(共33张PPT)
高一年级
数学
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
主讲人
罗晶晶
北京市第四中学顺义分校
一、知识概要
（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
（二）球的表面积和体积．
知识概要
（一）圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台的表面积
三个概念：侧面积、底面积、表面积
其中：表面积为底面积与侧面积之和
圆柱的表面积
圆柱的侧面展开图是矩形
圆锥的侧面展开图是扇形
圆锥的表面积
(r
为底面半径，
为母线长)
圆台的表面积
圆台的侧面积可看成两个扇形的面积之差
O
P
A
B
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
O
上底扩大
上底缩小
O
O
圆柱、圆锥、圆台的体积
．
．
O
h
S
圆柱、圆锥、圆台的体积
柱体、锥体、台体三者的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
O
O
O
（二）球的表面积和体积
球的表面积
球的体积
O.
R
n=6
n=12
回顾圆面积公式的推导
O
h
h
O
o
把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成
n个小锥体.当
n越大，以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R．
分割
求近似和
取极限
O
o
由于球的体积就是这n
个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．
二、例题讲解
例题
将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积．
O.
O
例题
已知一个长方体的8个顶点都
在一个球面上，且长方体的棱长分别为3，4，5，求球的表面积．
三、本节小结
棱柱
棱台
棱锥
圆柱
圆台
圆锥
类比
平面展开图
表面积公式
体积公式
应用
球
圆
类比
体会公式的形成过程
组合体的表面积和体积
用已知几何体的表面积与体积公式解决实际问题
应用
表面积
公式
体积公式
四、布置作业
布置作业
祝同学们学习进步，再见！教
案
教学基本信息
课题
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学科
数学
学段：
高一
年级
高一
教材
书名：人教A版数学必修第二册
出版社：人民教育出版社
出版日期：2019年8
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
本节课主要是通过类比棱柱、棱锥、棱台的相关方法与结论，研究圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式；再类比圆面积公式的推导过程，将知识进行迁移，运用微积分思想推导球的体积公式。通过同类型的例题，达到让学生理解并掌握公式，能熟练运用公式解决实际问题的目的。教学过程中重点关注学生的空间想象能力和数学运算能力及直观想象素养的培养。
重点：
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式.
难点：
球的体积公式的推导.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
基
础
知
识
基
础
知
识
基
础
知
识
圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
（一）表面积
通过展示圆柱、圆锥、圆台的平面展开图，
得到三者的表面积公式；
用运动变化的观点，从结构特征上体会圆柱、圆锥、圆台表面积公式之间的关系，从而加深记忆。
当上底扩大，使r’=r时，圆台变化为圆柱，当上底缩小，使r’=0时，圆台变化为圆锥。所以在公式体系中，令圆台表面积公式中r’=r时,则可以得到圆柱的表面积公式（，令r’=0时,则可以得到圆锥的表面积公式
（二）、体积
1.体积公式
通过圆柱的体积公式为、圆锥的体积为，
再类比棱柱、棱锥、棱台的体积公式，让学生先猜想圆台的体积公式，再证明
体积公式可归纳为：
2.体积公式之间的关系
当上底扩大，使s’=s时，台体变化为柱体，当上底缩小，使s’=0时，台体变化为锥体。所以在公式体系中，令台体的体积公式中s’=s时，则可以得到柱体的体积公式
，令s’=0时,则可以得到锥体的体积公式。
（二）球的表面积和体积
1.球的表面积
由球的结构特征我们知道，球的大小只与球的半径有关，但是因为球是一个特殊的旋转体，球面是不能平面展开的图形，所以对于球的表面积公式的推导，有兴趣的同学可以课下查阅资料进行自主探究，去体会一下先贤们是如何解决这一问题的。在本节课中，我们只需了解球的表面积公式为即可。
球的体积
类比圆面积公式的推导方法：将圆n等分，可知圆内接多边形的面积为n个全等的等腰三角形的面积之和。等于二分之一乘以小三角形的高h再乘以各底边边长之和，即等于二分之一乘以高h再乘以正多边形的周长。可以发现，当所分份数n越大，每一个小三角形的高h越近似于圆的半径R,正多边形的周长也越近似于圆的周长。当n无穷大时，就得到了圆面积公式。
把球O
的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个小锥体.当n越大，以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R．
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．
让学生直观感受公式的形成过程，体会知识之间的联系，从而加深对公式的了解
给学生提供“思考、总结、归纳”的机会
培养学生“观察——猜想——证明”的数学思维
通过圆台的结构特征，利用相似关系证明圆台的体积公式，让学生了解推导过程
培养学生随时总结归纳的习惯
培养学生注重知识的形成过程，了解公式的简单推导，体会公式之间的联系，从而减小公式记忆的难度。
指引学生课下可以通过查阅资料资料继续研究
感受“先分割，再求近似和、最后取极限”的“微积分思想”
体验用微积分思想推导球的体积公式这个过程。
这一推导过程，可以锻练同学们的空间想象能力和直观想象素养
例
题
讲
解
例题
将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积
本题考查了同学们的空间想象力以及球的体积公式的应用，目的是增强同学们运用几何直观和空间想象思考问题的意识。
本题考查了球的表面积公式的直接应用以及同学们的空间想象力和数据分析的能力。
本题是一道涉及组合体的实际问题，考查同学们对所学知识的灵活应用及分析解决问题的能力。
本题主要是帮助同学们巩固几何体的体积公式以及体会这种“把所求问题转化为用同一变量表示来求比值”的方法。
本题考查了同学们的空间想象力和运用公式解决问题的能力。
总结
本节课我们首先类比棱柱棱锥棱台的相关方法与结论，研究了圆柱圆锥圆台的表面积公式和体积公式，在这个过程中，请同学们注意用运动变化的观点，了解知识的形成过程，体会知识之间的联系；然后类比圆面积公式的推导方法，我们将知识进行迁移，得到球的体积公式。
对于圆柱圆锥圆台和球的表面积公式与体积公式的应用，我们进行了求组合体的表面积与体积的练习，并且学习了如何用已知几何体的表面积与体积公式解决实际问题。从而既熟悉了公式，又锻炼了同学们分析问题与解决问题的能力。
回顾本节课知识，并建立知识的结构框架.
作业
通过课后作业，加深对知识的理解和掌握.
