(共22张PPT)
矩
形
矩形的性质
每天清晨，时钟提醒我们起床的时间到了……
打开窗户，呼吸一下新鲜的空气……
翻开带有墨香的书本，课前预习一下课堂上要讲的内容……
每到学习时间，我们都会用这些小册子来书写我们成长的历程……
吃过晚饭，打开电视机，看看新闻，了解一下国家大事……
度过了一个忙碌而充实的一天，来到自己温馨的小屋，放下一天的疲惫，慢慢的进入梦乡……
讲授新课
矩形的性质
一
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
具有平行四边形的所有性质
对边平行且相等
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
动手发现
B
C
D
A
O
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
矩形的四个角都是直角
猜想1：
猜想2：
矩形的对角线相等
矩形的四个角都是直角
已知：四边形ABCD是矩形，∠B=
90°
求证：∠A=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：
∵矩形ABCD是平行四边形，
∴
AB∥DC
∴
∠B
+
∠C
=180°
∵
∠B
=90°
∴∠C=90°
∴
∠D=
∠B
=
90°
∠A
=
∠C
=
90°
∴∠A=∠C=∠D=90°
猜想1
矩形性质1
几何语言
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
∟
B
C
D
A
四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O
AC=BD
∵四边形ABCD是矩形
AB=DC,BC=CB
∴△ABC≌△DCB
∴
AC=DB
已知：
求证：
证明：
矩形的对角线相等
∴∠ABC=∠DCB=90°
猜想2：
矩形性质2：
O
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=DB
且互相平分
即OA=OB=OC=OD
平行
相等
＝
∥
直
90°
对比归纳
平分
相等
CO
BO
DO
BD
两
对角线的交点(或点O)
ab
O
D
A
B
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：
在Rt△ABC中，
∵OB是斜边AC上的中线
∴
OB=
AC
∟
【技巧点睛】倍长中线是解决三角形中线问题的重要方法
例1
如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD，
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
∴OA
=
OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
A
B
C
D
O
典例精析
矩形的对角线相等且互相平分
课
反
堂
馈
阅读教材P52～53，完成下列问题．
1．矩形的定义：有一个角是直角的
叫做矩形．
如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝
，
∴四边形ABCD是矩形．
2．矩形的性质：矩形的对边
且
；矩形的四个角都是
；矩形的对角线互相
且
．
如图2，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥
，AD∥
，
AB＝
，AD＝
，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝
，
AO＝
＝
，BO＝
＝
，AC＝
．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的
．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，则CD＝
．
平行四边形
90°
平行
相等
直角
平分
相等
CD
BC
90°
CD
BC
OC
一半
AB
AC
DO
BD
BD
巩
训
固
练
1．在下面性质中，矩形不一定具有的是（
D
）
A．对角线相等
B．四个角都相等
C．是轴对称图形
D．对角线互相垂直
2．直角三角形中，斜边长为12，则斜边上的中线长是（
A
）
A．6
B．4
C．8
D．12
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，
AD的中点，若AB＝6
cm，BC＝8
cm，则△AEF的周长为（
C
）
A．7
cm
B．8
cm
C．9
cm
D．12
cm
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若
∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠ABD为（
D
）
A．60°
B．62.5°
C．65°
D．67.5°
巩
训
固
练
?5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别
交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝4，则图中阴影部分的面积为
．
6．如图，已知四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE＝
AD，DF⊥AE，垂足为点F，求证：DF＝AB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，
∴∠EBA＝∠DFA＝90°，AD∥BC.∴∠DAF＝∠AEB.
在△AFD和△EBA中，
∴△AFD≌△EBA（AAS）．∴DF＝AB.
4
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(共22张PPT)
18.2.1（2）矩形的判定
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握
矩形的判定定理．（重点）
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
矩形
对角线：相等且互相平分
有一个角是直角的平行四边形
回顾与思考
轴对称图形
（2条对称轴）
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形的判定定理1
活动1:
利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时,
注意观察两条对角线的长度.
问题1:我们会看到对角线的长度会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？
α
猜想：当两条对角线长度相等时,平行四边形是矩形.
α
α
已知：如图,在□ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵在□ABCD中
∴
AB
=
DC,BC
=
CB,
又∵
AC
=
DB,
∴
△ABC≌△DCB
（SSS)
∴∠ABC
=
∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC
+
∠DCB
=
180°,
∴
∠ABC
=
90°,
∴
□
ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
矩形的判定定理2
活动2:
李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.
①
②
③
④
问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形.你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？
猜想：当有三个角是直角时，四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵
∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC,
∵
∠B+∠C=180°，
∴
AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵
∠A=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
猜想：
有三个角是直角的四边形是矩形.
判定定理
直
90°
直
90°
相等
BD
对角线相等的平行四边形是矩形.
方法二
矩形判定：
假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（工具：卷尺和三角尺）
解决问题
卷尺
工人师傅说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
三个角是直角的四边形是矩形.
方法三
矩形判定：
假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（工具：直尺和三角尺）
解决问题
三角尺
工人师傅说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？
重难点选讲
20
AC＝BD或∠ABC＝90°
∠A＝90°或AD＝
BC或AB∥CD
巩
训
固
练
1．在?ABCD中，增加一个条件四边形ABCD就成为矩形，这个条件是（
B
）
A．AB＝CD
B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB
D．AC⊥BD
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要
添加的条件是（
D
）
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各
边的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是
．
12
巩
训
固
练
4．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
（1）求证：AD＝CN；
（2）若∠BAN＝90°，求证：四边形ADCN是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结
