人教版八年级下册数学 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习含答案
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.2 勾股定理的逆定理 同步练习含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 203.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-10 23:27:44 | ||
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文档简介
17.2
勾股定理的逆定理
同步练习
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(
)
A.4，5，6
B.2，3，4
C.，3，4
D.1，，3
2.适合下列条件的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，直角三角形的个数为(
)
①②，∠A＝45°；③∠A＝320，∠B＝58°；④⑤
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是(
)
A.42
B.52
C.7
D.52或7
4.在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则(
)
A.∠A＝90°
B.∠B＝90°
C.∠C＝90°
D.∠A＝∠B
5.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则它的形状为(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
6.下列各组数是勾股数的是(
)
A.2，3，4
B.4，5，6
C.3.6，4.8，6
D.9，40，41
7.三角形三边长分别为8，15，17，则最短边上的高为(
)
A.8
B.15
C.16
D.17
8.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a﹣6)2＋＝0，则三角形的形状是(
)
A.底与腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
9.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B.若A、B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(
)
A.北偏西30°
B.南偏西30°
C.南偏东60°
D.南偏西30°
10.一块木板如图，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为(
)
A.60
B.30
C.24
D.12
第8题图
二、填空题(每小题3分，共30分)
11.用长度相同的火柴棒首尾相连摆直角三角形，你认为至少要用
根才能摆成.
12.在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_______.
13.如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.
14.命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：_________
______________________________________________________________________________.
15.将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出另外两组基本勾股数：________________，_________________.
16.如图，一棵大树折断后倒在地上，根据图中数据计算大树没折断时的高度是
m.
第16题图
第17题图
第18题图
第19题图
17.如图，小明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从C到A走了9米，则∠A＋∠B＝________.
18.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝12cm，DC＝13cm，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为
.
19.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成
个直角三角形.
20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，则旗杆的高度OM＝________米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝________米.
第20题图
三、解答题(共40分)
21.(10分)若△的三边满足，试判断△的形状.
22.(10分)三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路直达AC，已知公路的造价为26000元/
km，求修这条公路的最低造价是多少?
23.(10分)有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？
24.(10分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC和AB的长；
(2)证明：∠ACB＝90°.
参考答案
1.C
2.A
3.D
【解析】此题要考虑两种情况：x是斜边或4是斜边.根据勾股定理，即“两条直角边的平方等于斜边的平方”进行求解.
当x是斜边时，则x2＝9＋16＝25；
当4是斜边时，则x2＝16－9＝7
故选D
4.A
【解析】根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足a2＋b2＝c2，哪一个是斜边，其所对的角就是直角.
解：∵AB2＝()2＝2，BC2＝()2＝5，AC2＝()2＝3，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A＝90°.
故选A.
5.D.
【解析】因为a，b，c为三角形三边，根据(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，可找到这三边的数量关系.∵(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，是等腰三角形.当只有第二个条件成立时：是直角三角形.当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形.故正确的选项是D.
6.D
【解析】利用勾股数的定义进行判断.A选项，42≠22＋32，故2，3，4不是勾股数；B选项，62≠42＋52，故4，5，6不是勾股数；C选项，3.6，4.8不是正整数，故不是勾股数；D选项，三数均为正整数，且412＝92＋402，故9，40，41是勾股数.故选D.
7.B.
【解析】∵三角形的三边长分别为8，15，17，符合勾股定理的逆定理152＋82＝172，
∴此三角形为直角三角形，则8为直角三角形的最短边，并且是直角边，
那么这个三角形的最短边上的高为15.
故选B.
8.D
【解析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.
解：∵(a﹣6)2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵(a﹣b)2＋＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵62＋82＝36＋64＝100＝102，
∴是直角三角形.
故选D.
9.C
【解析】甲的路程：40×15＝600米，
乙的路程：20×40＝800米，
∵6002＋8002＝10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C.
10.C
【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52，AC＝5.在△ADC中，AC2＋DC2＝52＋122＝132＝AD2，则△ADC是直角三角形，所以木板的面积.
11.12.
【解析】直角三角形的三边长为3，4，5时，三角形的周长最小，3＋4＋5＝12，故答案为：12.
12.108
【解析】∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92＋122＝152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108
13.a2＋b2＝c2
【解析】根据勾股定理的逆定理求得
14.如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
【解析】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
故答案为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
15.5，12，13；7，24，25
【解析】答案不唯一，只要满足题意即可.
16.18
【解析】在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，根据勾股定理可得AC＝＝＝13m，即折断树的高度为13m；因此可得大树的高度＝13＋5＝18m.
17.90°
【解析】∵AC2＋BC2＝92＋402＝1681，而AB2＝412＝1681，△ABC为直角三角形∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°
18.36cm2
【解析】连接AC，先根据直角三角形的性质得到AC边的长度，再根据三角形ACD中的三边关系可判定△ACD是Rt△，把四边形分成两个直角三角形即可求得面积.
解：连接AC，
∵∠B＝90°
∴AC2＝AB2＋BC2＝16＋9＝25，
∵AD2＝144，DC2＝169，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴CA⊥AD
∴S四ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×12×5＝36cm2.
19.2
【解析】根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形.共2个.
20.15；2
【解析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可.
解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF(AAS)，
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE＋OF＝AE＋BF＝CD＝17(m)
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(m)，
∴2EO＋EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF＋FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝2(m).
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.
21.△ABC是直角三角形.
【解析】本题通过对式子的整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.
解：∵a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，
∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0，
∴(a－6)＝0，(b－8)＝0，(c－10)＝0，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∵62＋82＝102，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形.
22.120000元.
【解析】由＝169，＝169，得到∠ABC＝90°，从而确定出最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价.
试题解析：∵＝＝169，＝169，∴＝，∴∠ABC＝90°，当BD⊥AC时BD最短，造价最低，∵S△ABC＝AB?BC＝AC?BD，∴BD＝＝km，×26000＝120000元.
答：最低造价为120000元.
23.是，理由见解析.
【解析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2＝AB2＋BC2＝8，那么AD2＋AC2＝9＝DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形.
解：都是直角三角形.理由如下：
连结AC.
在△ABC中，∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
∴AC2＝AB2＋BC2＝8，
又∵AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴△ACD也为直角三角形.
24.（1）CD=12;AB=25;(2)略
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精品试卷·第
2
页
(共
2
页)
勾股定理的逆定理
同步练习
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(
)
A.4，5，6
B.2，3，4
C.，3，4
D.1，，3
2.适合下列条件的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，直角三角形的个数为(
)
①②，∠A＝45°；③∠A＝320，∠B＝58°；④⑤
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是(
)
A.42
B.52
C.7
D.52或7
4.在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，则(
)
A.∠A＝90°
B.∠B＝90°
C.∠C＝90°
D.∠A＝∠B
5.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则它的形状为(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
6.下列各组数是勾股数的是(
)
A.2，3，4
B.4，5，6
C.3.6，4.8，6
D.9，40，41
7.三角形三边长分别为8，15，17，则最短边上的高为(
)
A.8
B.15
C.16
D.17
8.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a﹣6)2＋＝0，则三角形的形状是(
)
A.底与腰不相等的等腰三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
9.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达A，乙客轮用20min到达B.若A、B两处的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(
)
A.北偏西30°
B.南偏西30°
C.南偏东60°
D.南偏西30°
10.一块木板如图，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，则木板的面积为(
)
A.60
B.30
C.24
D.12
第8题图
二、填空题(每小题3分，共30分)
11.用长度相同的火柴棒首尾相连摆直角三角形，你认为至少要用
根才能摆成.
12.在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为_______.
13.如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.
14.命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：_________
______________________________________________________________________________.
15.将勾股数3，4，5扩大到原来的2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出另外两组基本勾股数：________________，_________________.
16.如图，一棵大树折断后倒在地上，根据图中数据计算大树没折断时的高度是
m.
第16题图
第17题图
第18题图
第19题图
17.如图，小明散步从A到B走了41米，从B到C走了40米，从C到A走了9米，则∠A＋∠B＝________.
18.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，AD＝12cm，DC＝13cm，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为
.
19.如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成
个直角三角形.
20.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，则旗杆的高度OM＝________米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝________米.
第20题图
三、解答题(共40分)
21.(10分)若△的三边满足，试判断△的形状.
22.(10分)三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路直达AC，已知公路的造价为26000元/
km，求修这条公路的最低造价是多少?
23.(10分)有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示，若对角线AC剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？
24.(10分)如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC和AB的长；
(2)证明：∠ACB＝90°.
参考答案
1.C
2.A
3.D
【解析】此题要考虑两种情况：x是斜边或4是斜边.根据勾股定理，即“两条直角边的平方等于斜边的平方”进行求解.
当x是斜边时，则x2＝9＋16＝25；
当4是斜边时，则x2＝16－9＝7
故选D
4.A
【解析】根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足a2＋b2＝c2，哪一个是斜边，其所对的角就是直角.
解：∵AB2＝()2＝2，BC2＝()2＝5，AC2＝()2＝3，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴BC边是斜边，
∴∠A＝90°.
故选A.
5.D.
【解析】因为a，b，c为三角形三边，根据(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，可找到这三边的数量关系.∵(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，是等腰三角形.当只有第二个条件成立时：是直角三角形.当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形.故正确的选项是D.
6.D
【解析】利用勾股数的定义进行判断.A选项，42≠22＋32，故2，3，4不是勾股数；B选项，62≠42＋52，故4，5，6不是勾股数；C选项，3.6，4.8不是正整数，故不是勾股数；D选项，三数均为正整数，且412＝92＋402，故9，40，41是勾股数.故选D.
7.B.
【解析】∵三角形的三边长分别为8，15，17，符合勾股定理的逆定理152＋82＝172，
∴此三角形为直角三角形，则8为直角三角形的最短边，并且是直角边，
那么这个三角形的最短边上的高为15.
故选B.
8.D
【解析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.
解：∵(a﹣6)2≥0，≥0，|c﹣10|≥0，
又∵(a﹣b)2＋＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
解得：a＝6，b＝8，c＝10，
∵62＋82＝36＋64＝100＝102，
∴是直角三角形.
故选D.
9.C
【解析】甲的路程：40×15＝600米，
乙的路程：20×40＝800米，
∵6002＋8002＝10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C.
10.C
【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52，AC＝5.在△ADC中，AC2＋DC2＝52＋122＝132＝AD2，则△ADC是直角三角形，所以木板的面积.
11.12.
【解析】直角三角形的三边长为3，4，5时，三角形的周长最小，3＋4＋5＝12，故答案为：12.
12.108
【解析】∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92＋122＝152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108
13.a2＋b2＝c2
【解析】根据勾股定理的逆定理求得
14.如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
【解析】直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，其逆命题是：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
故答案为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形.
15.5，12，13；7，24，25
【解析】答案不唯一，只要满足题意即可.
16.18
【解析】在Rt△ABC中，由AB＝5，BC＝12，根据勾股定理可得AC＝＝＝13m，即折断树的高度为13m；因此可得大树的高度＝13＋5＝18m.
17.90°
【解析】∵AC2＋BC2＝92＋402＝1681，而AB2＝412＝1681，△ABC为直角三角形∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°
18.36cm2
【解析】连接AC，先根据直角三角形的性质得到AC边的长度，再根据三角形ACD中的三边关系可判定△ACD是Rt△，把四边形分成两个直角三角形即可求得面积.
解：连接AC，
∵∠B＝90°
∴AC2＝AB2＋BC2＝16＋9＝25，
∵AD2＝144，DC2＝169，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴CA⊥AD
∴S四ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×3×4＋×12×5＝36cm2.
19.2
【解析】根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形.共2个.
20.15；2
【解析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可.
解：作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF(AAS)，
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE＋OF＝AE＋BF＝CD＝17(m)
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(m)，
∴2EO＋EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF＋FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝2(m).
答：旗杆的高度OM为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.
21.△ABC是直角三角形.
【解析】本题通过对式子的整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.
解：∵a2＋b2＋c2＋200＝12a＋16b＋20c，
∴(a－6)2＋(b－8)2＋(c－10)2＝0，
∴(a－6)＝0，(b－8)＝0，(c－10)＝0，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∵62＋82＝102，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形.
22.120000元.
【解析】由＝169，＝169，得到∠ABC＝90°，从而确定出最短距离，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价.
试题解析：∵＝＝169，＝169，∴＝，∴∠ABC＝90°，当BD⊥AC时BD最短，造价最低，∵S△ABC＝AB?BC＝AC?BD，∴BD＝＝km，×26000＝120000元.
答：最低造价为120000元.
23.是，理由见解析.
【解析】先在△ABC中，由∠B＝90°，可得△ABC为直角三角形；根据勾股定理得出AC2＝AB2＋BC2＝8，那么AD2＋AC2＝9＝DC2，由勾股定理的逆定理可得△ACD也为直角三角形.
解：都是直角三角形.理由如下：
连结AC.
在△ABC中，∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
∴AC2＝AB2＋BC2＝8，
又∵AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，
∴AC2＋AD2＝DC2，
∴△ACD也为直角三角形.
24.（1）CD=12;AB=25;(2)略
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精品试卷·第
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