沪科版八年级下册数学19.3 .2矩形的判定 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
19.3.2
矩形的判定
复习回顾
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
∟
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的
两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
边
对角线
角
数学语言
∵四边形ABCD是矩形
∴AD
=
BC
，CD
=
AB
∴AD
∥BC
，CD
∥AB
∴AC=
BD
A
B
C
D
O
∴OA=
OC
，OD
=
OB
矩形的性质
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
工人师傅为了检验四边形窗框是否成矩形，可以有哪些方法？
想一想
A
B
C
D
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
A
B
C
D
（１）矩形的定义：
一个角是直角
矩形的判定方法
1：
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC，求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
证明：
∵点M是AD的中点
∴MA=MD
∵
在
ABCD中，
AB=CD
在△
ABM与△
CDM中，
∵
MA=MD(已证），
AB=CD(已证)
，
MB=MC(已知)
，
∴
△ABM
≌
△CDM
(SSS)
∴
∠A=
∠D
又在
ABCD中，AB//CD,
∠A+∠D=180
°，
∴
∠A=
∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形.
有一个角是直角
有两个角是直角
的
四边形是矩形吗？
有三个角是直角
探究
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
。
你能证明上述结论吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
∟
∟
∟
证明：∵
∠A=∠B=90°
∴
∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵
∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法2：
有三个角是直角的四边形是矩形
。
A
B
C
D
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
例2：
如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
已知：如图，
???ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形
EFGH为矩形．
∴∠BGC=90°
同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴四边形EFGH是矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形)
证明：∵AB∥CD
　　∴∠ABC＋∠BCD=180°
　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD　　
???????????????????????????????????????
A
B
C
D
E
F
G
H
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?
A
B
C
D
AC=BD
A
B
C
D
AC=BD
都不是矩形
想一想
O
如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？
A
B
C
D
将AC同时向两边拉长，使AC=BD
O
A
B
C
D
现在的
ABCD会是一个什么图形？
想一想
猜猜看：
工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形
。
对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
∵
AB=CD,
BC=DA,
AC=BD
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠DCB
矩形的判定方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形
。
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的点，AE=BF=CG=DH.
求证：四边形EFGH是矩形．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：
∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD
且AC与BD互相平分
∴OA=OB=OC=OD
∵AE=BF=CG=DH
∴OA-AE=OB-BF=OC-CG=OD-DH
即OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH为平行四边形
OE+OG=OF+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH为矩形。
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（9）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
小结：矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
布置作业:
89页练习题
第1题和第2题。