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数列求和
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则S40＝( )
A．290
B．390
C．410
D．430
解析：选C 设数列{an}的公差为d.∵S2＝a3，∴2a1＋d＝a1＋2d，∴d＝，∴S40＝40×＋×＝410.
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)，则S20＝( )
A．31
B．122
C．324
D．484
解析：选B ∵an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)，
∴当n＝2k－1(k∈N
)时，an＝n；
当n＝2k(k∈N
)时，an＝.∴an＝
∴a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，….
∴S20＝(1＋3＋…＋19)＋
＝＋×＝122.故选B.
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N
)，则S2
018＝( )
A．0
B．2018
C．1009
D．2019
解析：设等比数列{an}的公比为q，则an＋2an＋1＋an＋2＝an(1＋2q＋q2)＝0，∵an≠0，∴q2＋2q＋1＝0.
解得q＝－1，∴S2
018＝0.
答案：A
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值( )
A．13
B．－76
C．46
D．76
解析：选B ∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.
S22＝(－4)×11＝－44.
S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.
∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101
B．299－101
C．2100－99
D．299－99
解析：选A 由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.
6．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．
解析：an＝＝1－，
∴Sn＝n－＝n－1＋＝＝5＋，
∴n＝6.
答案：6
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
解析：＝3，故q≠1，
∴×＝1＋q3＝3，
即q3＝2.
所以＝×＝＝.
答案：
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
9．已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．
[解] 令{cn}的前n项和为Sn，
则Sn＝1＋2＋3＋…＋
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋
＝＋
＝＋1－n.
即数列{cn}的前n项和为Sn＝＋1－n.
10．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.
解：(1)∵a1＝3，q>1，∴an>0.
∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，
∴3(anq2＋an)－10anq＝0.∵an≠0，∴3q2－10q＋3＝0.
∴q＝3.∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
(2)∵是首项为1，公差为2的等差数列，
∴bn＋an＝1＋2(n－1)．
∵an＝3n，∴bn＝2n－1－3n－1.
即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1.
∴Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B.n－1
C.n－1
D.
解析：选B 因为an＋1＝Sn＋1－Sn，所以由Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，整理得3Sn＝2Sn＋1，所以＝，所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，故Sn＝n－1.
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为( )
A．4
B．4
C．1－
D.－
解析：选A ∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4.
∴Sn＝4
＝4.
3．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )
A．11×(1.15－1)a亿元
B．10×(1.15－1)a亿元
C．11×(1.14－1)a亿元
D．10×(1.14－1)a亿元
解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a，公比为1.1.所以其前5项和为S5＝＝11×(1.15－1)a亿元，故选A.
4．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1
033
B．1
034
C．2
057
D．2
058
解析：选A 由已知可得an＝n＋1，bn＝2n－1，
于是abn＝bn＋1，
因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1
033.
5．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
an＝________.
解：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
从而{an}的通项公式为an＝.
6．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，a＝6Sn＋9n＋1，n∈N
，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.则bn＝________.
解：∵a＝6Sn＋9n＋1，∴a＝6Sn－1＋9(n－1)＋1(n≥2)，
∴a－a＝6an＋9(n≥2)，∴a＝(an＋3)2.
又∵an>0，∴an＋1＝an＋3(n≥2)，
∴{an}为公差为3的等差数列．
∵a2＝4，∴an＝3n－2(n≥2)．
∵a＝6S1＋9＋1，a1＝S1，
∴a1＝1，当n＝1时，满足an＝3n－2，
∴an＝3n－2(n∈N
)．
∵b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，∴bn＝2n－1.
7．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.
解：(1)∵a1＝3，q>1，∴an>0.
∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，
∴3(anq2＋an)－10anq＝0.∵an≠0，∴3q2－10q＋3＝0.
∴q＝3.∴数列{an}的通项公式为an＝3n.
(2)∵是首项为1，公差为2的等差数列，
∴bn＋an＝1＋2(n－1)．
∵an＝3n，∴bn＝2n－1－3n－1.
即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1.
∴Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－(3n－1)＋n2.
8．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
[解] (1)证明：由an＋1＝，
所以＝＝＋×，
所以－1＝，
又a1＝，所以－1＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)得－1＝×＝，即＝＋1，
所以＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋，①
则Tn＝＋＋…＋＋，②
由①－②得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
Tn＝2－－.
又1＋2＋3＋…＋n＝，
所以数列的前n项和
Sn＝2－＋
＝－.
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班级______________
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学号________
层级一 学业水平达标
1．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则S40＝( )
A．290
B．390
C．410
D．430
2．已知Sn为数列{an}的前n项和，若an(4＋cos
nπ)＝n(2－cos
nπ)，则S20＝( )
A．31
B．122
C．324
D．484
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N
)，则S2
018＝( )
A．0
B．2018
C．1009
D．2019
4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值( )
A．13
B．－76
C．46
D．76
5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )
A．2100－101
B．299－101
C．2100－99
D．299－99
6．已知数列{an}的通项公式an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于________．
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
9．已知数列{cn}：1，2，3，…，试求{cn}的前n项和．
10．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.
层级二 应试能力达标
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B.n－1
C.n－1
D.
2．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为( )
A．4
B．4
C．1－
D.－
3．某厂去年的总产值是a亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )
A．11×(1.15－1)a亿元
B．10×(1.15－1)a亿元
C．11×(1.14－1)a亿元
D．10×(1.14－1)a亿元
4．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )
A．1
033
B．1
034
C．2
057
D．2
058
5．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
an＝________.
6．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，a＝6Sn＋9n＋1，n∈N
，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a2.则bn＝________.
7．已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.
8．已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2,3，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
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