(共23张PPT)
12.3
角的平分线的性质
第一课时
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）三角形的判断方法有哪些?
SSS,SAS,AAS,ASA,HL
（2）三角形中有哪些重要线段?
三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做
.
点到直线的距离
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问题探究
课堂小结
随堂检测
活动1
探究一：角的平分线的作法
请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.
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问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究一：角的平分线的作法
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.
你能说明它的道理吗?
A
D
B
C
E
M
N
A
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问题探究
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随堂检测
活动3
探究一：角的平分线的作法
通过上述探究，你能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
B
D
C
已知：∠MAN
求作：∠MAN的角平分线.
作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.
（2）分别以B、D为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.
（3）画射线AC.
∴射线AC即为所求.
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问题探究
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随堂检测
活动3
探究一：角的平分线的作法
思考：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？
总结：
1．去掉“大于
的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以B、D为圆心，大于
的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
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问题探究
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活动3
探究一：角的平分线的作法
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
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活动1
探究二：角的平分线的性质
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）
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问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究二：角的平分线的性质
作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.
哪个学生的作法正确？
同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
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随堂检测
活动2
探究二：角的平分线的性质
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？
已知事项：
．
由已知事项推出的事项：
．
OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足
PD=PE
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问题探究
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随堂检测
活动3
探究二：角的平分线的性质
以上结论成立吗？请证明.
证明：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
(已知)
∴
∠PDO
=
∠PEO=90°(垂直的定义)
∠PDO
=
∠PEO（已证）
∠AOC
=
∠BOC
（已知）
OP=OP
（公共边）
∴
PD=PE（全等三角形的对应边相等）
在
PDO和
PEO中
∴
PDO
≌
PEO（AAS）
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活动3
探究二：角的平分线的性质
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
符号语言：
∵∠AOC=∠BOC,
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴
PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
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活动1
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
例1
(1)
下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形(
)中PD＝PE.
A
B
C
D
【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.
D
【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.
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问题探究
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随堂检测
活动1
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
例1
(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?
【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.
不相等
例1
(3)如图,
ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为
cm．
练习：如图,
ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，
则AD+DE=
cm.
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问题探究
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随堂检测
活动1
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.
E
2
【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得
DC=DE,
AD+DE=AD+DC=AC.
7
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
例2
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20
000）？
【思路点拨】
1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1
m=100
cm，所以比例尺为1:20
000，其实就是图中1
cm表示实际距离200
m的意思．
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问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
【作图过程】
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
例2
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20
000）？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？
S
公路
铁路
P
【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.
【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等.
证明：
例3
如图,
ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF.
求证：CF=EA
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，
∴DC=DE
又∵AD=DF
∴
DCF≌
DEA（HL）
∴CF=EA
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明
BOD
≌
COE可得OB=OC.
证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，
∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．
∵∠BOD=∠COE，
∴
BOD
≌
COE．
∴OB=OC．
知识梳理
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；
（2）探索并证明角平分线的性质；
（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.
重难点归纳
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
（1）角的平分线的性质的探究.
（2）角的平分线的性质的证明及应用.
（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.
完成“《角的平分线的性质（1）》随堂检测
”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测(共22张PPT)
12.3
角的平分线的性质
第二课时
（1）角的平分线性质定理的内容是什么？
其中题设、结论是什么？
（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？
（3）填空
如图：
∵OC平分∠AOB，_________________.
∴
AC=BC（角平分线性质定理）
角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.
证明垂线段相等
OA⊥AC,
OB⊥BC
探究一：角平分线的判定
活动1
回顾旧知，回忆类活动
把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜想：它正确吗？
到角两边距离相等的点在角平分线上.
它是正确的.
依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.
证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON
∴∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△AOP和Rt△BOP中，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴∠1=∠2
∴OC平分∠MON
探究一：角平分线的判定
活动2
证明上面的猜想
已知：
OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP
求证：
OC平分∠MON
归纳角平分线的判定定理：
到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
探究一：角平分线的判定
活动3
现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？
已知：
CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证：
OC平分∠AOB
证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中，
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC
∴OC平分∠AOB
探究二：角平分线性质和判定的区别与联系
活动1
证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，
AC=BC
∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）
归纳：两种方法都正确，“证法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.
现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？
已知：
CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证：
OC平分∠AOB
探究二：角平分线性质和判定的区别与联系
结合图形完善表中内容
探究二：角平分线性质和判定的区别与联系
活动2
?
题设
结论
作用
角平分线性质
角平分线判定
∠1＝∠2
（OP平分∠MON），PA⊥OM，PB⊥ON
PA＝PB
证明垂线段相等
PA⊥OM，PB⊥ON，
PA＝PB
∠1＝∠2
（OP平分∠MON）
证明角相等（平分角）
角平分线的性质和判定之间有什么关系？
探究二：角平分线性质和判定的区别与联系
活动3
角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；
角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；
角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.
今天我们学习了关于角平分线的两个性质：
①角平分线上的点到角的两边的距离相等；
②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
活动1
基础性例题
它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
例1.
已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
活动1
基础性例题
证明：
（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），
∴
AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．
又∵AC＝AC′（已知），
∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
∴∠ABC＝∠ABC′．
例1.
已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
活动1
基础性例题
证明：
（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，
∴
180°－（∠C＋∠ABC）
＝180°－（∠C′＋∠ABC′）
即∠BAC＝∠BAC′，
∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
练习：如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且
DE=DF.
求证：BD=DC
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF
∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴BD=CD
【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD.
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
活动2
提升型例题
例2.
如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=
∠ABC，∠BCO=∠ACO=
∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°?40°
=140°，
∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°
?70°
=110°，故选A.
A
练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=52°，则∠BOC=（ ）
A．128°
B．116°
C．75°
D．52°
解：如图，∵∠A=52°
∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴点O是△ABC角平分线的交点
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．
B
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
例3.
已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.
求证：O在∠C
的平分线上.
证明：过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，
∵AO平分∠BAC，
∴OG=ON，
∵BO平分∠ABC，
∴OG=OM，
∴ON=OM，
∴O在∠C的平分线上.
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
练习：如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．
求证：CP是△ABC
的外角平分线．
证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE
∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
例4.
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
活动3
探究型例题
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
求证：AD是△ABC
的角平分线.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF是直角三角形．
∴
Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴
DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴
AD是角平分线．
探究三：利用角平分线的判定进行证明与计算
知识梳理
（1）能证明角平分线判定定理；
（2）理解角平分线的性质和判定的关系；
（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.
重难点归纳
（1）理解角平分线性质与判定的关系；
（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.
完成“《角的平分线的性质（2）》随堂检测
”
