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正弦定理与余弦定理的应用
高一年级
数学
问题1
请回顾、梳理解三角形的基本模型．
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
正弦定理
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
余弦定理
正弦定理
唯一解
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
余弦定理
正弦定理
唯一解
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
余弦定理
唯一解
正弦定理
唯一解
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
可能不唯一
余弦定理
唯一解
正弦定理
唯一解
解三角形
ASA
AAS
SSA
SAS
SSS
可能不唯一
余弦定理
唯一解
问题2
请思考给出米尺和测量角度的工
具，如何测量河对岸的一点
A
与岸边
一点
B
之间的距离．
试说明测量方案与计算方法．
一点不可达的两点间距离的测量
S
一点不可达的两点间距离的测量
S
测量
测量
条件
工具
测量方案
一点不可达的两点间距离的测量
S
测量
测量
条件
工具
选点；
测量方案
一点不可达的两点间距离的测量
S
测量
测量
条件
工具
选点；ASA
测量方案
一点不可达的两点间距离的测量
S
测量
测量
条件
工具
正弦定理
内角和定理
选点；ASA
测量方案
计算方法
问题3
请思考给出米尺和测量角度的工
具，如何测量不可到达的两点间的距离．
例1
如图，故宫所示角楼，顶端与底部不
能到达，不能直接测量．假设给你米
尺和测量角度的工具，思考如何在故
宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，
并写出方案，给出有关的计算方法．
例1
如图，故宫所示角楼，顶端与底部不
能到达，不能直接测量．假设给你米
尺和测量角度的工具，思考如何在故
宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，
并写出方案，给出有关的计算方法．
分析：
问题实质为用米尺和测量角度的工具，
怎样得到不便到达的两点之间的距离．
在对面的岸边选定一点进行测量，问
题转化为测量一点不可达的两点间距离．
第一步：
在对面的岸边选定一点
C
，用测量角度
解：测量方案如下，设角楼顶端为
A
，底部为B．
A
B
C
?
的仪器测量出?
ACB=?
．
目的：转化为测量两个一点不可达的两
点间距离问题；在?
ACB中由余弦定理可
算．
第二步：
再选定一点D，用米尺测量出
CD=m
．
目的：构造两个有公共边的三角形，含
有测量对象，计算一点不可达的两点间距离．
A
B
D
C
?
m
第三步：
在?
BCD中，用测量角度仪器
测量
出?
BCD=?
，?
BDC=?
．
目的：转化为
ASA
条件下的解三角
形问题；在?
BCD中，由正弦定理可以计
算．
A
B
D
?
C
?
?
m
第四步：
在?
ACD中，用测量角度仪器
测量
出?
ACD=?
，
?
ADC=?
．
目的：转化为
ASA
条件下的解三角
形问题；在?
ACD中，由正弦定理可以计
算．
A
B
D
?
?
C
?
?
?
m
第一步：选定一点C，测量?
ACB=?
；
第二步：选定一点D，测量
CD=m
；
第三步：测量?
BCD=?
，?
BDC=?
；
第四步：测量?
ACD=?
，?
ADC=?
．
解：测量方案如下，设角楼顶端为
A
，底部为B．
A
B
D
?
?
C
?
?
?
m
解：在?
BCD中
，有
A
B
D
?
C
?
?
?
?
m
?CBD
?
π
?
?
?
?
m
?
BC
sin(π
?
?
?
?
)
sin
?
即
BC
?
m
sin
?
sin(?
?
?
)
解：在?
BCD中
，有
A
B
D
?
C
?
?
?
?
m
?CBD
?
π
?
?
?
?
m
?
BC
sin(π
?
?
?
?
)
sin
?
即
BC
?
m
sin
?
sin(?
?
?
)
m
sin?
sin(?
?
?)
在?
ACD中，同理
AC
?
解：在?
BCD中
，有
?CBD
?
π
?
?
?
?
m
?
BC
sin(π
?
?
?
?
)
sin
?
即
BC
?
m
sin
?
sin(?
?
?
)
m
sin?
sin(?
?
?)
A
B
D
?
C
?
?
?
?
m
在?
ACB中，由余弦定理可得AB的
长
，
AB2
?
AC2
?
BC2
?
2AC
?
BC
?cos?
在?
ACD中，同理
AC
?
解：在?
BCD中
，有
?CBD
?
π
?
?
?
?
m
?
BC
sin(π
?
?
?
?
)
sin
?
即
BC
?
m
sin
?
sin(?
?
?
)
在?
ACD中，同理
AC
?
m
sin?
sin(?
?
?)
在?
ACB中，由余弦定理可得AB的
长
，
AB2
?
AC2
?
BC2
?
2AC
?
BC
?cos?
A
B
D
?
C
?
?
?
?
m
关注图中三角形为不在同一平面上的三角形；
关注图中两个观测点，1个观测距离5个观测角的作用．
反思
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
反思
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
反思
一点不可达S
选点?测A
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
选点?测ASA
反思
一点不可达S
选点?测A
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
内角和定理
选点?测ASA
反思
一点不可达S
选点?测A
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
内角和定理
选点?测ASA
正弦定理
反思
一点不可达S
选点?测A
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
内角和定理
选点?测ASA
正弦定理
反思
一点不可达S
选点?测A
两点不可达的两点间距离的测量
测量方案
计算方案
不可测S
余弦定理
例2
如图所示，
A，B
是某沼泽地上不便
到达的两点，
C，
D是可到达的两点，
已知
A，B，C，D都在水平面上，且
已经测得?ACB
?
45
?BCD
?
30
?CDA
?
45
CD
?
100
m
?BDA
?
15
求AB的长．
例2
如图所示，
A，B
是某沼泽地上不便
到达的两点，
C，
D是可到达的两点，
已知
A，B，C，D都在水平面上，且
已经测得?ACB
?
45
?BCD
?
30
?CDA
?
45
CD
?
100
m
?BDA
?
15
求AB的长．
分析：
问题为平面上不便到达的两点之间的
距离的测量．
明确两观测点C，D，梳理数据．
分析：
问题为平面上不便到达的两点之间的
距离的测量．
明确两观测点C，D，梳理数据．
(1)C点：?
ACB；D点：?
BCD，?
ACD；
分析：
问题为平面上不便到达的两点之间的
距离的测量．
明确两观测点C，D，梳理数据．
C点：?
ACB；D点：?
BCD，?
ACD；
D点：?
ADB；C点：?
BCD，?
ACD．
解：已知
A，B，C，
D都在水平面上，
在?
BCD中，
?BDC
?
?BDA
?
?CDA
?
60
?CBD
?180
?
?BCD
?
?BDC
?
90
即，在Rt?
BCD
中，有
BC
?
100cos
30
?
50
3
m
在?
ACD中
，有
?CAD
?
60
sin
45
sin
60
AC
100
?
由正弦定理，得
6
3
即
AC
?
100
在?
ACD中
，有
?CAD
?
60
sin
45
sin
60
AC
100
?
3
在?
ABC中，BC
?
50
由余弦定理
AB2
?
AC2
?
BC2
?
2AC
?
BC
?cos
45
化简得AB2
?
12500
解得AB
?
50
15
3
3
由正弦定理，得
6
3
即
AC
?
100
反思：
?ABD
AB
?ABC
反思：
?ABD
AB
?ABC
AD
BD
?ADB
反思：
?ABD
AB
?ABC
AD
BD
?ADB
?CAD
?CBD
反思：
?ABD
AB
?ABC
AD
BD
?ADB
?CAD
?CBD
?ACD
CD
?ADC
反思：
?ABD
AB
?ABC
AD
BD
?ADB
?CAD
?CBD
?ACD
CD
?ADC
?BCD
CD
?BDC
反思：
第一，关注测量观点下数据的整理与分析；
第二，关注基于解三角形元素间关系的分析；
第三，关注空间图形与平面图形的识别；
第四，关注正、余弦定理及解直角三角形的综合应用．
例3
如图，据台风监测数据显示，当前台风中心位于海滨
判断城市
A
是否会受到上述台风的影响．如果
30
P
A
60
城市
A
的东偏南60
方向、距城市
A
300
km
的
海面点
P
处，并以
20
km
/
h
的速度向西偏北
30
方向移动．如果台风影响的范围是以台风
中心为圆心的圆形区域，半径为
100
3
km
会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．
(将问题涉及范围内的地球表面看成平面.)
例3
如图，据台风监测数据显示，当前台风中心位于海滨
判断城市
A
是否会受到上述台风的影响．如果
30
P
A
60
城市
A
的东偏南60
方向、距城市
A
300
km
的
海面点
P
处，并以
20
km
/
h
的速度向西偏北
30
方向移动．如果台风影响的范围是以台风
中心为圆心的圆形区域，半径为
100
3
km
会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．
(将问题涉及范围内的地球表面看成平面.)
P
30
A
60
分析：用数学语言描述城市
A
受到台风的影响．
问题“城市
A
受到台风的影响”，即城
市
A
在以台风为中心，半径为
100
3
km
的
的圆形区域内．
设台风中心在某时刻到达位置为
Q，则
QA≤100
3
分析：用数学语言描述城市
A
受到台风影响的时间．
本题“城市
A
受到台风影响的时间”，
即城市
A
进入台风影响区域以及离开台风
影响区域的时间之差．只需计算当
P
A
60
QA
=
100
3
时，台风中心移动距离
PQ，
30
为平面上不便到达的两点之间的距离的问题．
30
P
A
60
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
P
A
60
Q
30
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
P
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
A
60
Q
30
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
20x
?
100
3
300
sin
30
sin
?AQP
?
sin
?PAQ
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
A
P
60
Q
30
(法一)由正弦定理，得
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
100
3
300
sin
30
20x
?
?
解得
sin
?AQP
300sin
30
sin
?PAQ
3
2
100
3
sin
?AQP
?
?
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
所以
?AQP
?
60
或?AQP
?
120
A
P
60
Q
30
(法一)由正弦定理，得
当?AQP
?
120
时，此时
?PAQ
?
30
，
P
因此
PQ
?
20x
?
100
3
即
x
?
5
3
．
A
60
Q
30
当?AQP
?
120
时，此时
?PAQ
?
30
，
3
sin
30
因此
PQ
?
20x
?
100
即
x
?
10
3．
因此
PQ
?
20x
?
100
3
即
x
?
5
3
．
当?AQP
?
60
时，此时
?PAQ
?
90
，
A
60
Q
30
P
当?AQP
?
120
时，此时
?PAQ
?
30
，
3
sin
30
因此
PQ
?
20x
?
100
即
x
?
10
A
60
Q
30
P
3．
(Q)
因此
PQ
?
20x
?
100
3
即
x
?
5
3
．
当?AQP
?
60
时，此时
?PAQ
?
90
，
当?AQP
?
120
时，此时
?PAQ
?
30
，
3
sin
30
因此
PQ
?
20x
?
100
即
x
?
10
由图可知，城市
A
会在
5
3
h
后受到影响，
10
3
?
5
3
?
5
3
(h)
持续时间为
A
30
P
60
Q
3．
(Q)
因此
PQ
?
20x
?
100
3
即
x
?
5
3
．
当?AQP
?
60
时，此时
?PAQ
?
90
，
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
A
P
60
Q
30
(法二)由余弦定理，得
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
A
P
60
Q
30
(法二)由余弦定理，得
AQ2
?
AP2
?
PQ2
?
2AP
?
PQ
cos
?APQ
化简，得
PQ2
?
300
3PQ
?
60000
?
0
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，且
AQ
?
100
3
km
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
A
30
P
60
Q
(法二)由余弦定理，得
AQ2
?
AP2
?
PQ2
?
2AP
?
PQ
cos
?APQ
化简，得
PQ2
?
300
3PQ
?
60000
?
0
解得
PQ
?
100
3
或
PQ
?
200
3
3
解得
x
?
10
即城市
A
会在
5
3
h
后受到影响，
10
3
?
5
3
?
5
3
(h)
持续时间为
A
30
P
60
Q
3．
(Q)
3
．
x
?
5
当
PQ
?
100
3
时，
此时
20x
?
100
3
解得
当
PQ
?
200
3
时，
此时
20x
?
200
P
30
A
60
分析：用数学语言描述城市
A
受到台风的影响．
问题“城市
A
受到台风的影响”，即城
市
A
在以台风为中心，半径为
100
3
km
的
的圆形区域内．
设台风中心在某时刻到达位置为
Q，则
QA≤100
3
A
P
60
Q
30
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
(法三)由余弦定理，得
AQ2
?
3002
?
(20x)2
?
2?300?
20x
cos30
x2
代入化简
?15
3x
?150
≤
0
3
又城市
A
受到台风影响，则
AQ
≤100
A
P
60
Q
30
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
(法三)由余弦定理，得
AQ2
?
3002
?
(20x)2
?
2?300?
20x
cos30
x2
代入化简
?15
3x
?150
≤
0
解得
又城市
A
受到台风影响，则
AQ
≤100
5
3
≤
x
≤10
3
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
(法三)由余弦定理，得
AQ2
?
3002
?
(20x)2
?
2?300?
20x
cos30
A
30
P
60
Q
3
(Q)
x2
代入化简
?15
3x
?150
≤
0
解得
又城市
A
受到台风影响，则
AQ
≤100
5
3
≤
x
≤10
3
所以，城市A会受到影响，持续时间为
5
3
h
解：设台风中心在x
h
后到达位置Q，
在?
AQP中，?APQ
?
30
，AP
?
300
km，PQ
?
20x
km
(法三)由余弦定理，得
AQ2
?
3002
?
(20x)2
?
2?300?
20x
cos30
A
30
P
60
Q
3
(Q)
(2)
A
P
30
60
Q
(Q)
反思：用数学语言描述“城市
A
受到台风影响的时间”．
满足条件的台风中心移动距离有两解．实质为
(3)
PQ2
?
300
3PQ
?
60000
?
0
3
2
sin
?AQP
?
(1)
h
?
AP
sin
30
?
150
平面上不便到达的两点之间的距离的测量．
h
?
AQ
?
AP
课上小结
不能到达底部的物体的高度问题．
不能到达的同一水平面上两点间的距离问题．
运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题．
1.如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶
的仰角分别为30
和45
，两个观测点C，D之间的距离
为
200
m，求此山的高度AB（测量仪的高
度忽略不计，A，B，C，D都在一个平面
内，
?
ABC是一个直角三角形）．
课后作业
课后作业
2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在
同一水平面内的两个测点C与D．现测得
?BCD=?，
?BDC=?，
CD=s，并在点C
测得塔顶D的仰角为?，求塔高AB
．
3.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向
在A，B两点进行测量．已知四点A，B，M，N在同一
个铅垂平面内．飞机能够测量的数据有俯角和A，B之
间的距离．请设计一个方案，包括
①
指出需要测量的数据
（用字母表示，并在图中标出）；
②
用文字和公式写出计算M，N间的距离
的步骤．
谢谢观看．教
案
教学基本信息
课题
正弦定理与余弦定理的应用
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：数学必修第四册
出版社：人民教教育出版社
出版日期：2019
年
7
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
通过设计测量底部不能到达的故宫角楼高度的测量方案，让学生感受正弦定理，及余弦定理在实际测量中的应用，发展数学运算及数学建模素养．
通过测量平面上两个不能到达的地方之间距离，体会由特殊到一般、转化与化归、数形结合，
及方程的思想方法，发展几何直观，数学运算素养．
通过解决在运动变化过程中蕴含的解三角形问题，体会根据运算条件选取相应的运算法则解决问题，发展几何直观，数学运算，数学建模的素养．
教学重点：不可达两点间距离的测量及正余弦定理的应用．
教学难点：三角形边角关系的探究过程及初步应用．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习回顾构建模型
问题
1：
请回顾、梳理解三角形的基本模型．
通过复习回顾，让学生梳理解三角形的基本模型，并进一步思考正弦定理、余弦定理
中蕴含的距离测量的
问题
2：
请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量河对岸的一点
A
与岸边一点
B
之间的距离．试说明测量方案与计算方法．
解：一点不可达的两点间的距离的测量方案及计算方法如下．
知识．
发现问题提出问题
问题
3：
请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量不可到达的两点间的距离．试说明测量方案与计算方法．
例
1
如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量．假设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，并写出方案，给出有关的计算方法．
分析：问题实质为用米尺和测量角度的工具，怎样得到不便到达的两点之间的距离．在对面的岸边选定一点进行测量，问题转化为测量一点不可达的两点间距离．
解：测量方案如下，设角楼顶端为
A，底部为
B．
通过本题的研究，
让学生了解历史，增强学生的民族自豪感，感受到生活中处处有数学．
第一步：选定一点
C，测量
?
ACB=?
；
第二步：选定一点
D，测量
CD=m
；
第三步：测量?
BCD=?
，?
BDC=?
；
第四步：测量?
ACD=?
，?
ADC=?
．
解：在
?
BCD
中，有?CBD
?
π
?
?
?
?
，
m
BC
由正弦定理，
?
，
sin(π
?
?
?
?
)
sin
?
m
sin
?
即
BC
?
．
sin(?
?
?
)
m
sin?
在
?
ACD
中，同理有
AC
?
．
sin(?
?
?)
在
?
ACD
中，由余弦定理可得的长，即
AB2
?
AC2
?
BC2
?
2AC
?
BC
?cos?
．
反思：
通过高度的测量，
让学生体会，空间问题平面化的策略；并在求解过程中，需要关注解直角三角形与解斜三角形相结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
问题
4：
思考，如何解决平面上不便到达的两点之间的距离的测量．
例
2
如图所示，
A，B
是某沼泽地上不便到达的两点，
C，
D
是可到达的两点，已知
A，B，C，D
都在水平面上，
且已经测得?ACB
?
45，?BCD
?
30，?CDA
?
45，
?BDA
?
15，
CD
?
100
m，求
AB
的长．
求解三角形中与
距离相关的线段时，若
模型应用问题解决
所求线段在一个三角
形中，则直接用正弦定
理，余弦定理求解；若
所求的线段在多个三
角形中，则依次选择或
构造适当的三角形，再
分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量．明确两观测点
C，D，梳理数据．
解：已知
A，B，C，D
都在水平面上，
在△BCD
中，
?BDC
?
?BDA
?
?CDA
?
60，
?CBD
?180
??BCD
??BDC
?
90
．
在Rt△BCD
中，
有
BC
?
100cos30
?
50
3m
．
在△ACD
中，
?CAD
?
60，
AC
100
由正弦定理得
?
，
sin
45
sin
60
所以
AC
?
100
6
．
3
在△ABC
中，由余弦定理，
AB2
?
AC2
?
BC2
?
2AC
?
BC
?cos
45，
化简得
AB2
?
12500
，解得
AB
?
50
15
．
3
3
反思：
例
3
如图，在某海滨城市
A
附近的海面出现台风活
动．据监测，目前台风中心位于城市
A
的东偏南60
方向、
利用正弦定理，余弦定理求解．
关注测量观点下的数据的整理与分析；
关注基于解三角形元素间关系的分析．
距城市
A
300km
的海面点
P
处，并以20km
/
h
的速度向西偏北30
方向移动．如果台风影响的范围是以台风中心为
圆心的圆形区域，半径为100
3km
，将问题涉及范围内的
地球表面看成平面，判断城市
A
是否会受到上述台风的影响．如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由．
分析：
用数学语言描述城市
A
受到台风的影响．即城市
A
在以台风为中心，半径为100
3km
的的圆形区域内．
用数学语言描述城市
A
受到台风影响的时间．即城市
A
进入台风影响区域以及离开台风影响区域的时间之差．
解
：
设台风的中心
x
h
后到达位置
Q
，
且此时
AQ
?
100
3
．如图．
在△AQP
中，有
P
?
60
?
30
?
30
，且
AP
?
300
km，
PQ
?
20x
km
．
（解法一）
100
3
300
20x
由正弦定理可得
?
?
，
sin
30
sin
Q
sin
A
解得sin
Q
?
300sin
30
?
3
，
100
3
2
所以Q
?
60或Q
?
120．
引导学生建立数学模型，学会用数学的眼光看现实世界，应用数学知识解决问题．
通过引导学生思考：“如何用数学语言描述城市
A
受到台风的影响，如何用数学知识运算与表达”，让学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发
现和提出问题，感悟数
当Q
?
60时，
?QAP
?
90，
因此20x
?
100
3
，得
x
?
10
3
．
sin
30
当Q
?
120时，
?QAP
?
30，
因此20x
?
100
3
，得
x
?
5
3
．
所以，城市在5
3
h
后会受到影响，持续时间为
10
3
?
5
3
?
5
3
h
．
（解法二）
由余弦定理可得
AQ2
?
AP2
?
PQ2
?
2AP
?
PQ
cos?APQ
，
解得
PQ2
?
300
3PQ
?
60000
?
0
，
所以
PQ
?
100
3
或
PQ
?
200
3
．
当
PQ
?
100
3
时，因此20x
?
100
3
，解得
x
?
5
3
．当
PQ
?
200
3
时，因此20x
?
200
3
，解得
x
?
10
3
．
所以，城市在5
3
h
后会受到影响，持续时间为
10
3
?
5
3
?
5
3
h
．
（解法三）
由余弦定理可得
AQ2
?
3002
?
(20x)2
?
2?300?
20x
cos30，
又因为
AQ
?
100
3
，
所以，得
x2
?15
3x
?150
≤0
，
解得5
3
≤
x
≤10
3
．
所以，城市在5
3
h
后会受到影响，持续时间为
学与现实之间的关联；
学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验．
通过选取不同的方法解决问题，引导学生感受有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
10
3
?
5
3
?
5
3
h
．
复习回顾反思总结
问题
5：
我们共同回顾、梳理本节课研究的主要问题．
不能到达底部的物体的高度问题．
不能到达的同一水平面上两点间的距离问题．
运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题．
通过回顾梳理本节知识结构，让学生体会不可达的两点之间的距离测量问题的三种典型应用，构建较完整的解三角形模型，体
会由特殊到一般思想．
课后作业
问题
6：
请同学们完成下面的作业．
作业
1
⑴如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山
顶的仰角分别为30
和45
，两个观测点C
，
D
之间的距
离为200m，求此山的高度
AB
（测量仪的高度忽略不计，
A
，
B
，
C
，
D
都在一个平面内，
△ABC
是一个直角三
角形）．
⑵
如图，测量河对岸的塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点C
与
D
．现测得?BCD
?
?
，
?BDC
?
?
，CD
?
s
，并在点C
测得塔顶
A
的仰角为?
，
求塔高
AB
．
通过作业，让学生进一步体会，解决实际问题中：关注空间图形与平面图形的识别，关注正、余弦定理及解直角三角形的综合应用，
关注测量观点下数据的整理与分析．
⑶
为了测量两山顶
M
，
N
间的距离，飞机沿水平方向在
A
，
B
两点进行测量．已知四点
A
，
B
，
M
，
N
在同一个铅垂平面内（如图所示）．飞机能够测量的数据有俯角和
A
，
B
之间的距离．请设计一个方案，包括
①
指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；
②
用文字和公式写出计算
M
，
N
间的距离的步骤．
作业
2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）
