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解三角形在实际测量中的应用
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
解析：选D 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，
即AB＝＝＝4.
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68
n
mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.
n
mile/h
B．34
n
mile/h
C.
n
mile/h
D．34
n
mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝
n
mile/h.
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110米
B．112米
C．220米
D．224米
解析：选A 如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(米)．从选项来看110最接近，故选A.
4．如图所示，两座相距60
m的建筑物AB，CD的高度分别为20
m，50
m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A．30°
B.45°
C．60°
D.75°
解析：选B 依题意可得AD＝20
m，AC＝30
m，
又CD＝50
m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
5．海上的A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10
n
mile
B.
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
解析：选D 由题意，做出示意图，如图，
在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，
由正弦定理，得＝，解得BC＝5(n
mile)．
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理，得
AC2＝27＋4－2×3×2×cos
150°＝49，AC＝7.
则A，C两地的距离为7
km.
答案：7
7．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10
m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
解析：如图所示，在Rt△ACD中，
∵AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10.
在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°，
∴BC＝10.
在△ABC中，cos∠ACB＝
＝，
∴∠ACB＝30°.
答案：30°
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10
cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，
则∠AOB＝60°，由正弦定理知：
x＝＝＝(cm)．
答案：
9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．
解：如图，连接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30×＝10＝A2B2，
∴△A1A2B2为正三角形，
∴A1B2＝10.
在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°，
∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10×＝200，
∴B1B2＝10，
∴乙船每小时航行30海里．
10.
已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan
θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100，连接QM，
在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，
∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，
得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan
θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100，cos
θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos
θ＝(100)2，∴BA＝100.
故两发射塔顶A，B之间的距离是100米．
层级二 应试能力达标
1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60
m，则河流的宽度BC是( )
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
解析：选C 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60
m，∴AC＝120
m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．
2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30
m
B.
m
C．15
m
D．45
m
解析：选B 在△ABC中，AC＝15
m，AB＝5
m，BC＝10
m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－，∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝
m.
3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500
m，则电视塔AB的高度是( )
A．100
m
B．400
m
C．200
m
D．500
m
解析：选D 设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500
m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos
120°，解得x＝500
m.
4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos
θ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
A．4
海里/小时
B．3
海里/小时
C．2
海里/小时
D．4
海里/小时
解析：选A 因为cos
θ＝，0°<θ<45°，所以sin
θ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝(20)2＋102－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为＝4海里/小时．
5.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50
n
mile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________n
mile(结果精确到小数点后一位)．
解析：由题易知两船相遇之处M位于BC上，如图，设|MC|＝d，
则＝(M位于BC延长线上取“＋”，M位于BC上取“－”)，
所以(100±d)2＝4[d2＋(25)2±50d]，即3d2＝1002－5
000，
所以d2＝，即d≈40.8(n
mile)．
答案：40.8
6.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，测得∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，测得∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．
解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°.∵∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝30°，∴AB＝BD＝400，AD＝＝400.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos
150°＝4002×13，∴AC＝400.故索道AC的长为400米．
答案：400
7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4
m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70
m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01
m，其中≈1.732)．
解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，
则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，
由正弦定理得＝，
解得BC＝4(m)．即BC的长为4
m.
(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，
所以DC＝4sin
75°.
因为sin
75°＝sin(45°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
45°sin
30°＝，
则DC＝2＋2.
所以CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464
≈7.16(m)．
即这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16
m.
8.
在以v
km/h的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球，热气球顺风与船同向，以2
km/h的速度沿与水平方向成60°直线方向向上飘去，2
h后测得探测船与热气球的距离为2
km，之后热气球沿水平方向仍以2
km/h的速度飞行1
h，第二次测得探测船与热气球的距离为s
km.
(1)求探测船的速度v(km/h)；
(2)求第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时仰角的正弦值．
解：(1)如图所示．
由题意，在△ABC中，AB＝4，BC＝2v，∠ABC＝60°，AC＝2.根据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
60°，
∴28＝16＋4v2－8v，即v2－2v－3＝0，
解得v＝3(v＝－1舍去)，
∴探测船的速度为3
km/h.
(2)过点D作DF平行于AC，交CE于点F.
∠DFE＝∠ACE，EF＝CE－CF＝1，DF＝2.
在△ABC中，由余弦定理，得
cos∠ACB＝＝，
∴cos∠DFE＝－.
∴sin∠DFE＝＝.
在△DEF中，根据余弦定理，得
s＝
＝.
∵＝，
∴sin∠DEF＝＝.
∴第二次测距离时，从探测船观察热气球时仰角的正弦值为.
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精品试卷·第
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班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68
n
mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.
n
mile/h
B．34
n
mile/h
C.
n
mile/h
D．34
n
mile/h
3．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110米
B．112米
C．220米
D．224米
4．如图所示，两座相距60
m的建筑物AB，CD的高度分别为20
m，50
m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A．30°
B.45°
C．60°
D.75°
5．海上的A，B两个小岛相距10
n
mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A．10
n
mile
B.
n
mile
C．5
n
mile
D．5
n
mile
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3
km到B处，再沿正东方向行走2
km到C处，则A，C两地的距离为________km.
7．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10
m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
8．一蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________cm.
9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度．
10.
已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan
θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
层级二 应试能力达标
1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60
m，则河流的宽度BC是( )
A．240(－1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30
m
B.
m
C．15
m
D．45
m
3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500
m，则电视塔AB的高度是( )
A．100
m
B．400
m
C．200
m
D．500
m
4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cos
θ＝.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )
A．4
海里/小时
B．3
海里/小时
C．2
海里/小时
D．4
海里/小时
5.如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50
n
mile，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________n
mile(结果精确到小数点后一位)．
6.如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，测得∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，测得∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．
7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4
m后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.
(1)求BC的长；
(2)若小明身高为1.70
m，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01
m，其中≈1.732)．
8.
在以v
km/h的速度向东航行的科学探测船上释放了一个探测热气球，热气球顺风与船同向，以2
km/h的速度沿与水平方向成60°直线方向向上飘去，2
h后测得探测船与热气球的距离为2
km，之后热气球沿水平方向仍以2
km/h的速度飞行1
h，第二次测得探测船与热气球的距离为s
km.
(1)求探测船的速度v(km/h)；
(2)求第二次测距离时，从探测船位置观察热气球时仰角的正弦值．
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