(共23张PPT)
第
十四
章
整式的乘法与因式分解
整式的乘法
第3课时
整式的除法
学
习
目
标
1
3
理解掌握同底数幂的除法法则.（重点）
经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项式的除法运算.
（重点）
会进行多项式与单项式的除法运算.
（难点）
2
新课导入
一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
26M=26×210=216K
216÷28=？
想一想：上面的式子该如何计算?
知识讲解
计算：
（1）（
）×=
（2）（
）×=
（3）（
）×=
（4）（
）×2n=
2m+n
逆用同底数幂的乘法法则计算.
相当于求216
÷28=？
相当于求55
÷53=？
相当于求
÷=？
相当于求2m+n÷
2n
=？
想一想：由上面的计算你能得到什么式子？
（1）216
÷28=
28
（2）55
÷53=
52
÷=
（4）2m+n÷
2n
=
2m
观察上面的等式，你能发现什么规律？
=2(m+n)-n
=
=
55-3
=
216-8
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
猜想：am
÷an=am-n
(m，n都是正整数，且m>n)
证明：因为am-n
·an=am-n+n=am，所以am
÷an=am-n.
得到式子：
同底数幂的除法法则
一般地，我们有am÷an=am-n
(a
≠0，m，n都是正整数，且m>n).即
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
分别根据除法的意义填空，你能得到什么结论?
（1）32÷32=
(
);
（2）103÷103=
(
);
（3）÷=(
)
(≠0).
利用÷=-计算，你发现了什么？
1
=100
规定：a0=1(a
≠0).
这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
=30
1
1
例1
计算:
（1）x8÷x2
；
（2）
a4
÷a
；
（3）(ab)
5÷(ab)2；（4）（-）7÷（-）5；
（5）
(-b)
5÷(-b)5.
解:
(1)
x8
÷x2=x
8-2=x6.
(2)
÷a
=a
4-1=a3.
(3)
(ab)
5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3.
(4)
(-a)7÷(-a)5=(-a)7-5=(-a)2=a2
.
(5)(-b)5÷(-b)5=(-b)0=1.
拓展：
（1）同底数幂的除法法则的推广:三个或三个以上同底数幂相除,也具有这一性质，例如:am÷an÷ap=am-n-p
(a
≠0，m,n,p都是正整数，且m>n+p).
（2）同底数幂的除法法则的逆用：am-n=
am÷an
(a
≠0，m，n都是正整数，且m>n).
例2
求：(1)
-；(2)
-.
解：（1）-=÷=4÷9=
(2)-2=÷=()3÷()2
=43÷92=
已知:=4，=9，
例3
如果-1
÷
2
=xm+1，求的值.
解：∵
-1
÷
=+1
，
∴2-1-2=+1，
解得=4.
1、给出下列计算，结果正确的是（
）
A、x8÷x2=x4
B、(-a)6÷(-a)3=a3
C、m4÷m=m3
D、(-2)10÷(-2)5=(-2)5=-10
2、计算：
（1）1018÷1015
（2）
（3）(xy)3÷(xy)
（4）(a-b)5÷(a-b)3
3、计算：
（1）(－a)5÷a3
（2）x8÷x2÷x3
（3）(a8)2·a4÷a10
（4）(a－b)2m÷(a-b)m
练一练
（1）计算：4a2x3·3ab2=
;
（2）计算：12a3b2x3
÷
3ab2=
.
12a3b2x3
4a2x3
由单项式与单项式的乘法法则计算.
探究：
由乘除法互为逆运算可得结果.
解:原式=
（系数÷系数)
(同底数幂相除）
×单独的幂
观察：
·
=4a2x3
.
你能总结单项式与单项式相除的法则吗?
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.
单项式除以单项式法则
计算：
(1)(2a2b2c)4z÷(－2ab2c2)2；
(2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z．
解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z.
(2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z.
例4
有乘方的先算乘方，再算乘除．
探究：
（1）计算：
(a+b)m=
（2）计算：
(ma+mb)÷m=
ma+mb
a+b
由单项式与多项式的乘法法则计算.
由乘除法互为逆运算可得结果.
又知ma÷m+mb÷m=a+b，
即
(am+bm)
÷m=am÷m+bm÷m.
你能总结出多项式除以单项式法则吗?
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的
除以这个
，再把所得的商
.
单项式
每一项
相加
实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
多项式除以单项式法则
计算：(1)(6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3；
(2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
(2)原式＝72x3y4÷(－9xy2)－36x2y3÷(－9xy2)+
9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz－2xz＋1.
例5
随堂训练
2.下列算式中，不正确的是(
)
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷3xm－2yn－3＝3x2y2
C.
4a2b3÷2ab＝2ab2
D．x(x－y)2÷(y－x)＝x(x－y)
1．下列说法正确的是
(
)
A．(π－3.14)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．(8×106)÷(2×109)＝4×103
D．若(x＋4)0＝1，则x≠－4
D
D
3.计算：
(2)66÷
(33)
(1)(103)÷(52)
(3)(－12s4t6)
÷(2s2t3)2
4.下列计算错在哪里？应怎样改正？
=
=2a3
=
-3
2a2bc
p2q3
5.先化简，再求值：(x＋y)(x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，
其中x＝1，y＝－3.
解：原式＝x2－y2－2x2＋4y2
原式＝－12＋3×(－3)2＝－1＋27＝26.
当x＝1，y＝－3时，
＝－x2＋3y2.
6.(1)若32·92x+1÷27x+1=81，求x的值；
解：(1)∵32·92x+1÷27x+1=81，即32·34x+2÷33x+3=34，
∴3x+1=34，解得x=3.
(3)已知2x-5y-4=0，求4x÷32y的值．
(3)∵2x-5y-4=0，∴2x-5y=4，
∴4x÷32y=22x÷25y=22x-5y=24=16．
(2)
已知5x=36，5y=2，求5x-2y的值；
(2)∵5x=36，5y=2，∴52y=（5y）2=4，
∴5x-2y=5x÷52y=36÷4=9．
课堂小结
1.同底数幂的除法法则
一般地，我们有am÷an=am-n
(a
≠0，m，n都是正整数，且m>n).即
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式.
2.单项式除以单项式法则
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
3.多项式除以单项式法则(共23张PPT)
第
十四
章
整式的乘法与因式分解
整式的乘法
第1课时
单项式与单项式、多项式相乘
学
习
目
标
1
2
探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并能运用它们进行运算.
(重点)
让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯.
知识回顾
（3）()=(为正整数)
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
幂的运算性质：
（1）·=+(都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（2）()=(都是正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
计算：
a4
26
a9
28
1
新课导入
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳之间的距离约是多少千米吗？
分析：距离=速度×时间，即（3×105）×（5×102）.
地球与太阳之间的距离约是：
（3×105）×（5×102）=(3
×5)×(105×102)
=15×10７=1.5×108（千米）
怎样计算（3×105）×（5×102）?
注意：最终答案要书写规范
知识讲解
如果将上式中的数字改为字母，即：5·2
，
怎样计算？
5·2是两个单项式5与2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算.
5·2
=(?)?(5?2)
=5+2=7.
(乘法交换律、结合律）
(同底数幂的乘法）
计算:425?(-332).
425?
(-32)
=
[4×(-3)]
?
)
=(-12)
?
2+3?
5+2
=(-12)
?
a5
?
b
?
x7
=-12
a5
b
x7
各因式系数的积作为积的系数
相同字母的指数的和作为积中这个字母的指数
只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式
试一试：
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
步骤：（1）应先确定积的符号，再计算积的绝对值；（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏.
单项式与单项式的乘法法则
计算:
例1
(1)５2·(-3)
(2)
(2)2
·(-22)2
(3)（1.2×103)
·(5×102)
解：（1）原式=5×(-3)(2)()
（2）原式=4
=
=-
（3）原式=(1.2×5)×103×102
=6×105
练一练：
计算：
(1)
（-5a2b）·
(-3a)
(2)
(2x)3·
(-5xy2)
(3)
(-8ab2)
·(-ab)2·
(3abc)
(4)
–2(a2bc)2
·
(-3a)
·
(bc)3
–(-abc)3·
(-abc)2
例2
已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，
∴m2＋n＝7.
解得
为了扩大绿化面积，某地计划将一段公路中长m米,宽b米的长方形花草隔离带向两边分别加宽a米和c米,如图所示，你能用几种方法表示扩大后的花草隔离带面积?不同的表示方法之间有什么关系?
m
b
m
m
c
方法一:
m
b
m
c
m
方法二:
问题：
乘法分配律：
如何计算:(-42)·(3+2)
思考：
（利用乘法的分配律转化为单项式乘单项式）
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
单项式与多项式的乘法法则
p(a+b+c)=pa+pb+pc
例3
计算:
化简求值：-22·(2)-5(2)，
其中=1,=-1.
解:原式＝-2-22-5+
＝-2-2-5+
＝-7+3.
当=1,=-1
时，
原式＝-7×13×（-1）+3×12×（-1）2
=-7×1×（-1）+3×1×1
=7+3=10.
例4
随堂训练
1.下列计算错误的是(
)
(A)5(22-)=103-5
(B)-3+
?4-=-
(C)2=8
(D)(--12)?(-)2=+2
D
=(--12)?()
=-+1+2
2.判断
×
×
)=(
)
(
)
(-2)?（-3)=-22-2(
)
×
3.计算：
注意：(1)多项式每一项要包括前面的符号；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
4.计算：
-22·(2)-5(-)
解:原式＝-
＝-
＝-7.
5.如果(－3x)2(x2－2nx＋2)的展开式中不含x3
项，
求n的值．
解：
(－3x)2(x2－2nx＋2)
＝9x2(x2－2nx＋2)
＝9x4－18nx3＋18x2.
∵展开式中不含x3项，∴n＝0.
课堂小结
1.单项式乘单项式
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘多项式
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.(共17张PPT)
第
十四
章
整式的乘法与因式分解
整式的乘法
第2课时
多项式与多项式相乘
学
习
目
标
1
2
理解并经历探索多项式乘多项式法则的过程，
熟练应用多项式乘多项式的法则解决问题.（重点）
培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问
题的能力.
知识回顾
单项式乘单项式
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘多项式
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
新课导入
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
问题探究：
知识讲解
此时绿地面积：
方法1
=(
)
(
)①
方法2
=②
方法3
=
③
你能用不同的形式表示长方形绿地的面积吗？
因为它们表示的都是同一块绿地的面积，所以可以得到结论：
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把()看成一个整体，有：
多项式与多项式变为单项式与多项式
单项式与多项式变为单项式与单项式
多项式与多项式的乘法法则
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
()(
)=
+
+
+
例1
(1)
(+2)(5+3)
;
(2)
(2
–3)(+4).
解：
（1）(+2
)(5
+3
)
=
=
（2）(2
–3)(+4)
2
2
+8
–3
–12
=2
2
+5
计算:
=
–12
·5
+
·
3
+2
·
5
+2
·
3
5
+3
+10
+6
1.运算要按一定顺序，做到不重不漏.
2.多项式乘多项式，积的项数应等于两个多项式的项数之积.
3.多项式的每一项分别与另一多项式的每一项相乘时，要带上每项前面的符号一起运算：同号相乘得正，异号相乘得负.
注意事项：
例2
计算：
解：原式
先化简，再求值：
，其中
，
解：
例3
例4
已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，
也不含x项，求系数a，b的值．
解：
(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
计算：
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)(x-4)(x+1)=__________；
(3)(y+4)(y-2)=__________；
(4)(y-5)(y-3)=__________.
x2+5x+6
x2-3x-4
y2+2y-8
y2-8y+15
由上面计算的结果找规律，观察填空：
(x+p)(x+q)=___2+______x+_______.
x
(p+q)
pq
拓展练习
随堂训练
1.下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（ ）
A．(x-4)(x+3)
B.(x-6)(x+2)
C．(x-4)(x-3)
D.(x+6)(x-2)
2.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a，b
满足
（ ）
A．a=b
B．a=0
C．a=-b
D．b=0
B
C
3.计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：原式
解：原式
解：原式
解：原式
解：原式
解：原式
4.化简求值：(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中
x=1，y=-2.
解：(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)
当x=1，y=-2时，
原式=22×1-7×1×（-2）-14×(-2)2
=22+14
-56
=-20.
5.解方程与不等式：
(1)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1)；
(2)(3x+6)(3x-6)＜9(x-2)(x+3)．
解：(1)去括号，得x2-5x+6+18=x2+10x+9.
移项、合并同类项，得15x=15.
解得x=1.
(2)去括号，得9x2-36＜9x2+9x-54.
移项、合并同类项，得9x＞18.
解得x＞2
．
课堂小结
多项式乘多项式
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
实质：转化为单项式乘多项式的运算
