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三角形中的几何计算与证明
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A．9
B．18
C．9
D.18
解析：选C 在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴AC＝＝＝6.
又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
∴S△ABC＝×6×6×＝9.
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B 设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cos
θ＝＝.
3．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为( )
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：选B ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin
C，
由余弦定理得：sin
C＝cos
C，∴tan
C＝1.
又0°4．在△ABC中，若cos
B＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选C 依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sin
B＝＝，又S△ABC＝acsin
B＝××b×＝，所以b＝2，选C.
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40
B．20
C．40
D．20
解析：选A 设另两边长为8x,5x，
则cos
60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
故两边长分别为16与10，
所以三角形的面积是×16×10×sin
60°＝40.
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为________．
解析：∵cos
C＝，0C＝，
∴S△ABC＝absin
C＝×3×2×＝4.
答案：4
7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
解析：在△ADC中，
cos
C＝＝＝.
又0°C＝.
在△ABC中，＝，
∴AB＝·AC＝××7＝.
答案：
8．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
解析：连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，∴∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠C，知BD2＝22＋22－2×2×2cos
120°＝12，∴BD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin
120°＝5.
答案：5
9．在△ABC中，求证：b2cos
2A－a2cos
2B＝b2－a2.
证明：左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2B)＝b2－a2－2(b2sin2A－a2sin2B)，
由正弦定理＝，得bsin
A＝asin
B，
∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，
∴b2cos
2A－a2cos
2B＝b2－a2.
10.
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足c＝2，ccos
B＋(b－2a)cos
C＝0.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解：(1)由正弦定理及题意，得
sin
Ccos
B＋sin
Bcos
C－2sin
Acos
C＝0.
∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin
A，
∴sin
A－2sin
Acos
C＝0.
∵sin
A≠0，∴cos
C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由正弦定理，得
＝＝＝＝4，
∴a＝4sin
A，b＝4sin
B.又∵A＋B＝，∴B＝－A.
∴△ABC的面积S＝absin
C＝4sin
Asin
B
＝4sin
Asin＝2sin＋.
当A＝时，S有最大值，且Smax＝3.
层级二 应试能力达标
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C ∵S＝absin
C＝＝＝abcos
C，
∴sin
C＝cos
C，即tan
C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
2．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos
A＝，则△ABC的面积等于( )
A.
B.
C．2
D．3
解析：选A 因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos
A，解得c＝2，b＝4，
因为cos
A＝，所以sin
A＝，
所以S△ABC＝bcsin
A＝×4×2×＝.
3．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )
A. B．2 C．2 D．4
解析：选B ∵S＝bcsin
A，∴＝×2csin
120°，
∴c＝2，∴a＝＝
＝2，
设△ABC外接圆的半径为R，∴2R＝＝＝4，
∴R＝2.
4．在△ABC中，sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.
B．(10，＋∞)
C．(0,10)
D.
解析：选D ∵＝＝，
∴c＝sin
C．∴05．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________.
解析：S△ABC＝·||·||·sin
A，
即＝·||·||·，
所以||·||＝4，
于是·＝||·||·cos
A＝4×＝2.
答案：2
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
C＋csin
B＝4asin
Bsin
C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：∵bsin
C＋csin
B＝4asin
Bsin
C，
∴由正弦定理得
sin
Bsin
C＋sin
Csin
B＝4sin
Asin
Bsin
C.
又sin
Bsin
C>0，∴sin
A＝.
由余弦定理得cos
A＝＝＝>0，
∴cos
A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝××＝.
答案：
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos
B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin
B＝8sin2，
即sin
B＝4(1－cos
B)，
故17cos2B－32cos
B＋15＝0，
解得cos
B＝，cos
B＝1(舍去)．
(2)由cos
B＝，得sin
B＝，
故S△ABC＝acsin
B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos
B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos
B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
8.如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．
(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；
(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．
解：(1)∵S△DAC＝2，
∴·AD·AC·sin∠DAC＝2，
∴sin∠DAC＝.
∵∠DAC<∠BAC<π－＝，
∴∠DAC＝.
在△ADC中，由余弦定理得
DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos
，
∴DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，
∴DC＝2.
(2)∵AB＝AD，B＝，
∴△ABD为正三角形．
在△ADC中，根据正弦定理，可得
＝＝，
∴AD＝8sin
C，DC＝8sin，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sin
C＋8sin＋4
＝8＋4
＝8＋4
＝8sin＋4，
∵∠ADC＝，∴0∴当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长取得最大值，且最大值为8＋4.
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三角形中的几何计算与证明
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学号________
层级一 学业水平达标
1．在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( )
A．9
B．18
C．9
D.18
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( )
A．－
B.
C．－
D.
3．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的大小为( )
A．135°
B．45°
C．60°
D．120°
4．在△ABC中，若cos
B＝，＝2，且S△ABC＝，则b＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40
B．20
C．40
D．20
6．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos
C＝，则△ABC的面积为________．
7.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________.
8．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．
9．在△ABC中，求证：b2cos
2A－a2cos
2B＝b2－a2.
10.
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足c＝2，ccos
B＋(b－2a)cos
C＝0.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
层级二 应试能力达标
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝( )
A.
B.
C.
D.
2．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos
A＝，则△ABC的面积等于( )
A.
B.
C．2
D．3
3．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为( )
A. B．2 C．2 D．4
4．在△ABC中，sin
A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A.
B．(10，＋∞)
C．(0,10)
D.
5．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________.
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
C＋csin
B＝4asin
Bsin
C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos
B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
8.如图，在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．
(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；
(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．
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