1.1.1　正弦定理 同步练习（学业水平+应试能力+重点选做）原卷版+解析版

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1．1.1　正弦定理
班级______________
姓名________________
学号________
层级一　学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin
A∶sin
B的值是(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
解析：选A　根据正弦定理得＝＝.
2．在△ABC中，若－＝0，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰三角形
B.钝角三角形
C．等边三角形
D.直角三角形
解析：选A　在△ABC中，∵－＝0，
∴＝，∴由正弦定理可得＝＝，
可得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°
B.45°
C．60°
D.90°
解析：选B　由正弦定理得，＝＝，
则cos
C＝sin
C，即C＝45°，故选B.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝，A＝30°，则角B等于(　　)
A．60°或120°
B.30°或150°
C．60°
D.120°
解析：选A　∵＝，∴sin
B＝＝＝，∴B＝60°或B＝120°.故选A.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin
A，则sin
B＝(　　)
A.
B.
C.
D.－
解析：选B　由正弦定理得a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，所以sin
A＝sin
Bsin
A，
故sin
B＝.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝30，b＝50，A＝36°
B．a＝50，b＝30，A＝36°
C．a＝30，b＝60，A＝30°
D．a＝30，B＝20°，A＝136°
解析：选A　对于A，bsin
A<50×＝30＝ab，这样的三角形只有一个．对于C，bsin
A＝60×＝30＝a，这样的三角形只有一个．对于D，∵A＝136°，∴△ABC为钝角三角形，∵B＝20°，A＝136°，∴C＝24°，∴这样的三角形是唯一的．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos
B＋acos
C＝b＋c，则△ABC的形状是________．
解析：∵acos
B＋acos
C＝b＋c，∴由正弦定理，得sin
A·cos
B＋sin
Acos
C＝sin
B＋
sin
C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得cos
A·(sin
B＋sin
C)＝0.又sin
B＋sin
C>0，∴cos
A＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．
答案：直角三角形
8．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
解析：∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sin
A，b＝2sin
B，c＝2sin
C.
∴＝2.
答案：2
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°，则C＝180°－(A＋B)＝75°.因为C>B>A，所以最小边为a.又因为c＝1，由正弦定理得，a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解：∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝
＝4sin(30°＋45°)＝2＋2.
层级二　应试能力达标
1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin
B＋sin
A(sin
C－cos
C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　因为sin
B＋sin
A(sin
C－cos
C)＝0，
所以sin(A＋C)＋sin
Asin
C－sin
Acos
C＝0，
所以sin
Acos
C＋cos
Asin
C＋sin
Asin
C－sin
Acos
C＝0，整理得sin
C(sin
A＋cos
A)＝0.因为sin
C≠0，
所以sin
A＋cos
A＝0，所以tan
A＝－1，
因为A∈(0，π)，所以A＝，由正弦定理得sin
C＝＝＝，又0＜C＜，所以C＝.
2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin
B＋sin
C＝sin
A，则a＝(　　)
A.
B.2
C．4
D.2
解析：选C　根据正弦定理，sin
B＋sin
C＝sin
A可化为b＋c＝a，
∵△ABC的周长为4(＋1)，
∴解得a＝4.故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos
A，sin
A)，若m⊥n，且acos
B＋bcos
A＝csin
C，则角A，B的大小分别为(　　)
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：选C　因为m⊥n，所以cos
A－sin
A＝0，所以tan
A＝，则A＝.由正弦定理，得sin
Acos
B＋sin
B·cos
A＝sin2C，所以sin(A＋B)＝sin2C，所以sin
C＝sin2C.因为0C≠0，所以sin
C＝1，所以C＝，B＝.
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，由正弦定理得＝＝＝，
所以sin∠CED＝·sin∠EDC＝·sin
＝.
5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是________________．
解析：原式可化为＝?sin2A[sin(A－B)－sin(A＋B)]＋sin2B·[sin(A－B)＋sin(A＋B)]＝0?－sin2A·cos
Asin
B＋sin2Bsin
Acos
B＝0?－sin
2A＋sin
2B＝0，又∵0答案：等腰三角形或直角三角形
6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，则的取值范围是________．
解析：在锐角三角形ABC中，A，B，C都为锐角，
由题意，知所以30°由正弦定理，知＝＝＝2cos
B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
答案：(，)
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin
A＝cos
C，
利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin
A＋sin
C＝sin
B，
又∵sin
A＝cos
C，∴sin
A＋sin
C＝cos
C＋sin
C＝sin(C＋45°)＝sin
B，
又A，B，C是△ABC的内角，
故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，
所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.
所以C＝15°.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin
C＝ccos
A.
(1)求A的大小；
(2)若b＝2，且≤B≤，求c的取值范围．
解：(1)由题意得＝.
由正弦定理，得＝＝1.
∴tan
A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b＝2，A＝，∴在△ABC中，由正弦定理＝，得c＝＝＝＝＋1＝＋1.∵≤B≤，∴1≤tan
B≤，∴2≤c≤＋1，即c的取值范围为[2，＋1]．
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1．1.1　正弦定理
班级______________
姓名________________
学号________
层级一　学业水平达标
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin
A∶sin
B的值是(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
2．在△ABC中，若－＝0，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰三角形
B.钝角三角形
C．等边三角形
D.直角三角形
3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°
B.45°
C．60°
D.90°
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝，A＝30°，则角B等于(　　)
A．60°或120°
B.30°或150°
C．60°
D.120°
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin
A，则sin
B＝(　　)
A.
B.
C.
D.－
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．a＝30，b＝50，A＝36°
B．a＝50，b＝30，A＝36°
C．a＝30，b＝60，A＝30°
D．a＝30，B＝20°，A＝136°
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos
B＋acos
C＝b＋c，则△ABC的形状是________．
8．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
10．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
层级二　应试能力达标
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin
B＋sin
A(sin
C－cos
C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A.
B.
C.
D.
2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(＋1)，且sin
B＋sin
C＝sin
A，则a＝(　　)
A.
B.2
C．4
D.2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos
A，sin
A)，若m⊥n，且acos
B＋bcos
A＝csin
C，则角A，B的大小分别为(　　)
A.，
B.，
C.，
D.，
4.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是________________．
6．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，则的取值范围是________．
7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝b，求C.
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin
C＝ccos
A.
(1)求A的大小；
(2)若b＝2，且≤B≤，求c的取值范围．
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