华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形达标测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 华师版九年级数学上册第24章 解直角三角形达标测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 222.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-11 17:25:57 | ||
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文档简介
第24章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．cos
30°的值等于( )
A.
B.
C．1
D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则tan
A等于( )
A.
B.
C.
D.
3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ACB的值为( )
A．3
B.
C．1
D.
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )
A．3
B．6
C．8
D．9
5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AB＝c，∠A＝α(α≠45°)，则CD的长为( )
A．c·sin2α
B．c·cos2α
C．c·sin
α·tan
α
D．c·sin
α·cos
α
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan
C等于( )
A.
B.
C.
D.
8．如图所示，某电视塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，则大楼的高度CD约为( )
(结果精确到1米，参考数据：tan
39°≈0.809
8)
A．110米
B．114米
C．118米
D．201米
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A．30°
B．150°
C．60°或120°
D．30°或150°
10．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )
A．20海里
B．10
海里
C．20
海里
D．30海里
二、填空题(每题3分，共30分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan
B＝________．
12．计算：－＋(－1.41)0＝________.
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝6.5，BC＝5，则AC的长是________．
14．某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示．其中AB，CD分别表示电梯出入口处的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是5
m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
16．设x为锐角，且sin
x＝3k－9，则k的取值范围是________．
17．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°.根据图形计算tan
15°＝________．
18．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′＝________.
19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.
20．一次函数的图象经过点(tan
45°，tan
60°)和(－cos
60°，－6tan
30°)，则此一次函数的表达式为________．
三、解答题(21题6分，22，25题每题8分，23，24题每题12分，26题14分，共60分)
21．计算：
(1)(2cos
45°－sin
60°)＋；
(2)sin
60°·cos
60°－tan
30°·tan
60°＋sin245°＋cos245°.
22．在△ABC中，(sin
A－1)2＋＝0.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若AB＝10，求BC的值．
23．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
24．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，BE⊥AC，E点为垂足，M点为AB边的中点，连结ME，MD，ED.求证：
(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；
(2)∠EMD＝2∠DAC.
25．春汛来临之前，某防洪指挥部对长江防线的情况进行排查．发现长江边一处长500
m、高10
m、背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD，如图)急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制订的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3
m，加固后背水坡EF的坡比i＝1：.求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)
26．图①为学校运动会终点计时台的侧面示意图，AB∥CD，AB＝1
m，DE＝5
m，BC⊥DC于点C，∠ADC＝30°，∠BEC＝60°.
(1)求AD的长；
(2)如图②，为了避免计时台AB和AD的位置受到与水平面成45°角的光线的照射，计时台上方应放置直径是多少米的遮阳伞(即求DG的长度)?
答案
一、1.B 2.C 3.A
4．B 点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos
∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan
∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④，无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
6．D
7．B 点拨：如图，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴tan
C＝＝.
8．B
9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin
A＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，
sin
(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.
10．C
二、11. 12.2＋ 13.12 14.5
15.
16．3x＝3k－9，所以0<3k－9<1，解得317．2－
18. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.
19. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2
.
在Rt△ABD′中，tan
∠BAD′＝＝＝.
20．y＝2
x－ 点拨：tan
45°＝1，tan
60°＝，－cos
60°＝－，－6tan
30°＝－2
.设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2
，b＝－.
三、21.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
22．解：(1)△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵(sin
A－1)2＋＝0，
∴
∴
∴∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin
A＝＝，
∴BC＝10sin
45°＝10×＝5.
23．解：(1)过A作AE⊥BC于点E，如图，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，
∴易知AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.
在Rt△AEC中，根据勾股定理得
AC＝＝.
(2)作BC的垂直平分线DF，交AB于点D，交BC于点F，连结CD，如图，
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝.
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝.
在Rt△BFD中，根据勾股定理得
BD＝＝，
∴AD＝5－＝，
则＝.
24．证明：(1)∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME＝AB，MD＝AB.
∴ME＝MD，
∴△MED为等腰三角形．
∵M为AB边的中点，AD⊥BC，
∴MD＝BM＝AB，
∴△BMD是等腰三角形．
(2)由(1)知ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝∠MAE＋∠MEA＝2∠MAE.
同理可得MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝∠MAD＋∠MDA＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.
25．解：分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为点G，H.
由题意可知，EG＝DH＝10
m，
GH＝ED＝3
m.
在Rt△ADH中，
AH＝＝＝10(m)．
在Rt△FGE中，i＝＝，
所以FG＝EG＝10
m，
所以AF＝FG＋GH－AH＝10＋3－10＝(10－7)(m)，
故加固后坝底增加的宽度AF为(10－7)m.
26．解：(1)过点B作BF∥AD，交DC于点F，
∴∠BFE＝∠D＝30°.
∵AB∥DF，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF＝AB＝1
m，AD＝BF，
∴EF＝DE－DF＝4
m.
在Rt△BCF中，设BC＝x
m，则BF＝2x
m，CF＝x
m.
在Rt△BCE中，∠BEC＝60°，
∴CE＝m，
∴x－＝4，
解得x＝2，
∴BC＝2
m，
∴AD＝BF＝4
m.
(2)由题意知，∠BGE＝45°.
在Rt△BCG中，CG＝BC＝2
m，
∵EC＝×2＝2(m)，
∴GE＝GC－EC＝(2－2)m，
∴DG＝DE－GE＝(7－2)m，
即应放置直径是(7－2)m的遮阳伞．
一、选择题(每题3分，共30分)
1．cos
30°的值等于( )
A.
B.
C．1
D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则tan
A等于( )
A.
B.
C.
D.
3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ACB的值为( )
A．3
B.
C．1
D.
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )
A．3
B．6
C．8
D．9
5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AB＝c，∠A＝α(α≠45°)，则CD的长为( )
A．c·sin2α
B．c·cos2α
C．c·sin
α·tan
α
D．c·sin
α·cos
α
7．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan
C等于( )
A.
B.
C.
D.
8．如图所示，某电视塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，则大楼的高度CD约为( )
(结果精确到1米，参考数据：tan
39°≈0.809
8)
A．110米
B．114米
C．118米
D．201米
9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A．30°
B．150°
C．60°或120°
D．30°或150°
10．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( )
A．20海里
B．10
海里
C．20
海里
D．30海里
二、填空题(每题3分，共30分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan
B＝________．
12．计算：－＋(－1.41)0＝________.
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝6.5，BC＝5，则AC的长是________．
14．某地铁站的手扶电梯的示意图如图所示．其中AB，CD分别表示电梯出入口处的水平线，∠ABC＝135°，BC的长是5
m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是________m.
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
16．设x为锐角，且sin
x＝3k－9，则k的取值范围是________．
17．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°.根据图形计算tan
15°＝________．
18．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′＝________.
19．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.
20．一次函数的图象经过点(tan
45°，tan
60°)和(－cos
60°，－6tan
30°)，则此一次函数的表达式为________．
三、解答题(21题6分，22，25题每题8分，23，24题每题12分，26题14分，共60分)
21．计算：
(1)(2cos
45°－sin
60°)＋；
(2)sin
60°·cos
60°－tan
30°·tan
60°＋sin245°＋cos245°.
22．在△ABC中，(sin
A－1)2＋＝0.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)若AB＝10，求BC的值．
23．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝.
(1)求边AC的长；
(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
24．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，D点为垂足，BE⊥AC，E点为垂足，M点为AB边的中点，连结ME，MD，ED.求证：
(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；
(2)∠EMD＝2∠DAC.
25．春汛来临之前，某防洪指挥部对长江防线的情况进行排查．发现长江边一处长500
m、高10
m、背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD，如图)急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制订的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3
m，加固后背水坡EF的坡比i＝1：.求加固后坝底增加的宽度AF.(结果保留根号)
26．图①为学校运动会终点计时台的侧面示意图，AB∥CD，AB＝1
m，DE＝5
m，BC⊥DC于点C，∠ADC＝30°，∠BEC＝60°.
(1)求AD的长；
(2)如图②，为了避免计时台AB和AD的位置受到与水平面成45°角的光线的照射，计时台上方应放置直径是多少米的遮阳伞(即求DG的长度)?
答案
一、1.B 2.C 3.A
4．B 点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB.所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos
∠BCA＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan
∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④，无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
6．D
7．B 点拨：如图，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4.又BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.∴tan
C＝＝.
8．B
9．D 点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin
A＝，∴∠A＝30°；当顶角为钝角时，如图②，
sin
(180°－∠BAC)＝，∴180°－∠BAC＝30°.∴∠BAC＝150°.
10．C
二、11. 12.2＋ 13.12 14.5
15.
16．3
18. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.所以tan∠A′BC′＝＝＝.
19. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2
.
在Rt△ABD′中，tan
∠BAD′＝＝＝.
20．y＝2
x－ 点拨：tan
45°＝1，tan
60°＝，－cos
60°＝－，－6tan
30°＝－2
.设y＝kx＋b的图象经过点(1，)，，则用待定系数法可求出k＝2
，b＝－.
三、21.解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝×－×＋＋＝－1＋＋＝.
22．解：(1)△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵(sin
A－1)2＋＝0，
∴
∴
∴∠A＝∠B＝45°，
∴AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴sin
A＝＝，
∴BC＝10sin
45°＝10×＝5.
23．解：(1)过A作AE⊥BC于点E，如图，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，
∴易知AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC－BE＝5－4＝1.
在Rt△AEC中，根据勾股定理得
AC＝＝.
(2)作BC的垂直平分线DF，交AB于点D，交BC于点F，连结CD，如图，
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝.
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝.
在Rt△BFD中，根据勾股定理得
BD＝＝，
∴AD＝5－＝，
则＝.
24．证明：(1)∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME＝AB，MD＝AB.
∴ME＝MD，
∴△MED为等腰三角形．
∵M为AB边的中点，AD⊥BC，
∴MD＝BM＝AB，
∴△BMD是等腰三角形．
(2)由(1)知ME＝AB＝MA，
∴∠MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝∠MAE＋∠MEA＝2∠MAE.
同理可得MD＝AB＝MA，
∴∠MAD＝∠MDA，
∴∠BMD＝∠MAD＋∠MDA＝2∠MAD，
∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.
25．解：分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为点G，H.
由题意可知，EG＝DH＝10
m，
GH＝ED＝3
m.
在Rt△ADH中，
AH＝＝＝10(m)．
在Rt△FGE中，i＝＝，
所以FG＝EG＝10
m，
所以AF＝FG＋GH－AH＝10＋3－10＝(10－7)(m)，
故加固后坝底增加的宽度AF为(10－7)m.
26．解：(1)过点B作BF∥AD，交DC于点F，
∴∠BFE＝∠D＝30°.
∵AB∥DF，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF＝AB＝1
m，AD＝BF，
∴EF＝DE－DF＝4
m.
在Rt△BCF中，设BC＝x
m，则BF＝2x
m，CF＝x
m.
在Rt△BCE中，∠BEC＝60°，
∴CE＝m，
∴x－＝4，
解得x＝2，
∴BC＝2
m，
∴AD＝BF＝4
m.
(2)由题意知，∠BGE＝45°.
在Rt△BCG中，CG＝BC＝2
m，
∵EC＝×2＝2(m)，
∴GE＝GC－EC＝(2－2)m，
∴DG＝DE－GE＝(7－2)m，
即应放置直径是(7－2)m的遮阳伞．