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等比数列的概念及通项公式
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
解析：选B A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．
2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B ∵＝·n－1，
∴＝n－1，即3＝n－1，
∴n－1＝3，∴n＝4.
3．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4
B．4
C．±
D.
解析：选B ∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.
4．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4
B．4
C．±
D.
[解析] 由an＝×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，
所以a4与a8的等比中项为±4.
答案：A
5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：选B 因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，
所以b＝－3，且a，c必同号．
所以ac＝b2＝9.
6．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.
解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.
答案：－729
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
解析：设公比为q，则a1q2＝3，a1q9＝384，
所以q7＝128，q＝2，故a4＝a3q＝3×2＝6.
答案：6
8．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则数列{an}的通项公式为________________．
设等比数列的公比为q，则q≠0，a2＝＝，a4＝a3q＝2q.
∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.
当q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n；
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3..
[答案]
an＝2×33－n或an＝2×3n－3
9．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
证明：因为b是a，c的等比中项，
所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
10．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N
)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
解：(1)由题得an＋1＝an，
将n＝1代入，得a2＝6a1，而a1＝2，∴a2＝12，
将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54，
∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18.
(2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
由题得＝3×，即bn＋1＝3bn，
又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列．
层级二 应试能力达标
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.
2．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A.
B.
C.
D.或
解析：选B 设{an}的公比为q(q>0，q≠1)，根据题意可知a3＝a2＋a1，∴q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，则＝＝.故选B.
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5
B．608
C．607
D．159
解析：选C ∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，
∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.
5．若实数1，x，y,4成等差数列，－2，a，b，c，－8成等比数列，则＝________.
解析：实数1，x，y,4成等差数列，则y－x＝＝1；
－2，a，b，c，－8成等比数列，则b2＝(－2)(－8)＝16.
由－2，a，b成等比数列得a2＝(－2)b>0，∴b<0，∴b＝－4.则＝－.
答案：－
6．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a2－a1＝1，得
a1(q－1)＝1，q≠1，所以a1＝.
a3＝a1q2＝＝(q>0)，
而－＋＝－2＋≤，当且仅当q＝2时取等号，
所以当q＝2时，a3有最小值4.此时a1＝＝＝1，
所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.
答案：2n－1
7．在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N
)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
[证明] [法一 定义法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴＝＝＝2.
∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．
[法二 等比中项法]
∵an>0，∴an＋3>0.
又∵an＋1＝2an＋3，
∴an＋2＝4an＋9.
∴(an＋2＋3)(an＋3)
＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
∴数列{an＋3}是等比数列．
8．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
证明：(1)由已知，有2a2＝a1＋a3，①
a＝a2·a4，②
＝＋.③
由③得＝，所以a4＝.④
由①得a2＝.⑤
将④⑤代入②，得a＝·.
∴a3＝，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．
化简，得a＝a1·a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列．
(2)依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是bn＝3－n.
而＝＝－1＝2.
∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.
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班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．下列数列为等比数列的是( )
A．2,22,3×22，… B.，，，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
3．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4
B．4
C．±
D.
4．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )
A．±4
B．4
C．±
D.
5．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
6．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则a4＝________.
8．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则数列{an}的通项公式为________________．
9．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
10．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝(n∈N
)．
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由．
层级二 应试能力达标
1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )
A.
B.
C.
D.或
3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于( )
A．607.5
B．608
C．607
D．159
4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
，
，，
…
记第i行第j列的数为aij(i，j∈N
)，则a53的值为( )
A.
B.
C.
D.
5．若实数1，x，y,4成等差数列，－2，a，b，c，－8成等比数列，则＝________.
6．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{an}的通项公式an＝________.
7．在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N
)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
8．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
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