任意角的三角函数
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文档简介
(共33张PPT)
一、温故知新
在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：
一、温故知新
在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：
思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
二、新知探究
它们统称为三角函数，可看成自变量为实数的函数.
探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将 这三种函数 的值在各象 限的符号填 入途中的括 号.
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα
1. 设α是一个任意角，它的终边上一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则角α的三角函数是怎样定义的？
2. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα
3、三角函数的定义域：
探究1. 思考
并回答其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
1. 公式一
2. 角是一个几何概念, 同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数, 如果能从图形上找出三角函数的几何意义，, 就能实现数与形的完美统一. 下面我们再从图形角度认识一下三角函数。
探究2、正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有
思 考
（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？ （2）你能借助单位圆，找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗？
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x，当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有负值x，其中x为点P的横坐标，这样，无论哪一种情况都有：OM=x=cosα
同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定： 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时, MP的方向为负向，且有负值y, 其中y为P点的纵坐标, 这样无论哪一种情况都有：MP=y=sinα
像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
探究：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα>1吗？
探究：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα>1吗？
MP + OM > OP = 1
探究3、正切线
过点A(1，0)做单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴(为什么 )，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其他反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的 知识，借助有向线段 OA、AT，我们有
思考：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
引申：对于不等式 sinα<α（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？
【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.
3. 利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
考一本 第三课时
一、温故知新
在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：
一、温故知新
在初中，我们在直角三角形中定义了锐角的三角函数，即：
思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？
二、新知探究
它们统称为三角函数，可看成自变量为实数的函数.
探究：请根据上述任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将 这三种函数 的值在各象 限的符号填 入途中的括 号.
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα
1. 设α是一个任意角，它的终边上一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离为r，则角α的三角函数是怎样定义的？
2. 三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
三角函数 定义域
sinα R
cosα R
tanα
3、三角函数的定义域：
探究1. 思考
并回答其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
1. 公式一
2. 角是一个几何概念, 同时角的大小也具有数量特征. 我们从数的观点定义了三角函数, 如果能从图形上找出三角函数的几何意义，, 就能实现数与形的完美统一. 下面我们再从图形角度认识一下三角函数。
探究2、正弦线和余弦线
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，根据三角函数定义，我们有
思 考
（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？ （2）你能借助单位圆，找到一条如OM、MP一样的线段来表示角α的正切吗？
当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x，当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负，且有负值x，其中x为点P的横坐标，这样，无论哪一种情况都有：OM=x=cosα
同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M为始点、P为终点，规定： 当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时, MP的方向为负向，且有负值y, 其中y为P点的纵坐标, 这样无论哪一种情况都有：MP=y=sinα
像OM、MP这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.
注：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.
探究：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα>1吗？
探究：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα+cosα>1吗？
MP + OM > OP = 1
探究3、正切线
过点A(1，0)做单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴(为什么 )，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其他反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T，根据正切函数的定义与相似三角形的 知识，借助有向线段 OA、AT，我们有
思考：观察下列不等式：
你有什么一般猜想？
引申：对于不等式 sinα<α
【例1】作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
1. 三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.
2. 正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.
3. 利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
考一本 第三课时