冀教版数学九年级上册第二十六章解直角三角形达标测试卷（含答案）

二十六章达标测试卷
一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)
1．cos
45°的值为(　　)
A.
B．1
C.
D.
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　　)
A．3　　　B.
C.
D.
3．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝8，AC＝15，设∠BCD＝α，则cos
α的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
5．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．105°
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4，那么AD＝(　　)
A．6
B．4
C.
D.
7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为(　　)
A.米
B.米
C.米
D.米
8．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10
m，坝高12
m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)
A．26
m
B．28
m
C．30
m
D．46
m
9．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据求出A，B间距离的有(　　)
A．1组　
B．2组　
C．3组　
D．4组
10．李红同学遇到了这样一道题：求tan
(α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是(　　)
A．40°　
B．30°　
C．20°　
D．10°
11．如图，菱形ABCD的周长为20
cm，DE⊥AB，垂足为E，sin
A＝，则下列结论中正确的有(　　)
①DE＝3
cm；
②BE＝1
cm；
③菱形的面积为15
cm2；
④BD＝2
cm.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为(　　)
A.　
B．4
C.
D．4
13．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20
m到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6
m，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1
m，≈1.414)(　　)
A．34.14
m
B．34.1
m
C．35.7
m
D．35.74
m
14．如图，在等边三角形ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转到点E处，则tan∠CDE的值是(　　)
A.
B．3
C.
D.
15．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20
n
mile.客轮以60
n
mile/h的速度沿北偏西60°方向航行
h到达B处，那么tan∠ABP的值等于(　　)
A.
B．2
C.
D.
16．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO＝α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60
cm，若AO＝100
cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是(　　)
A．(60＋100sin
α)
cm
B．(60＋100cos
α)
cm
C．(60＋100tan
α)
cm
D．以上选项都不对
二、填空题(17，19题每题3分，18题4分，共10分)
17．cos
60°＋sin
45°＋tan
30°＝________．
18．如图，在△ABC中，sin
B＝，tan
C＝，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________．
19．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30
m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25
min后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__________．
三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)
20．计算：
(1)2－1－tan
60°＋(π－2
022)0＋；
(2)(π－)0＋＋(－1)2
023－tan
60°.
21．在△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知c＝8
，∠A＝60°，求∠B，a，b；
(2)已知a＝3
，∠A＝45°，求∠B，b，c.
22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sin
A＝，求AD的长．
23．如图，甲建筑物AD与乙建筑物BC的水平距离AB为90
m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)
24．为了缓解交通拥堵，方便行人，市政府计划在某街道修建一座横断面为四边形ABCD的过街天桥(如图)，BC∥AD，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1：1.2，BC＝10
m，天桥高度CE＝5
m，求AD的长度．(结果精确到0.1
m．参考数据：sin
35°≈0.57，cos
35°≈0.82，tan
35°≈0.70)
25．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．
(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；
(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan
∠BAD的值．
26．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N.(参考数据：sin
36.5°≈0.6，cos
36.5°≈0.8，tan
36.5°≈0.74)
(1)求M，N两村之间的距离；
(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离之和．
答案
一、1.C　2.A　
3.C
4．D　点拨：如图，根据勾股定理可知，AB＝＝17.
∵∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，∴∠BCD＝∠A＝α，在Rt△ACB中，cos
α＝＝.故选D.
5．C
6．B　点拨：如图，由题意知，AC＝ABsin
B＝ABsin
30°＝2.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝＝＝30°.
∴AD＝＝4.故选B.
7．A　点拨：如图，设PA＝PB＝PB′＝x
米，在Rt△PCB′中，sin
α＝，
∴sin
α＝，∴x＝.
8．D
9．C　点拨：对于①，可由AB＝BC·tan
∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.
10．D　11.C
12．A　
点拨：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4
，易证DF＝AE，
∴DF＝4
，再解Rt△DCF即可求出CD.
13．C　点拨：过点B作BF⊥CD于F，过点B′作B′E⊥BD于E.于是得到AB＝A′B′＝CF＝1.6
m，易知点B′在BF上，∠B′DF＝90°－67.5°＝22.5°，∠BDB′＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠B′DF＝∠BDB′.
∴B′F＝B′E＝BB′·sin
45°≈14.14(m)．
易知△BFD为等腰直角三角形，则CD＝CF＋FD＝CF＋BF＝CF＋BB′＋B′F≈35.7
m.
14．B　15.A　16.A
二、17.2　18.；
19．750
m　点拨：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(m)，
∴AD＝AC·sin
45°＝375
m.
在Rt△ABD中，易知∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝750
m.
即小山东西两侧A，B两点间的距离为750
m.
三、20.解：(1)2－1－tan
60°＋(π－2
022)0＋＝－3＋1＋＝－1.
(2)(π－)0＋＋(－1)2
023－tan
60°＝1＋2－1－3＝－1.
21．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin
A＝，sin
B＝，
∴a＝c·sin
A＝8
×＝12，
b＝c·sin
B＝8
×＝4
.
(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝45°.∴b＝a＝3
.
∴c＝＝6
.
22．解：(1)在Rt△ABE中，
∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan
A＝，
∴∠E＝30°，BE＝AB·tan
A＝6×tan
60°＝6.
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，
CD＝4，sin
E＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝＝8.
∴BC＝BE－CE＝6
－8.
(2)∵∠ABE＝90°，sin
A＝＝，
∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.
由勾股定理可得AB＝3x，
又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.
∴BE＝8，AE＝10.
∴tan
E＝＝＝＝，
解得DE＝.
∴AD＝AE－DE＝10－＝.
23．解：设AD＝x
m，则BC＝6x
m.
在Rt△ADE中，∵∠AED＝30°，
∴AE＝＝＝x(m)，
DE＝2AD＝2x
m.
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝60°，
∴BE＝＝＝2
x(m)，
EC＝2BE＝4
x
m．∵AE＋BE＝AB，∴x＋2
x＝90，解得x＝10
.∴DE＝20
m，EC＝120
m.
在△DEC中，∠DEC＝180°－30°－60°＝90°，根据勾股定理，得CD＝＝20
(m)．
答：这两座建筑物顶端C，D间的距离为20
m.
24．解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，
∴BF＝CE＝5
m，EF＝BC＝10
m.
在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝，
∴AF＝≈≈7.14(m)．
∵斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，
∴＝.∴ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．∴AD＝AF＋FE＋ED≈7.14＋10＋6≈23.1(m)．
故AD的长度约为23.1
m.
25．解：(1)如图．
(2)如图，连接BD.
∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
BD＝＝＝.
易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2
.
∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.
∴tan
∠BAD＝＝＝.
26．解：(1)如图，过点M作CD∥AB，过点N作NE⊥AB于点E.
∴四边形AEDC为矩形，
∴AC＝DE，AE＝DC.
在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5千米，
sin∠CAM＝≈0.6，
cos∠CAM＝≈0.8，
∴CM≈3千米，AC≈4千米．
在Rt△ANE中，∠NAE＝90°－53.5°＝36.5°，AN＝10千米，
sin∠NAE＝≈0.6，
cos∠NAE＝≈0.8，
∴NE≈6千米，AE≈8千米．
在Rt△MND中，MD＝CD－CM＝AE－CM≈5千米，ND＝NE－DE＝NE－AC≈2千米，
∴MN＝≈＝(千米)．
(2)如图，作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，连接NP.
点P即为站点．
∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG，NG＝2NE≈12千米，DG＝NG－DN≈10千米．
在Rt△MDG中，
MG＝≈＝＝5(千米)．
∴最短距离之和约为5千米．