7.已知A，B是抛物线两点，且直线AB不垂直于轴，则有：
8.（或）的参数方程为（或）（为参数）.
9.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：
①；
②恒过定点；
③中点轨迹方程：；
④，则轨迹方程为：；
⑤.
10.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：
①当时，顶点到点A距离最小，最小值为；
②当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为.
11.
抛物线y2=2px(p>0)与直线相交于且该直线与轴交于点，则有
12.
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交该抛物线于、两点，自、两点向准线作垂线，垂足分别为，则；其逆命题：若，则A、F、B三点共线。
※若点M是准线上任一点，则
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精品试卷·第
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