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数列的概念与简单表示法
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．①
B．①②
C．③④
D．②④
解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.
2．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2
B．3
C．9
D．32
解析：选B 因为an＝3n－1，所以a2＝32－1＝3.
4．数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
解析：选C 已知数列可化为：0，，，，，…，故an＝
.
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的( )
A．第20项
B．第22项
C．第24项
D．第26项
解析：选C 由＝0.96，解得n＝24.
6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得
an＝
答案：an＝
7．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
解析：∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，
∴an＝.
由＝2?3n－1＝20?n＝7，
∴2是该数列的第7项．
答案：7
8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<.
∵n∈N
，∴n≤9.
答案：9
9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，________，，，…；
(2)，________，，，，…；
(3)2,1，________，，…；
(4)，，________，，….
解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号
1 2
3 4
5
6
↓ ↓ ↓
↓
↓ ↓
________
于是应填，而分子恰为10减序号，
故应填，通项公式为an＝.
(2)＝，
＝，
＝，
＝.
只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填，
通项公式为an＝.
(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.
(4)先将原数列变形为1，2，________，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝n＋.
10．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
解：将a1＝2，a2＝代入通项公式，得
解得
∴an＝，∴a4＝＝，a5＝＝.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于( )
A. B.
C.
D.
解析：选B an·an＋1·an＋2＝··＝.故选B.
2．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A.
B．5
C．6
D.
解析：选B a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.
3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )
A．3n－1
B．3n
C．3n＋1
D．3(n＋1)
解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，…，an－an－1＝3(n≥2)，把上面的式子累加，则可得第n个图形中，an＝4＋3(n－1)＝3n＋1(根)．
4．一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( )
A．an＝n
B．an＝n3－6n2＋12n－6
C．an＝n2－n＋1
D．an＝
解析：选C 对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2＋12n－6，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选C.
5．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析：我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：an＝4n＋2
6．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME?7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
解析：因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.
答案：
7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴解得
因此{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
所以n＝，解得n＝8.故－是{an}中的第8项．
(3)由于an＝n－1，且n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
8．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
又n∈N
，∴0<1－<1，
∴0
(4)令∴∴
∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
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数列的概念与简单表示法
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姓名________________
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层级一 学业水平达标
1．有下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式．
其中正确的是( )
A．①
B．①②
C．③④
D．②④
2．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列是递增数列
D．数列是摆动数列
3．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于( )
A．2
B．3
C．9
D．32
4．数列0，，，，，…的一个通项公式是( )
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
5．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的( )
A．第20项
B．第22项
C．第24项
D．第26项
6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．
7．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．
8．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)，，，________，，，…；
(2)，________，，，，…；
(3)2,1，________，，…；
(4)，，________，，….
10．已知数列2，，2，…的通项公式为an＝，求a4，a5.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于( )
A. B.
C.
D.
2．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A.
B．5
C．6
D.
3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为( )
A．3n－1
B．3n
C．3n＋1
D．3(n＋1)
4．一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列不可以作为其通项公式的是( )
A．an＝n
B．an＝n3－6n2＋12n－6
C．an＝n2－n＋1
D．an＝
5．如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
6．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME?7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.
7．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求{an}的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
8．已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
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