江西省靖安中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题 Word版含答案

2019—2020学年度下学期高二年级第一次月考数学（文）试卷
时间：120分钟
分值：150分
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（
）．
A．
B．
C．
D．
2．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内，对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．在△ABC中，“”是“”的　　
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
6．若命题:“，”为假命题，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重量依次成等差数列，斤，则（
）
A．2.5斤
B．2.75斤
C．3斤
D．3.5斤
8．已知定义在上的偶函数满足，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．双曲线：，离心率为，左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，为坐标原点，.若，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
10．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对于满足的，，有，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．设函数，若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若，满足约束条件，则的最大值为______．
14．已知函数，则______．
15．已知向量，，且向量在向上的投影为，则实数的值为__________．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线
的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．
三、解答题（17-21题每小题12分，选做题10分，共70分）
17．已知数列的前项和为，且满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．
的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
运动达人
非运动达人
总计
男
35
60
女
26
总计
100
（1）（i）将列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率.
附：
20．已知椭圆的离心率，是椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，且直线交椭圆于、两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，判断直线与的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．
21．已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.
（选做题，22,23选做一题）
22．已知函数.
（1）解不等式；
（2），使得不等式成立，求实数的取值范围.
23．已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点（不同于原点），与直线交于点，求的值.
参考答案
1．D2．B3．A4．B5．D6．C7．D8．A9．A10．C11．B12．C
13．
5
14．1
15．4
16．或
17．（Ⅰ）（Ⅱ）
（Ⅰ），令，解得，
，，两式相减，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
所以，即，
∴
.
18．（1）因为，所以，
则，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，
所以.
19．（1）（i）
运动达人
非运动达人
总计
男
35
25
60
女
14
26
40
总计
49
51
100
（ii）由列联表得，
所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”；
（2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为，女用户人数为，
男用户编号，，，，，女用户编号，，则抽取的两位幸运用户有：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共21种，其中男女各一位的有10种，概率为，
所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为.
20．（1）（2）是定值，0
（1）由题意知，
又离心率，所以，
于是有，
解得，．
所以椭圆的方程为；
（2）由于直线的斜率为．可设直线的方程为，
代入椭圆，可得．
由于直线交椭圆于、两点，
所以，
整理解得．
设点、，由于点与点关于原点对称，
故点，于是有，．
设直线与的斜率分别为，，由于点，
则
，
又，．
于是有
，
故直线与的斜率之和为0，即
21．（1）当时，函数无极值；当时，有极小值为，无极大值.（2）
（1）定义域为，.
①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.
②当时，令，解得.
当，，在上单调递减；
当，，在上单调递增.
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极值；
当时，有极小值为，无极大值.
（2）当时，，
直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程
在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，
即在上没有实数解.
令，则有.令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：
且当时，；时，的最大值为；当时，，
从而的取值范围为.
所以当时，方程无实数解，
解得的取值范围是.
22．（1）；（2）.
（1）可化为，
∴或或，
分别解得或或无解.
所以不等式的解集为.
（2）由题意：，.
设，要想，成立，只需，
∵，∴在上单调递增，∴，
∴，∴的取值范围为.
23．（1）:;:;（2）.
（1）∵，∴，
∴曲线C的直角坐标方程为．
∵直线l的参数方程为（t为参数），∴．
∴直线l的极坐标方程为．
（2）将代入曲线C的极坐标方程得，
∴A点的极坐标为．
将代入直线l的极坐标方程得，解得．
∴B点的极坐标为，
∴．