江苏省常州市教学联盟2019-2020学年高一下学期期中调研数学试题 Word版含解析

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江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．＝
A．
B．
C．
D．
2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为
A．
B．
C．
D．
3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是
A．
B．
C．
D．
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，
则这个定点的坐标是
A．(﹣2，1)
B．(﹣1，0)
C．(，)
D．(，)
6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有
A．1
B．2
C．3
D．4
9．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于
A．
B．
C．
D．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：
①A′D⊥BC；
②三棱锥A′—BCD的体积为；
③CD⊥平面A′BD；
④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
11．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是
A．
B．
C．
D．
12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C
的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，
则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为
．
14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝
．
15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是
．
16．已知函数，则＝
．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知，x(，)．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
19．（本小题满分12分）
已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．
（1）求BC边所在直线的一般式方程；
（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（1）求证：EF⊥平面PAC；
（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．
21．（本小题满分12分）
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
22．（本小题满分12分）
已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．
（1）证明：A＝2C；
（2）若，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．
江苏省常州市教学联盟2019—2020学年高一下学期期中调研
数学试题
2020．5
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．＝
A．
B．
C．
D．
答案：A
考点：两角和与差的正弦公式
解析：
，故选A．
2．底面半径为1，母线长为的圆锥的体积为
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：圆锥的体积
解析：圆锥的高，
则圆锥的体积，故选D．
3．过点(0，1)且与直线垂直的直线方程是
A．
B．
C．
D．
答案：A
考点：两直线的位置关系
解析：设所求直线方程为：，过点(0，1)，求得C＝﹣1，
故所求直线方程为，故选A．
4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
答案：B
考点：异面直线所成的角
解析：连接BE，则BE∥AF，∴∠BED是异面直线AF，DE所成的角或补角，
设正方体的棱长为2a，则BE＝DE＝，BD＝，
∴cos∠BED＝，故选B．
5．已知，若不论为何值时，直线l：总经过一个定点，
则这个定点的坐标是
A．(﹣2，1)
B．(﹣1，0)
C．(，)
D．(，)
答案：C
考点：直线过定点问题
解析：直线l的方程可变形为：，
则，解得，即定点坐标为(，)．
故选C．
6．已知是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列错误的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
答案：C
考点：空间点、线、面的位置关系
解析：选项C中，若，则结论不一定成立，故选C．
7．对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：两角和与差的三角函数公式
解析：∵，，，，(0，1)，
∴，，故A，B错，
∵，，，，(0，1)，
∴，故D正确，
至于C，取可判断C错误，
综上所述，选D．
8．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的个数有
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
考点：线面平行的判定
解析：图（1）可知平面ABC∥平面MNP，故AB∥平面MNP，图（1）符合题意；
图（4），AB∥PN，故AB∥平面MNP，图（4）符合题意；
至于图（2）和图（3），无法得出AB∥平面MNP，
综上所述，本题选B．
9．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：正余弦定理
解析：，
∴，
∴，故选D．
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC．其中正确命题的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
考点：空间中的垂直关系，三棱锥的体积
解析：取BD中点E，连A′E，
由二面角A′—BD—C为直二面角，可得A′E⊥平面BCD，则A′E⊥CD，
∴VA′—BCD＝，②正确，
∵CD⊥BD，A′E⊥CD，且A′EBD＝E，
∴CD⊥平面A′BD，故③正确，
∵A′B＝1，又求得A′C＝，BC＝2，
∴A′B2＋A′C2＝1＋3＝22＝BC2，∴A′B⊥A′C，
由CD⊥平面A′BD，得CD⊥A′B，又A′CCD＝C
∴A′B⊥平面A′DC，∵A′B平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′DC，④正确，
至于①无法得证，故选C．
11．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是
A．
B．
C．
D．
答案：D
考点：正弦定理，两角和与差的正切公式
解析：∵，
∴，即，
令，，，显然，
∵，∴，解得，
∴，B＝，故选D．
12．在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面与直线DE垂直，则平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为
A．
B．
C．
D．
答案：B
考点：立体几何综合
解析：取AB的中点N，可知平面A1MCN就是平面截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面，由平面A1MCN是菱形，且该菱形对角线A1C＝，MN＝，
则S＝，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．直线l1：，l2：，若l1∥l2，则的值为
．
答案：﹣3
考点：两直线平行
解析：∵l1∥l2，
∴，且，
∴a＝﹣3．
14．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴非负半轴为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则＝
．
答案：
考点：两角和与差的余弦公式
解析：当角为第三象限角时，则角为第四象限角
∴，，，
则；
当角为第四象限角时，则角为第三象限角
∴，，，
则．
综上，的值为．
15．圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是
．
答案：
考点：扇形的弧长公式的运用，圆锥底面周长＝侧面展开图的弧长
解析：该圆锥的侧面展开图的圆心角＝，
∴最短路程＝．
16．已知函数，则＝
．
答案：1000
考点：三角恒等变换，三角函数的性质
解析：
，
则函数的周期为4，求得，
∴．
三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知，x(，)．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）解法一：因为，
所以，
于是
…………1分
…………3分
．
…………5分
解法二：由，
得，
…………2分
．
…………5分
（2）因为．故．…………
6分
，．
…………
8分
所以．
…………10分
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥平面PDC，△PCD为正三角形，E为PC的中点．
（1）证明：AP∥平面EBD；
（2）证明：BE⊥PC．
（1）证明：在平行四边形中，连接交与点，连接
在中，分别为中点，
…………
2分
………………………………5分
（2）证明：
在正三角形中，为中点，
…………7分
…………11分
又因为中，所以
…………12分
19．（本小题满分12分）
已知△ABC的三个顶点分别为A(a，b)，B(4，1)，C(3，6)．
（1）求BC边所在直线的一般式方程；
（2）已知BC边上中线AD所在直线方程为，且S△ABC＝7，求点A的坐标．
解：（1），代入点斜式方程，，直线的一般方程为
…………3分
（2），中点坐标为，代入方程，得…………5分
所以方程为，点满足方程，所以
，设点到直线距离为，，
所以
…………7分
同时利用点到直线的距离公式得，
，所以，
…………9分
所以
所以，所以点坐标为或
………12分
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝6，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．
（1）求证：EF⊥平面PAC；
（2）当时，求四棱锥M—ECDF的体积．
（1）证明：在平行四边形中，分别为的中点，所以
在平行四边形中，，所以
在中，,，所以,,
………2分
，，
………6分
………8分
（3）解：，，
由（1）知，，所以点
………10分
，，
所以四棱锥的体积为
………12分
21．（本小题满分12分）
某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC＝，∠ACD＝，路宽AD＝18米．设∠BAC＝()．
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
21．解：（1）与地面垂直，，
在中，，…………1分
由正弦定理得，得，
……3分
在中，，
由正弦定理得，．
………5分
………6分
（2）中，
由正弦定理得，得，
………8分
………10分
，，
当时，取得最小值．
故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．
………12分
22．（本小题满分12分）
已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．
（1）证明：A＝2C；
（2）若，且△ABC为锐角三角形，求S的取值范围．
（1）证明：由，得，
，，，
………2分
由余弦定理得，，
，，
，
，，
，
………4分
或
，，．
………5分
（2）解：，，
．
由正弦定理得且，
，
………6分
………7分
为锐角三角形且，
，
为锐角三角形，，
………10分
，，此时为增函数，，
即的取值范围是．
………12分