(共50张PPT)
高一年级
数学
直线与直线平行
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理．类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容．从本节课起我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质．
1.平面几何中判断两条直线平行的方法
（1）定义：平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
（2）判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
（3）三角形、梯形中位线定理：三角形的中位线平行
于第三边，并且等于第三边的一半．梯形的中位线平
行于两底，并且等于两底和的一半．
知识复习
1.平面几何中判断两条直线平行的方法
（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形性质：如果
一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形，那
么它们的对边平行且相等．
（5）平行的传递性：平行于同一条直线的两条直线
平行．
（6）垂直于同一条直线的两条直线平行等．
知识复习
2.空间三种平行关系的定义
知识复习
线线平行
a//b
a
b
面面平行
α
β
α//β
线面平行
a
α
a//α
3.基本事实
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有
一个平面．“不共线的三点确定一个平面”
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
基本事实3 如果两个平面有一个公共点，那么它们
有且只有一条过该点的公共直线．
知识复习
3.基本事实
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点
确定一条直线”，得到下面三个推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只
有一个平面．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识复习
我们知道，在同一平面内，不相交的两条直
线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线
平行时，这两条直线互相平行．在空间中，是否
也有类似的结论？
如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
DC//AB，A′B′//AB．DC与A′B′平行吗？
观察：
解析：通过观察不难发现两直线平行．
A
A′
B′
C′
D′
B
C
D
观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
解析：可以看到我们所在的教室
黑板边所在直线AA′和门框所在直
线CC′都平行于墙与墙的交线BB′，
那么CC′//AA′．
身边的实例
a
b
c
l
基本事实4：
平行于同一条直线的两条直线平行．
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所
有直线都互相平行．它给出了判断空间两条直线平行
的依据．基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性．
例题
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行
四边形．
分析：要证明四边形EFGH是平行四边
形，只需证明它的一组对边平行且相等．
而EH，FG分别是?ABD和?CBD的中位
线，从而它们都与BD平行且等于BD的
一半．应用基本事实4，即可得出证明．
A
B
C
D
H
E
G
F
例题
如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是
边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平
行四边形．
证明：连接BD．∵
EH是ΔABD的中位线，
∴
EH//BD，且EH=
BD．
同理
FG//BD，且FG=
BD．
∴
EH//FG，
且EH=FG．
∴
四边形EFGH为平行四边形．
A
B
C
D
H
E
G
F
追问：
在本例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
解析：连接AC，同理可证EF=HG=
AC．
再由AC=BD，可知EF=FG=GH=HE．
因此四边形EFGH是菱形．
A
B
C
D
H
E
G
F
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
分析：对于图中第一种情况，我
们可以构造两个全等三角形，使
∠BAC和∠B′A′C′是它们的对应
角，从而证明∠BAC=∠B′A′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
证明：如图，分别在∠BAC和∠B′A′C′
的两边上截取AD，AE和A′D′，A′E′，
使得AD=A′D′，AE=A′E′．
连接AA′，DD′，EE′，DE，D′E′．
∵
AD//A′D′，且AD=A′D′．
∴
四边形ADD′A′是平行四边形．
∴
AA′//DD′，且AA′=DD′．
A
B
D
E
C
A′
B′
D′
E′
C′
A
B
D
E
C
A′
B′
D′
E′
C′
同理可证
AA′//EE′，且AA′=EE′．
∴
DD′//EE′，且DD′=EE′．
∴
四边形DD′E′E是平行四边形．
∴
DE=D′E′．
∴
ΔADE
ΔA′D′E′．
∴
∠BAC=∠B′A′C′．
≌
对于图中的第二种情形，将两个角中一个角的方向相反的一条边反向延长，就可以转化为第一种情况，再利用邻补角的性质，即可得到在第二种情况下，这两个角互补．请同学们自己给出证明．
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
由此可以看出，平面中的等角定理推广到空间依然成立，为我们证明空间中两角相等提供了理论依据．
定理：
1.如果OA//O′A′
，
OB//O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′
；
若∠AOB
=30°，则∠A′O′B′=
；
2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α=
45°，则β=
；
3.“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”是“两个角相等”的
条件．
例题
填空：
相等或互补
30°或
150°
135°
既不充分也不必要
例题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM
=∠D1A1C1．
N
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
M
例题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
正方体及中点
已知
分析：
梯形
判定定理
要证
如何利用正方体的性质及基本
事实4证明四边形的一组对边平
行且不等？
N
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
M
（1）求证：四边形MNA1C1是梯形；
证明：连接AC．
∵
AA1//CC1且AA1=CC1，
∴
四边形AA1C1C是平行四边形．
∴
AC//A1C1且AC=A1C1．
又
M，N
是棱CD，AD的中点，
∴
MN//AC，且MN=
AC．
∴
MN//A1C1
，且MN=
A1C1．
∴
四边形MNA1C1是梯形．
N
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
M
例题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是棱CD，AD的中点．求证：
正方体及中点
已知
分析：
角等
等角定理
要证
如何利用正方体的性质及等角定理证明角的两边分别对应平
行？
（2）∠DNM
=∠D1A1C1．
N
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
M
例题
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是棱CD，AD的中点．求证：
证明：由（1）知
MN//A1C1．
∵
ABCD-A1B1C1D1为正方体，
∴
DN//D1A1．
∵
∠DNM与∠D1A1C1方向相同，
∴
∠DNM
=∠D1A1C1．
（2）∠DNM
=∠D1A1C1．
N
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
M
在本节中，对于平面内直线平行的传递性及等角定理，推广到空间中，这些性质依然成立．那么是不是对于平面中的几何性质，推广到空间中都成立呢？
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；
3.四边都相等的四边形是菱形；
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
判断下列命题的真假：
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；
解析：假命题
判断下列命题的真假：
反例
A
A′
B′
C′
D′
B
C
D
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；
解析：真命题
判断下列命题的真假：
3.四边都相等的四边形是菱形；
解析：假命题
判断下列命题的真假：
反例
A
B
C
D
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
解析：真命题
分析：假设过l
外的点O可以作两条直线
a，b分别与l平行，那么，由基本事实4可
知，
a与b平行．而这与a，b相交于点O矛
盾．所以假设不成立，原命题成立．
判断下列命题的真假：
a
b
O
l
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；假命题
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；真命题
3.四边都相等的四边形是菱形；假命题
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
真命题
判断下列命题的真假：
通过以上分析，我们知道，并非所有关于平面
图形的结论都可以推广到空间．这提醒我们对于平
面图形中存在的性质，在推广到空间中，能否成立，
要经过证明，不能直接使用．
1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
解析：根据基本事实4，这些折痕
互相平行．
练习
2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？
解析：3条，分别是BB′，CC′，DD′．
A
A′
B′
C′
D′
B
C
D
3.如图，AA′，BB′，CC′不共面，AA′//BB′，且AA′=BB′．
BB′//CC′，且BB′=CC′．求证：
ΔABC
ΔA′B′C′．
≌
B
C
C′
A′
B′
A
分析：
三角形全等
判定定理
要证
多组线段平行且相等
已知
如何利用已知条件证明两个三角形对应边相等或证明对应角相等？
B
C
C′
A′
B′
A
证明：
∵
AA′//BB′，且AA′=BB′．
BB′//CC′，且BB′=CC′．
∴
AA′//CC′
，且AA′=CC′．
∴
四边形ABB′A′，BCC′B′，
ACC′A′
是平行四边形．
∴
AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴
ΔABC
ΔA′B′C′．
≌
4.如图，在四面体A-BCD中，E，F，G分别为AB，
AC，AD上的点．若EF//BC，FG//CD，则ΔEFG和
ΔBCD有什么关系？为什么？
D
A
B
C
E
F
G
分析：
相似(猜想)
判定定理
要证
比例、等角
线线平行
已知
如何根据已知条件，证明两三角形的两组对应边成比例及所夹对应角相等？
解：相似．证明如下：
∵
EF//BC，FG//CD，
∴
．
又
∠EFG和∠BCD的两边分别
平行并且方向相同，
∴
∠EFG=∠BCD．
∴
△EFG∽△BCD．
D
A
B
C
E
F
G
5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AE=A1E1，
AF=A1F1．求证：EF//E1F1，且EF=E1F1
．
分析：
线段平行相等
平行四边形
要证
线线平行相等
线段等、正方体
已知
如何根据已知条件，利用基本事实4证明所需线段平行且相等？
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
E1
F1
F
E
证明：连接EE1，
FF1．
∵
A
E//A1E1，且AE=A1E1
，
A
F//A1F1，且AF=A1F1
．
∴
四边形AEE1A1，
AFF1A1是平
行四边形．
∴
AA1//EE1，且AA1=EE1，
AA1//FF1，且AA1=FF1
．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
E1
F1
F
E
证明：∴
EE1//FF1，且EE1=FF1
．
∴
四边形EFF1E1是平行四边形．
∴
EF//E1F1
，且EF=E1F1
．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
E1
F1
F
E
6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱
AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
分析：
两角相等
等角定理
要证
线线平行
中点、长方体
已知
如何根据已知条件证明角的两边分别对应平行？
E
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
E1
6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱
AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
证明：连接EE1．
∵
E、E1分别是AB、A1B1的中点，
∴
BE//B1E1，且BE=B1E1
．
∴
四边形BEE1B1是平行四边形．
∴
EE1//BB1，且EE1=BB1．
又
CC1//BB1，且CC1=BB1，
E
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
E1
6.如图，E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱
AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
∴
CC1//EE1，且CC1=EE1
．
∴
四边形ECC1E1是平行四边形．
∴EC//E1C1．
由图可知∠BEC和∠B1E1C1方向相同，
∴
∠BEC=∠B1E1C1．
E
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
E1
小结
平面内线线平行
空间线线平行
等角定理
面面平行
生活实例
线面平行
直观感知
操作确认
应用
类比
推证
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，面A1C1内
有一点P，怎样过点P画一条直线与棱CD平行？
作业
P
．
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
2.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是
AB，BC的中点．求证：
EF//A′C′．
E
F
A
A′
B′
C′
D′
B
C
D教
案
教学基本信息
课题
直线与直线平行
学科
数学
学段：
高中
年级
高一
教材
书名：
普通高中教科书
数学
必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2019
年
6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．通过观察与类比理解基本事实4，并会用其解决两直线平行问题；
2．通过类比平面几何中的等角定理，探究并理解空间等角定理，并会用定理解决角相等或互补问题.
教学难点及支持条件：
1．教学重点：
平行线的传递性和等角定理.
2．教学难点：应用基本事实4和等角定理解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
一、情景引入
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理．类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容．从本节课起我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质．
知识回顾：
（1）平面几何中判断两条直线平行的方法有哪些？
（2）空间三种平行关系的定义；
（3）基本事实及其推论.
【问题1】我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？
师生活动：
1．引导学生回顾平面几何中两条平行直线的性质.
2．引导学生思考这些在平面几何中成立的性质，推广到空间中，是否还能成立呢？
提出问题，调动学生思考，引入课题.培养学生观察、实验、猜想等合情推理的能力.
二、探究新知
观察：
如图8.5-1，在长方体中，，，
与平行吗？
师生活动：
1.教师布置任务，学生小组合作，观察、猜想、多数同学应该可以发现.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
追问：观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
师生活动：
1.师生布置任务，学生再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么.
师生共同概括总结，这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
这样，我们就得到了
基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
培养学生观察能力、语言表达能力.
三、例题精讲
例
如图8.5-3，空间四边形中，分别是边
的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而分别是和的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
追问：在本例中，如果再加上条件，那么四边形是什么图形？
师生活动：
1.引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别.
2.学生小组交流，归纳总结，展示成果，教师板书证明过程.
通过动手操作、观察使学生形成对基本事实4的直观感知，然后从理性层面上确认，例题和探究是基本事实4的应用，培养学生的空间想象能力和推理能力.
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
师生活动：
1.引导学生思考平面图形的情况，不难发现与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.
2.学生梳理概括定理内容并试着给出证明.
分析：对于图8.5-4（1），我们可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明=.
这样，我们就得到了下面的定理：
定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
由此可以看出，平面中的等角定理推广到空间依然成立，为我们证明空间中两角相等提供了理论依据．
例
填空：
1.如果OA//O′A′
，
OB//O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′
；
若∠,则∠A′O′B′=
；
2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α=
45°，则β=
；
3.“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”是“两个角相等”的
条件．
例
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N
分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM
=∠D1A1C1．
师生活动：
1.学生结合对基本事实4和等角定理的理解作答，并给出合理解释.
2.教师及时评价并板书证明过程.
【问题2】在本节中，对于平面中两条平行线，如果直线与其中一条直线平行，那么与另一条也平行，这个性质推广到空间中，这个性质依然成立，那么是不是对于平面中的几何性质，推广到空间中是否都成立呢？
首先，判断下列命题的真假：
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；
3.四边都相等的四边形是菱形；
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
师生活动：
1.通过引导学生对上述问题进行思考，看学生能否举出一些可以成立的，再举出一些不能成立的例子.例如，垂直于两条垂直直线中的一条，也垂直于另一条.
2.师生共同总结，对于平面图形中存在的性质，在推广到空间中，能否成立，要经过证明，不能直接使用.
类比初中所学平面内等角定理的学习过程，探究空间等角定理，培养学生的类比迁移能力、空间想象能力和推理能力.
巩固学生对基本事实4和等角定理的理解和应用.
引导学生关注平面图形的性质推广到空间时，有的性质成立，有的性质不成立，不能简单进行推广.
四、巩固练习
1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2.如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3.如图，不共面，且，.求证：.
4.如图，在四面体中，分别为上的点.
若
，则和有什么关系？为什么？
5.如图，正方体中，.
求证：,且.
6.如图，
E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1
的棱AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
动手操作、直观感知基本事实4，初步了解平行线的传递性.
进一步理解基本事实4与等角定理.
五、课堂小结
请你回忆得到基本事实4和等角定理的方法和过程，你还有哪些感想和疑惑？
梳理本节课内容，提升学生的语言表达能力.
六、课时作业
如图，在长方体中，面上有一点,怎样过点画一条直线与棱平行？
2.如图，在长方体中，的中点，求证.
近一步巩固本节课所学知识,提升直观想象素养和逻辑推理素养.
