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1．1.2 余弦定理
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选B ∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos
A＝＝，∴A＝60°.
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos
C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选C 由余弦定理，得
c2＝a2＋b2－2abcos
C＝82＋72－2×8×7×＝9，
所以c＝3，故a最大，
所以最大角的余弦值为
cos
A＝＝＝－.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B.锐角三角形
C．等边三角形
D.等腰直角三角形
解析：选A 在△ABC中，∵cos2＝，∴＝＋，∴cos
A＝.由余弦定理，知＝，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.
B.8－4
C．1
D.
解析：选A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab
cos
C＝2abcos
60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin
A∶sin
B∶sin
C＝4∶3∶2，则cos
A的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A ∵sin
A∶sin
B∶sin
C＝4∶3∶2，∴由正弦定理，得a∶b∶c＝4∶3∶2.
设三边长分别为a＝4k，b＝3k，c＝2k，k>0.
利用余弦定理，得cos
A＝＝＝－.
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
解析：∵b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－2accos
120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
答案：0
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴()2＝a2＋12－2a×1×cos
，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝1，或a＝－2(舍去)．∴a＝1.
答案：1
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
解析：∵(a＋b)2－c2＝ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cos
C＝＝－.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
答案：
9．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos
A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
解：(1)∵cos
A＝2cos2－1,2cos2＋cos
A＝0，
∴2cos
A＋1＝0，∴cos
A＝－，∴A＝120°.
(2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos
A，
又a＝2，b＝2，cos
A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，
化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin
B＝.
(1)求b和sin
A的值；
(2)求sin的值．
解：(1)在△ABC中，因为a>b，
故由sin
B＝，可得cos
B＝.
由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝13，
所以b＝.
由正弦定理＝，得sin
A＝＝.
所以b的值为，sin
A的值为.
(2)由(1)及aA＝，
所以sin
2A＝2sin
Acos
A＝，
cos
2A＝1－2sin2A＝－.
故sin＝sin
2Acos＋cos
2Asin＝×＝.
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，有下列关系式：
①asin
B＝bsin
A；②a＝bcos
C＋ccos
B；③a2＋b2－c2＝2abcos
C；④b＝csin
A＋asin
C.
一定成立的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D.4个
解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin
A＝sin(B＋C)＝sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin
B＝sin
Csin
A＋sin
Asin
C＝2sin
Asin
C，又sin
B＝sin(A＋C)＝cos
Csin
A＋cos
Asin
C，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.
2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin(C－A)＝sin
B，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10
B.8
C．7
D.4
解析：选B 在△ABC中，sin(C－A)＝sin
B＝sin(A＋C)，即2sin
Ccos
A－2cos
Csin
A＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C，∴sin
Ccos
A＝3sin
Acos
C.
由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，
∴b2＋c2－a2＝3a2＋3b2－3c2，
∴4c2－4a2＝2b2＝2×16＝32，∴c2－a2＝8.故选B.
3．在△ABC中，三边上的高依次为，，，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B.直角三角形
C．钝角三角形
D.不存在这样的三角形
解析：选C 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，分别为a，b，c上的高．因为S△ABC＝a×＝b×＝c×，所以可设a＝13k，b＝5k，c＝11k(k>0)．由余弦定理，得cos
A＝＝－<0，则A∈，所以△ABC为钝角三角形，故选C.
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79
B．69
C．5
D.－5
解析：选D 由余弦定理得：
cos∠ABC＝＝＝.
因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||·||cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.
解析：在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴由正弦定理＝，得＝＝，整理得cos
A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，得1＝3＋c2－3c，解得c＝1或c＝2.
当c＝1时，a＝c＝1，b＝，
此时A＝C＝30°，B＝120°，不满足B＝2A，舍去；
当c＝2时，a＝1，b＝，
此时A＝30°，B＝60°，C＝90°，满足题意，则c＝2.
答案：2
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
解析：由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos
120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
答案：
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
解：(1)由正弦定理可设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin
C＝2sin
A，
因此＝2.
(2)由＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cos
B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA的值；
(2)若AD＝3AC，求AC的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，
解得sin∠BCA＝.
(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝＝.
又∵∠BAC＋∠CAD＝，
∴cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝.
整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，∴AC＝3.
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1．1.2 余弦定理
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos
C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是( )
A．直角三角形
B.锐角三角形
C．等边三角形
D.等腰直角三角形
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.
B.8－4
C．1
D.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin
A∶sin
B∶sin
C＝4∶3∶2，则cos
A的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
9．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos
A＝0.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值．
10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a>b，a＝5，c＝6，sin
B＝.
(1)求b和sin
A的值；
(2)求sin的值．
层级二 应试能力达标
1．在△ABC中，有下列关系式：
①asin
B＝bsin
A；②a＝bcos
C＋ccos
B；③a2＋b2－c2＝2abcos
C；④b＝csin
A＋asin
C.
一定成立的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D.4个
2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若sin(C－A)＝sin
B，且b＝4，则c2－a2＝( )
A．10
B.8
C．7
D.4
3．在△ABC中，三边上的高依次为，，，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B.直角三角形
C．钝角三角形
D.不存在这样的三角形
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则·的值为( )
A．79
B．69
C．5
D.－5
5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.
6．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为________．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
8.如图，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD.
(1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA的值；
(2)若AD＝3AC，求AC的值．
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