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等差数列的性质
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )
A．32
B．33
C．－33
D．29
解析：选B ∵数列{an}是等差数列，
∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，
∴a14＝6＋9×3＝33.
2．在等差数列{an}中，a2
016＝log27，a2
022＝log2，则a2
019＝( )
A．0
B．7
C．1
D．49
解析：选A ∵数列{an}是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a2
019＝a2
016＋a2
022＝log27＋log2＝log21＝0，故a2
019＝0.
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝( )
A．90
B．270
C．180
D．360
解析：选C 因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，
所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
4．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30
B．15
C．5
D．10
[解析]
∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.
[答案]
B
5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
[解析] 设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0.
∴c37＝100，即a37＋b37＝100.
[答案] C
6．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
解析：∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
答案：30
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案：1或2
8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________.
解析：根据等差数列的性质，可得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，∴a6＝.∴a4＋a8＝2a6＝.
答案：
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：由等差数列的性质得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．
解：∵在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a1＋a17＝a5＋a13.由条件等式，得a9＝117.
∴a3＋a15＝2a9＝2×117＝234.
层级二 应试能力达标
1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )
A．公差为－1的等差数列
B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列
D．公差为19的等差数列
解析：选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B.有两个相等实根
C．有两个不等实根
D.不能确定有无实根
解析：选A ∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0，∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程无实根．
3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选C 设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.
4．某县2017年12月末人口总数为57万，若人口总数每月按相同数目增加，到2018年12月末人口总数为57.24万，则2018年10月末的人口总数为( )
A．57.1万
B.57.2万
C．57.22万
D.57.23万
解析：选B 由题意，知人口总数可以看成是一个以57为首项，d为公差的等差数列{an}，则a1＝57，a13＝57.24，则由a13＝a1＋12d，得57.24＝57＋12d，解得d＝0.02，于是2018年10月末的人口总数是a11＝a1＋10d＝57＋0.2＝57.2(万)，故选B.
5．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又数列{an}为等差数列，
∴a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7，∴a7＝.∵a4＋…＋a14＝11a9，∴a9＝7，d＝.
∴ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18.
答案：18
7．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
[解] 设从第一年起，第n年的利润为an万元，
则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N
)，
∴每年的利润构成一个等差数列{an}，
从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．
∴由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
由题设知
解得或
∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
672列．
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班级______________
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层级一 学业水平达标
1．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )
A．32
B．33
C．－33
D．29
2．在等差数列{an}中，a2
016＝log27，a2
022＝log2，则a2
019＝( )
A．0
B．7
C．1
D．49
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝( )
A．90
B．270
C．180
D．360
4．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30
B．15
C．5
D．10
5．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( )
A．0
B．37
C．100
D．－37
6．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．
8．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________.
9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
10．已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，求a3＋a15的值．
层级二 应试能力达标
1．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是( )
A．公差为－1的等差数列
B．公差为20的等差数列
C．公差为－20的等差数列
D．公差为19的等差数列
2．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( )
A．无实根
B.有两个相等实根
C．有两个不等实根
D.不能确定有无实根
3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝( )
A．1
B.
C.
D.
4．某县2017年12月末人口总数为57万，若人口总数每月按相同数目增加，到2018年12月末人口总数为57.24万，则2018年10月末的人口总数为( )
A．57.1万
B.57.2万
C．57.22万
D.57.23万
5．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________.
6．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________.
7．某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
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