人教版数学八年级上册13.3.2等边三角形课件（共76张PPT）

(共76张PPT)
等边三角形
知识回顾
三线合一
等角对等边
图形
判定
性质
等边对等角
知识回顾
满足什么条件的三角形是等边三角形？
三边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形也叫
正三角形
探究
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？?
从边的角度：
从角的角度：
从对称的角度：
两腰相等
等边对等角
三线合一
将等腰三角形的性质用于等边三角形，
你能得到什么结论？?
猜想
结合等腰三角形的性质，
你能填出等边三角形对应的结论吗？
图形
轴对称图形
边
角
两边相等
两底角相等
底边上的
三线合一
三边相等
三角相等
都等于60°
三边的
三线合一
证明
等边三角形的三个内角都相等，
并且每一个角都等于60°
已知：△ABC
是等边三角形．求证：∠A
=∠B
=∠C=60°．
证明：∵　△ABC
是等边三角形，
∴　BC
=AC，BC
=AB．∴　∠A
=∠B，∠A
=∠C
．∴　∠A
=∠B
=∠C
．
∵　∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴　∠A
=60°．
∴　∠A
=∠B
=∠C
=60°．
结论
等边三角形的性质1
等边三角形的三个内角都相等，
并且每一个角都等于60°
怎么写过程呢？
∵△ABC
是等边三角形，
∴∠A
=∠B
=∠C
=60°．
猜想
等边三角形是轴对称图形吗？
如果是，指出它的对称轴．
等边三角形是轴对称图形
等边三角形有三条对称轴
每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC
∵BA=BC，EA=EC
∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC
∵CA=CB，AF=BF
∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
结论
等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．
简而言之，等边三角形
每一边上的三线都合一
归纳
等边三角形有都有哪些性质呢？
三角相等
都等于60°
三边上都有三线合一
边
角
对称性
三边相等
练习
如图，等边三角形ABC中，BD
是
AC
边上的中线，BD=BE，则∠EDA的度数是________．
答案：15°．　
练习
如图，△ABC
是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC
于C．求证：△DAC
是等腰三角形．
提示：证明∠DAC
=∠DCA．　
练习
如图，已知，△ABC
是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E．使CE=CD，求DE长．
提示：证明BD=DE．
思考
你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？
可以利用定义，证明它的三边相等
除此之外，还有没有其他办法呢？
证明它三角相等行不行呢？
猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC
中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC
是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B=∠C，
∴BC
=AC
=AB（等角对等边），
∴△ABC
是等边三角形．
思考
三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形
除此之外还有没有其他判定方法呢？
我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，
等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？
有一个角是60°？
猜想
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
这个60°角的位置有哪几种情况呢？
60°角是等腰三角形的顶角
60°角是等腰三角形的底角
证明
先证60°角是等腰三角形的顶角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．
求证：△ABC
是等边三角形．
证明：∵∠A=60°，
∴∠B+∠C
=120°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠C
=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC
是等边三角形．
证明
再证60°角是等腰三角形的底角的情况
已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．
求证：△ABC
是等边三角形．
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=60°
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC
是等边三角形．
归纳
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
方法二
方法三
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
三角相等的三角形是等边三角形
三边相等的三角形是等边三角形
方法一
例题
如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分别交AB，AC
于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形．
证明：
∵△ABC
是等边三角形，
∴∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴∠A=∠ADE
=∠AED．
∴△ADE
是等边三角形．
想一想，还有其他证法吗？
练习
如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分别交AB，AC
的延长线于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形．
证明：
∵△ABC
是等边三角形，
∴∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴∠A=∠ADE
=∠AED．
∴△ADE
是等边三角形．
练习
如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分别交AB，AC
的方向延长线于点D，E．求证：△ADE
是等边三角形．
证明：
∵△ABC
是等边三角形，
∴∠A
=∠B
=∠C
=60°．
∵DE∥BC，
∴∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED．
∴∠A=∠ADE
=∠AED．
∴△ADE
是等边三角形．
练习
已知：
D，E
分别是等边△ABC
中AB，AC
边上的点，且BD=CE．求证：△ABC
是等边三角形
.
提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
练习
已知△ABC
中，∠A
=60°,（
??????
?）
请你在括号内补充一个条件，使△ABC
能成为等边三角形．
答案：∠B=60°或∠C
=60°
或AB=BC
或AC
=BC．
练习
已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC
的周长为_______．
答案：9cm．
练习
△ABC
是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，则BC
=_______．
答案：5cm．
练习
如图，D、E、F分别是等边三角形ABC
三边上三点，且AD=BE=CF．试问：△DEF
是什么三角形？
提示：证明△ADF
≌△BED
≌△CFE．
练习
１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
练习
2．如图，等边三角形△ABC
中，AD是BC
边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？
探究
将两个含有30°的三角尺摆放在一起
你能借助这个图形，找到Rt△ABC?的直角BC?与斜边AB?之间的数量关系吗?
你能用学过的方法证明吗?
证明
如图，已知△ABC
≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC
=∠DAC
=30°．求证：
证明：∵△ABC≌△ADC，
∴AB＝AD，
BC=CD，
又∵∠BAC=∠DAC=30°
∴∠BAD=
60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD=AB，
∴BC＝DC＝
还有别的证法吗？
证明
如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC
=30°．
求证：
证明：在BA上截取BD=BC，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°
∴△ABD是等边三角形，
∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，
∴∠DCA＝30°，
∴∠DCA=∠A，
∴AD=DC，
∴AD=BD=BC．
结论
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
这个定理该怎么写过程呢？
∵在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A=30°，
∴
例题
下图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC、
DE?垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC
、
DE?要多长?
答案：3.7m，1.85m．
练习
在Rt△ABC
中，∠C
=90°
，∠B=2∠A
，∠B
和∠A各是多少度，边AB
和BC
之间有什么关系？
答案：60°，30°；AB=2BC．
练习
如图，在△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°，AB
=10，则BC
的长为________．
答案：5．
练习
如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=______
.?
答案：1．
练习
如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．
答案：8．
练习
如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．
答案：4cm，2cm．
练习
如图，在△ABC中，∠C
=90°，∠B=15°，DE
是AB
的中垂线，BE=5，则AE=______，AC
=_____．
答案：5，2.5．
练习
如图：已知
在△ABC
中，∠A=30°，
∠C
=90°，BD
平分∠ABC．求证：AD=2DC．
提示：证明∠DAC=30°．
等边共顶点
已知：如图，B，O，C
三点在一条直线上，△AOB
和△COD都是等边三角形，AC，BD
交于点
E
.
求证：（1）AC
=BD；（2）∠AEB=60°．
提示：证明△AOC
≌△BOD．
等边共顶点
如图，△ABC
和△DEC
都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC
于F、AE
交CD
于H，连接FH．
（1）求证：BD＝AE；
提示：证明△BCD
≌△ACE．
总结：等边共顶点就会有边角边全等．
等边共顶点
如图，△ABC
和△DEC
都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC
于F、AE交CD
于H，连接FH．
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．
提示：证明△BCF
≌△ACH．
等边内的点到三边的距离之和
如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高．
提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．
含30°直角三角形的剖分
要把一块三角形的土地均匀分给甲
、
乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．
构造含30°的直角三角形
如图，在△ABC
中，AB=AC，∠A=120°，AB
的垂直平分线MN交BC
于M，交AB
于N．求证：CM=2BM．
提示：连接AM．
构造含30°的直角三角形
如图，在△ABC
中，AB＝AC，∠A＝120°，EF
垂直平分AC
且交BC
于F．求证：BF＝2CF．
提示：连接AF．
构造含30°的直角三角形
如图在△
ABC
中，
AB=AC
=2a，∠ABC
=∠ACB=15°，求△ABC
的面积．
提示：作出AB边上的高．
构造含30°的直角三角形
腰长为
2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______．
提示：作出底边上的高．
答案：1．
等边与全等综合
如图，△ABC
为等边三角形，D，E
两点分别在
BC，AC
边上，AE=AD，AD，BE
相交点于
P，BQ⊥AD
于点
Q，若PQ=3，PE=1，求
AD
的长．
提示1：证明△ACD
≌△BAE．
提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．
等边与全等综合
已知：如图，在等边△ABC
中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE
交于点P，作BQ⊥AD
于Q，
求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．
提示1：证明△ABD
≌△BCE．
提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．
等边与全等综合
如图，在等边△ABC
中，AC=9，点
O
在
AB
上，且
BO=3，点
P
是
BC
上一动点，连结
OP，将线段
OP
绕点
O
逆时针旋转
60°
得到线段
OD．要使点
D
恰好落在
AC
上，则
BP
的长是_____．
提示：先画出示意图，然后证明△BOP
≌△ADO．
答案：6．
直角边是斜边的一半
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=
?
?
?
AB．
求证：∠A=30°．
提示：延长BC
至D，使得CD=BC，连接AD．
总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．
与代数综合的问题
若三边长
a，b，c
满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为____________．
答案：等腰三角形．
与代数综合的问题
若三边长
a，b，c
满足（a-b）
?+（b-c）
?+（c-a）
?=0，则三角形的形状为____________．
答案：等边三角形．
2
2
2
总结
这节课我们学到了什么？
等边三角形的性质
三角相等
都等于60°
三边上都有三线合一
三边相等
对称性
边
角
总结
这节课我们还学到了什么？
等边三角形的判定
方法一
方法二
方法三
三角相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
三边相等的三角形是等边三角形
总结
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
这节课我们还学到了什么？
复习巩固
1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？
?
?（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？
复习巩固
2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC
.
求证AB=AD
.
复习巩固
3.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB
的度数
.
算一算∠AMB
等于多少度
.?
复习巩固
4.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°
.
∠B，∠C，∠BAD，∠CAD
各是多少度？
复习巩固
5.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE
交AB
于点E
.
求证：△CEB是等腰三角形
.
复习巩固
6.如图，点D，E在△ABC
的边BC上，AB=AC，AD=AE
.
求证BD=CE
.?
复习巩固
7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB
的垂直平分线MN
交AC
于点D
.
求∠DBC
的度数
.?
综合运用
8.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
.?
综合运用
9.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点
.
同学们由此确信房梁是水平的
.
他们的判断对吗？为什么？
综合运用
10.如图，△ABC
中，BO
平分∠ABC，CO
平分∠ACB，MN
经过点O，与AB，AC
相交于点M，N，且MN∥BC
.
求证：△AMN
的周长等于AB+AC
.?
综合运用
11.上午8时，一条船从海岛A出发，以15
n
mile/h（海里/时，1
n
mile
=1
852
m）的速度向正北航行，10时到达海岛B
处
.
从A，B望灯塔C，测得∠NAC
=42°，∠NBC=84°.
求从海岛B
到灯塔C
的距离
.?
综合运用
12.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形
.
求证BE=DC
.?
综合运用
11.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论
.?
拓广探索
14.如图，P，Q是△ABC
的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC
的度数
.?
拓广探索
15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来
.?