河北省沧州市任丘市第一中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学试卷（word版含解析）

数学
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．给出下列命题：
①命题“若，则方程无实根”的否命题；
②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题；
③命题“若，则”的逆否命题；
④“若，则的解集为”的逆命题；
其中真命题的序号为（
）
A．①②③④
B．①②④
C．②④
D．①②③
4．“”是“”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．下面四个条件中，是成立的充分而不必要的条件为（
）
A．
B．
C．
D．
6．给出如下四个命题：
①“”是“”的充分而不必要条件；
②命题“若，则函数有一个零点”的逆命题为真命题；
③若是的必要条件，则是的充分条件；
④在中，“”是“”的既不充分也不必要条件．
其中正确的命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．设命题.
则为（
）
A．
B．
C．
D．.
8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（
）
A．种
B．种
C．种
D．种
9．的展开式中的系数为（
）
A．
B．
C．
D．
10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（
）（参考数据：若，有，，）
A．0.0456
B．0.6826
C．0.9987
D．0.9772
11．已知随机变量ξ的分布列如下，则Eξ的最大值是（
）
ξ
-1
0
P
A．
B．
C．
D．
12．如图所示，5组数据
中去掉后，下列说法错误的是（
）
A．残差平方和变大
B．相关系数变大
C．相关指数变大
D．解释变量与预报变量的相关性变强
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于______．
14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_____________种.（用数字填写答案）
15．已知随机变量，且，则______．
16．用列举法表示集合__________．
三、解答题（共6小题）
17．（10分）已知集合，.
（1）若，求，（其中为实数集）；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（12分）已知命题，命题实数满足：方程表示双曲线．
1若命题为真命题，求实数的取值范围；
2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．
19．（12分）从2017年1月18日开始，支付宝用户可以通过“扫‘福’字”和“参与蚂蚁森林”两种方式获得福卡（爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福），除夕夜22:18，每一位提前集齐五福的用户都将获得一份现金红包.某高校一个社团在年后开学后随机调查了80位该校在读大学生，就除夕夜22:18之前是否集齐五福进行了一次调查（若未参与集五福的活动，则也等同于未集齐五福），得到具体数据如下表：
是
否
合计
男
30
10
40
女
35
5
40
合计
65
15
80
（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”？
（2）计算这80位大学生集齐五福的频率，并据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数；
（3）为了解集齐五福的大学生明年是否愿意继续参加集五福活动，该大学的学生会从集齐五福的学生中，选取2位男生和3位女生逐个进行采访，最后再随机选取3次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的3次采访对象中至少有一位男生的概率..
参考公式：.
附表：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
20．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．
（1）求物理原始成绩在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
（附：若随机变量，则，，）
21．（12分）一项研究机构培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图
（1）求样本平均株长和样本方差（同一组数据用该区间的中点值代替）；
（2）假设幼苗的株长X服从正态分布,其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；
（3）在第（2）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为，开花后结穗的概率为，设最终结穗的幼苗株数为，求的数学期望.
附：；若X：，则；
；
22．（12分）某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立．
(1)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时的值；
(2)现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以(1)中确定的作为的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用．
(ⅰ)若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？
数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
B
D
A
C
B
C
D
B
A
1．【答案】C
【解析】
【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合，即求.
【详解】∵集合，，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为，又或，
.
故选：.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2．【答案】A
【解析】
【分析】由题意先求出集合和集合，再求出集合的补集，最后求解出结果
【详解】由题意，，，所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了计算集合的补集和交集，首先需要求解不等式，计算出两个集合，然后再计算出结果，本题较为基础.
3.【答案】A
【解析】
【分析】①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假.
【详解】
①命题“若，则方程无实根”的否命题为：
“若，则方程有实根”,为真命题，所以正确.
②命题“在中，，那么为等边三角形”的逆命题为：
“若为等边三角形，则”为真命题，所以正确.
③命题“若，则”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.
④“若，则的解集为”的逆命题为：
“若的解集为，则”
当时，不是恒成立的.
当时,则解得：，所以正确.
故选：A
【点睛】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题.
4．【答案】B
【解析】
【分析】先判断“x2﹣3x+2＝0”是“x＝l”的必要不充分条件，再根据原命题与逆否命题的真假关系得到结论.
【详解】由x2﹣3x+2＝0，不一定得到x＝l，还可能x＝2，反之，若x＝l，肯定能得到x2﹣3x+2＝0，所以“x2﹣3x+2＝0”是“x＝l”的必要不充分条件，又原命题与逆否命题等价，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】本题考查了原命题与逆否命题真假关系的等价性，考查了充要条件的判定，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，对每一项进行逐一判断.
【详解】
解：选项A：当时，由只能得到，不是充分条件；
选项B：当，时，满足，不能使成立，不是充分条件；
选项C：根据三次函数的单调增可知，，是充要条件；
选项D：由，当时，由于存在性原因，不能得到与的大小关系，所以，成立的充分而不必要的条件为．
故选：D
【点睛】本题考查了充分必要条件，解决此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.
6．【答案】A
【解析】
【分析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由，解得；由，解得；
所以，“”是“”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数有一个零点，当时，函数有一个零点，符合题意；当时，由，解得，此时函数有一个零点；
所以，函数有一个零点的等价条件为或，
故命题“若，则函数有一个零点”的逆命题为“函数有一个零点，则”此命题为假命题，故命题②错误；
③若是的必要条件，可得，则，所以是的充分条件，故命题③正确；
④在中，若，由于，必有，若，都是锐角，有成立；若，之一为锐角，必是为锐角，此时有不是钝角，由于，必有，此时有；
若，当不是锐角时，有，当为锐角时，仍可得到；
故“”是“”的充要条件，故命题④错误.
综上，命题③正确.
故选：A.
【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
7．【答案】C
【解析】
全称命题的否定为特称命题，故命题.则为
.
本题选择C选项.
8．【答案】B
【解析】
【分析】先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.
【详解】
若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有
，
若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有，
所以共有种。
故选B
【点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.
9．【答案】C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
10．【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布符合,可求得旅客人数在内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率.
【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量,且
根据原则可知，
则
由正态分布的对称性可知
则
故选:D
【点睛】本题考查了正态分布的应用,原则求概率问题,属于基础题.
11．【答案】B
【解析】
【分析】根据分布列的性质得到b=a,再由均值的概念得到，由二次函数的性质得到结果即可.
【详解】
根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,
根据公式得到
化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.
此时,经检验适合题意.
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了分布列的性质以及应用，分布列的概率和为1，每个概率值介于0和1之间，或者可以等于0或1，基础题型.
12．【答案】A
【解析】
【分析】由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系得出选项．
【详解】解：由散点图知，去掉后，与的线性相关加强，且为正相关，
所以变大，变大，残差平方和变小．故选．
【点睛】本题考查刻画两个变量相关性强弱的量：相关系数，相关指数及残差平方和，属于基础题．
2、填空题
13.
112
14.
240
15.
8
16.
13．【答案】112
【解析】由题意可得：，
结合二项式展开式通项公式可得：，
令可得：，则常数项为：.
14．【答案】240
【解析】
【分析】根据题意，分2步进行分析:先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，
则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队.
分2步进行分析：
先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有种分配法，
再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，
所以不同的分配方案数共有.
故答案为：240.
【点睛】
本题考查排列组合，属于基础题.
15．【答案】8
【解析】
【分析】利用二项分布的期望公式求得，再根据二项分布的方差公式求解即可.
【详解】由，得，所,故答案为8.
【点睛】本题主要考查二项分布的期望公式与方程公式的应用，属于简单题.
16．【答案】
【解析】
【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合．
【详解】因为且，所以可以取，2，3，4.
所以
故答案为：
【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚表示整数集，属于基础题.
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）求出集合的补集，再由交集运算得出答案；（2）根据交集的结果，分类讨论，的情况，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，所以或
所以
（2）当，若满足要求，，则
若时，则
，即
综上
实数的取值范围是或
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及由交集的结果求参数范围，属于中档题.
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】1，恒成立，可得，从而求得m的范围；2由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．
【详解】
1，恒成立，，解得，
实数m的取值范围是；
2“p或q”为假命题，，q均为假命题，
当q为真命题时，则，解得或．
为假命题时，．
由知，p为假命题时．
从而，即．
实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．
19．【答案】（1）不能（2）8125（3）
【解析】
【分析】(1)利用的公式计算得,故不能.(2)人的概率为,故估计总人数为.(3)利用列举法和古典概型计算公式求得相应的概率.
【详解】
解：（1）根据列联表中的数据，得到的观测值为
，
故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“集齐五福与性别有关”.
（2）这80位大学生集齐五福的频率为.
据此估算该校10000名在读大学生中集齐五福的人数为.
（3）设选取的2位男生和3位女生分别记为，，，，，随机选取3次采访的所有结果为，，，，，，，，，共有10个基本事件，
至少有一位男生的基本事件有9个，
故所求概率为.
20．【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．
【详解】
（Ⅰ）因为物理原始成绩，
所以
．
所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．
（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，
所以
，
，
，
．
所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望．
【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．
（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．
21．【答案】(1)
，
(2)1366(3)683
【解析】
【分析】（1）使用加权平均数公式求，再由方差公式求方差；（2）求出及的值，得到，乘以2000得答案；（3）求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．
【详解】
解(1)
(2)由(I)知,
,
∴
2000×0.683=1366
∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366.
(3)由题意,进入育种试验阶段的幼苗数1366,每株幼苗最终结穗的概率,
则,
所以
【点睛】本题考查了频率分布直方图，服从正态分布随机变量的期望，属于中档题．
本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差、正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量与方差的公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力.解答中正确、准确的计算是解答本题的关键.
22．【答案】(Ⅰ)0.2
(Ⅱ)
(ⅰ)
(ⅱ)8
【解析】
【分析】(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求得，利用导数即可求解函数的单调性，进而求得函数的最值.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依题意知，，进而利用公式，即可求解；
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，得这一箱水果所需要的检验费为120元，列出相应的不等式，判定即可得到结论.
【详解】
(Ⅰ)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p)，则，
∴，
由，得.
且当时，；当时，.
∴的最大值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
(ⅰ)令Y表示余下的70个水果中的不合格数，依题意知，
∴.
(ⅱ)如果对余下的水果作检验，则这一箱水果所需要的检验费为120元，
由，得，且，
∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测．
【点睛】
本题主要考查了独立重复试验的概率的应用，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，分析试验过程，根据对立重复试验求得事件的概率，以及正确利用分布列的性质求解上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.