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数列的通项公式与递推公式
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选B 由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
解析：选C ∵{an}是递减数列，
∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
解析：选C 由题意a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.故a3＋a5＝.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15
B．16
C．31
D．32
解析：选C ∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是( )
A．9
B．17
C．33
D．65
解析：选C ∵bn＝a，∴b2＝a＝a2＝3，b3＝a＝a3＝5，b4＝a＝a5＝9，b5＝a＝a9＝17，b6＝a＝a17＝33.
6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.
解析：由条件知＝，分别令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得n－1个等式，即···…·＝×××…×?＝.又∵a1＝，∴an＝.
答案：
7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
解析：an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
答案：－9
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N
)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
解析：∵∴
∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.
答案：2
9．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式，并求a2
019；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式．
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则解得
∴an＝2n＋1(n∈N
)，∴a2
019＝4
039.
(2)∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…，∴bn＝4n＋1.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
解：存在最大项．理由：a1＝，a2＝＝1，a3＝＝，a4＝＝1，a5＝＝，….
∵当n≥3时，＝×＝＝2<1，
∴an＋1
又∵a1∴当n＝3时，a3＝为这个数列的最大项.
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N
)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13
B．14
C．15
D．16
解析：选A 由an＋1＝?an＋1－an＝，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋×16＝13，故选A.
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg
n
B．2＋(n－1)lg
n
C．2＋nlg
n
D．1＋n＋lg
n
解析：选A 由an＋1＝an＋lg?an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg
2＋lg
＋lg
＋…＋lg
＝2＋lg（2×××…×）＝2＋lg
n.
3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，3]
B．(－∞，4]
C．(－∞，5)
D．(－∞，6)
解析：选D 依题意，an＋1－an＝－2(2n＋1)＋λ<0，即λ<2(2n＋1)对任意的n∈N
恒成立．注意到当n∈N
时，2(2n＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)．
4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N
，则a2
017＋a2
018等于( )
A．4
B.
C.
D.
解析：选B a2＝f
＝－1＝；
a3＝f
＝－1＝；
a4＝f
＝＋＝；
a5＝f
＝2×－1＝；
a6＝f
＝2×－1＝；
即从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．
∴a2
017＋a2
018＝a4＋a5＝.故选B.
5．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
解析：由(n－1)an＝(n＋1)an－1?＝，则a100＝a1···…·＝1×××…×＝5
050.
答案：5
050
6．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
解析：若a5为奇数，则3a5＋1＝1，a5＝0(舍去)．
若a5为偶数，则＝1，a5＝2.
若a4为奇数，则3a4＋1＝2，a4＝(舍去)．
若a4为偶数，则＝2，a4＝4.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，则a2＝2，a1＝4.
若a3为偶数，则＝4，a3＝8.
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
答案：4,5,32
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，试探究数列{an}的通项公式．
解：法一：将n＝1,2,3,4依次代入递推公式得a2＝，a3＝，a4＝.
又a1＝，∴可猜想an＝.
则有an＋1＝，将其代入递推关系式验证成立．
∴an＝(n∈N
)．
法二：∵an＋1＝，∴an＋1an＝2an－2an＋1.
两边同除以2an＋1an，得－＝.
∴－＝，－＝，…，－＝.
把以上各式累加得－＝.
又a1＝1，∴an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)．
8．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解：(1)∵an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)，a＝－7，
∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4；a5>a6>a7>…>an>1(n∈N
)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋.
∵对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，并结合函数f(x)＝1＋的单调性，
∴5<<6，∴－1021世纪教育网
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数列的通项公式与递推公式
班级______________
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学号________
层级一 学业水平达标
1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A．1
B.
C.
D.
2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于( )
A. B. C. D.
4．已知数列{an}满足要求a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于( )
A．15
B．16
C．31
D．32
5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝a，则b6的值是( )
A．9
B．17
C．33
D．65
6．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，得an＝________.
7．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．
8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N
)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.
9．已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式，并求a2
019；
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试归纳{bn}的一个通项公式．
10．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}满足an＋1＝(n∈N
)，且a1＝1，则a17＝( )
A．13
B．14
C．15
D．16
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝( )
A．2＋lg
n
B．2＋(n－1)lg
n
C．2＋nlg
n
D．1＋n＋lg
n
3．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，3]
B．(－∞，4]
C．(－∞，5)
D．(－∞，6)
4．已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N
，则a2
017＋a2
018等于( )
A．4
B.
C.
D.
5．若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
6．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a6＝1，则m所有可能的取值为________．
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N
)，试探究数列{an}的通项公式．
8．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
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