鲁教版（五四制）数学九年级上册第三章 二次函数达标测试卷 含答案

第三章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列各选项中表示y是x的函数的是(　　)
2．下列函数中是二次函数的是(　　)
A．y＝3x－1
B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝
3．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为(　　)
A．y＝(x＋2)2－5
B．y＝(x＋2)2＋5
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋5
4．下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是(　　)
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
5．若A，B，C为抛物线y＝x2＋4x－5上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2
D．y1＞y3＞y2
6．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是(　　)
7．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是(　　)
A．－1＜x＜4
B．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞4
D．x＜－1或x＞3
　　　　　　
　
8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是(　　
)
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是(　　)
　
二、填空题(每题3分，共24分)
11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．
12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)
13．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．
　
14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．
15．如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．
16．抛物线y＝x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为__________________．
17．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4
m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2
m，当水面下降
1
m时，水面的宽度为________．
18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，下列结论中：①abc＜0；②9a－3b＋c＜0；③b2－4ac＞0；④a＞b，正确的结论是________．(只填序号)
三、解答题(19题10分，20题12分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)
19．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
20．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18
cm，AD＝4
cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2
cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1
cm/s的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x
s，△PBQ的面积为y
cm2.
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的最大面积．
21．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20
m，如果水位上升3
m，那么水面CD的宽是10
m.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6
m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6
m的长方体货物(货物与货船同宽)，此船能否顺利通过这座拱桥？
22．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每个商品的售价x(元)
…
30
40
50
…
每天的销售量y(个)
100
80
60
…
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，求w与x之间的函数表达式；
(3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．
答案
一、1.D　2.B　3.A　4.C　5.D
6．C　7.B　8.A　9.C　10.A
二、11.高；(0，15)
12．－1；增大　13.15
14．x1＝－1，x2＝3
15．x＜－2或x＞8
16．y＝－x2＋2x－3
17．2
m
18．②③④　点拨：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为x＝－1，∴＝－1，∴b＝2a＜0.∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①错误；由图象得x＝－3时，y＜0，∴9a－3b＋c＜0，故②正确；∵图象与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故③正确；∵a－b＝a－2a＝－a＞0，∴a＞b，故④正确．故答案为②③④.
三、19.解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.
∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
顶点坐标为(2，－10)．
(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，
∴m2－4m－6＝m.
∴m1＝6，m2＝－1.
∴m的值为6或－1.
20．解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，
PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，BQ＝x
cm，
∴y＝(18－2x)x.
即y＝－x2＋9x(0＜x≤4)．
(2)由(1)知y＝－x2＋9x，
∴y＝－＋.
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，
∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20
cm2.
21．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.
∵抛物线关于y轴对称，AB＝20
m，CD＝10
m，
∴点B的横坐标为10，点D的横坐标为5.设点B(10，n)，
则点D(5，n＋3)．
将B，D两点的坐标分别代入表达式，
得解得
∴y＝－x2.
(2)当x＝3时，y＝－×9＝－.
∵点B的纵坐标为－4，|－4|－＝3.64>3.6，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
22．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
即y与x之间的函数表达式是y＝－2x＋160.
(2)由题意可得，w＝(x－20)·(－2x＋160)＝－2x2＋200x－3
200，即w与x之间的函数表达式是w＝－2x2＋200x－3
200.
(3)∵w＝－2x2＋200x－3
200＝－2(x－50)2＋1
800(20≤x≤60)，
∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大，
当50≤x≤60时，w随x的增大而减小，
当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1
800元．
即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1
800元．
23．解：(1)联立
解得
∴B点坐标为(－1，1)．
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为(1，－1)．
∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，
∴A点坐标为(0，－1)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.
(2)①连接PQ.
由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.
联立解得或
∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．
②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.∵线段BC的长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．
又∠PED＝∠AOC(固定不变)，
∴当PE最大时，PD也最大．
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t，t2－t－1)，E点坐标为(t，－t)．
∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．