(共89张PPT)
正弦定理（第二课时）
高一年级
数学
问题1
请回顾、梳理正弦定理第一课时的内容．
解三角形
解直角三角形
三角形面积
解三角形
正弦定理
锐角三角函数
三角形面积
解三角形
正弦定理
一次方程
三角方程
锐角三角函数
三角形面积
解三角形
正弦定理
一次方程
三角方程
SSA
?
A
AAS(ASA)?S
锐角三角函数
三角形面积
解三角形
正弦定理
一次方程
三角方程
SSA
?
A
AAS(ASA)?S
锐角三角函数
三角形面积
特殊与一般
方程的思想
解三角形
正弦定理
一次方程
三角方程
SSA
?
A
AAS(ASA)?S
锐角三角函数
三角形面积
方程解唯一
三角形确定
特殊与一般
方程的思想
解三角形
正弦定理
一次方程
三角方程
SSA
?
A
AAS(ASA)?S
方程解唯一
解可能不唯一
锐角三角函数
三角形面积
三角形确定
可能不唯一
特殊与一般
方程的思想
问题2
已知三角形的两边及其一边对角时，
如何判断三角形解的存在性？
例1
判断满足条件
A
?
30
，a
?1，c
?
4
的?
ABC
是否存在，并说明理由．
阅
读
分
析
画图标注
运算条件
运算结果
运算思路
运算法则
存在性问题
SSA
阅
读
分
析
画图标注
运算条件
运算结果
运算思路
运算法则
正弦定理
内角和定理
c
a
A
B
存在性问题
SSA
SSA?A
AA?A
AAS?S
阅
读
分
析
画图标注
运算条件
运算结果
运算思路
运算法则
正弦定理
内角和定理
c
a
A
B
例1
判断满足条件
A
?
30
，a
?1，c
?
4
的?
ABC
是否存在，并说明理由．
解：假设满足条件的?
ABC存
在．
?
a
c
sin
A
sin
C
得
解：假设满足条件的?
ABC存在．
由
sin
C
?
c
sin
A
?
4sin
30
?
2
a
例1
判断满足条件
A
?
30
，a
?1，c
?
4
的?
ABC
是否存在，并说明理由．
?
a
c
sin
A
sin
C
得
解：假设满足条件的?
ABC存在．
由
sin
C
?
c
sin
A
?
4sin
30
?
2
a
又因为，sin
C
≤1，上式不可能成立，
即方程无解，所以不存在这样的三角形．
例1
判断满足条件
A
?
30
，a
?1，c
?
4
的?
ABC
是否存在，并说明理由．
?
a
c
sin
A
sin
C
得
解：假设满足条件的?
ABC存在．
由
sin
C
?
c
sin
A
?
4sin
30
?
2
a
又因为，sin
C
≤1，上式不可能成立，
即方程无解，所以不存在这样的三角形．
例1
判断满足条件
A
?
30
，a
?1，c
?
4
的?
ABC
是否存在，并说明理由．
在SSA条件下，
三角方程无解
反思
例1中问题一般化为“已知边a，c，且A为锐角，
如何直观判断满足条件的?
ABC是否存在．”
代数：假设满足条件的?
ABC存在，由正弦定
理，
?
a
c
sin
A
sin
C
a
，即
sin
C
?
c
sin
A
．
反思
例1中问题一般化为“已知边a，c，且A为锐角，
如何直观判断满足条件的?
ABC是否存在．”
?
a
c
sin
A
sin
C
a
，即
sin
C
?
c
sin
A
．
所以，当
c
sin
A
?
a
时，方程无解，?
ABC不存
在；
反思
例1中问题一般化为“已知边a，c，且A为锐角，
如何直观判断满足条件的?
ABC是否存在．”
代数：假设满足条件的?
ABC存在，由正弦定理，
?
a
c
sin
A
sin
C
a
，即
sin
C
?
c
sin
A
．
所以，当
c
sin
A
?
a
时，方程无解，?
ABC不存
在；当c
sin
A≤
a时，方程有解，
反思
例1中问题一般化为“已知边a，c，且A为锐角，
如何直观判断满足条件的?
ABC是否存在．”
代数：假设满足条件的?
ABC存在，由正弦定理，
?
a
c
sin
A
sin
C
a
，即
sin
C
?
c
sin
A
．
所以，当
c
sin
A
?
a
时，方程无解，?
ABC不存
在；当c
sin
A≤
a时，方程有解，
请思考，满足条件的?
ABC是否存在？
反思
例1中问题一般化为“已知边a，c，且A为锐角，
如何直观判断满足条件的?
ABC是否存在．”
代数：假设满足条件的?
ABC存在，由正弦定理，
作出锐角A，以A为圆心，半径为c
作弧，
交角A的一边于点B
，则
AB
?
c
几何：
以B
为圆心，半径为a
作弧．
过B
作角A另一边的垂线，垂足为D
，
设
BD
?
h
，则
h
?
c
sin
A
B
D
a
c
A
h
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
B
D
当
a
?
h
时，圆弧与角A的一边无交点，
三角形不存在，无解．
c
a
A
h
A
B
B
c
a
a
c
A
h
h
D
a
?
h
无解
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
D
(C)
a
=
h
A
B
B
c
a
a
c
A
h
h
D
a
?
h
无解
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
D
(C)
a
=
h
一解
A
B
B
c
a
a
A
h
h
B
a
c
c
A
h
D
a
?
h
无解
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
C
D
C
h
?
a
?
c
两解
D
(C)
a
=
h
一解
A
B
B
c
a
a
A
h
h
B
a
c
c
A
h
B
C
a
c
A
h
D
a
?
h
无解
D
a
?
c
一解．
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
C
D
C
h
?
a
?
c
两解
D
(C)
a
=
h
一解
B
a
c
A
h
B
a
c
A
h
B
a
c
A
h
B
C
a
c
A
h
D
a
?
h
无解
D
a
?
c
一解．
分析：A为直角或钝角，请自主作图讨论．
几何：A
为锐角，BD
?
h
?
c
sin
A
C
D
C
h
?
a
?
c
两解
D
(C)
a
=
h
一解
问题3
利用正弦定理判定三角形的形状．
求证：
?
ABC是直角三角
形．
例2
在?
ABC中，已知
sin2
A
?sin2
B
?
sin2
C
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
证明条件
?
ABC
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
三角等式
sin2
45
?
sin2
45
?
sin2
90
sin2
30
?
sin2
60
?
sin2
90
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
sin2
45
?
sin2
45
?
sin2
90
sin2
30
?
sin2
60
?
sin2
90
归纳直角
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
sin2
45
sin2
?
sin2
45
?
sin2
(90
?
sin2
90
??
)
?
sin2
90
归纳直角
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
归纳直角
sin2
45
sin2
?
sin2
45
?
sin2
(90
?
sin2
90
??
)
?
sin2
90
基本定理
正弦定理
勾股逆定理
……
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
基本定理
正弦定理
勾股逆定理
……
通过三角恒等变换，求出C的三角函数值
思
路
分
析
利用正弦定理由三角等式，证明
a2
?
b2
?
c2
证明条件
?
ABC
三角等式
证明结论
形状判定
阅
读
分
析
作图标注
?
ABC
基本定理
正弦定理
勾股逆定理
……
通过三角恒等变换，求出C的三角函数值
思
路
分
析
利用正弦定理由三角等式，证明
a2
?
b2
?
c2
证明方向：利用正弦定理化三角等式为边的等式．
分析：在?
ABC
中，
sin
A
?
a
sin
C
，
sin
A
?
a
．
c
sin
C
c
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
sin
A
?
a
sin
C
，
sin
A
?
a
．
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
由已知
分析：在?
ABC中
，由
得
c
sin2
A
?
sin2
B
sin
C
c
?
sin2
C
sin
C
?
0
sin
A
?
a
sin
C
，
sin
A
?
a
．
(sin
A)2
sin
C
sin
C
?
(sin
B
)2
?
1
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
整理得
由已知
分析：在?
ABC中
，由
得
c
sin2
A
?
sin2
B
sin
C
c
?
sin2
C
sin
C
?
0
sin
A
?
a
，
sin
B
?
b
sin
C
c
sin
C
c
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
证明：在?
ABC中
，由
得
sin
A
?
a
，
sin
B
?
b
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
c
sin
C
c
sin2
A
?
sin2
B
?
sin2
C
由已知
证明：在?
ABC中
，由
得
sin
C
?
0
sin
C
c
sin
A
?
a
，
sin
B
?
b
2
2
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
c
sin2
A
sin2
B
?
sin2
C
整理得
(
由已知
证明：在?
ABC中
，由
得
sin
C
?
0
2
2
)
?
(
)
?
1，即
(
b
a
c
c
)
?
(
)
?
1
sin
C
c
sin
A
?
a
，
sin
B
?
b
2
2
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
sin
C
c
sin2
A
sin2
B
?
sin2
C
由已知
证明：在?
ABC中
，由
得
sin
C
?
0
即
所以?
ABC是直角三角
形．
2
2
整理得
(
)
?
(
)
?
1，即
(
b
a
c
c
)
?
(
)
?
1
a2
?
b2
?
c2
c
sin
A
?
a
sin
C
，
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
sin
A
?
a
sin
C
，sin
B
?
b
sin
C
，sin
C
?
c
sin
C
c
c
c
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
整理得
(
a
sin
C
)2
?
(b
sin
C
)2
?
(c
sin
C
)2
c
c
c
sin
A
?
a
sin
C
，sin
B
?
b
sin
C
，sin
C
?
c
sin
C
由已知
sin2
A
c
c
c
sin2
B
?
sin2
C
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
整理得
(
a
sin
C
)2
?
(b
sin
C
)2
?
(c
sin
C
)2
a2
c
c
c
又因为
sin
C
?
0
化简得
?
b2
?
c2
sin
A
?
a
sin
C
，sin
B
?
b
sin
C
，sin
C
?
c
sin
C
由已知
sin2
A
c
c
c
sin2
B
?
sin2
C
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
分析：在?
ABC中
，由
得
整理得
(
a
sin
C
)2
?
(b
sin
C
)2
?
(c
sin
C
)2
a2
c
c
c
又因为
sin
C
?
0
化简得
?
b2
?
c2
sin
A
?
a
sin
C
，sin
B
?
b
sin
C
，sin
C
?
c
sin
C
由已知
sin2
A
c
c
c
sin2
B
?
sin2
C
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
k
证明：在?
ABC中
，设
则
k
?
0，
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
?
?
k
证明：在?
ABC中
，设
则
k
?
0，且sin
A
?
a
，sin
B
?
b
，sin
C
?
c
k
k
k
又因为
sin2
A
?sin2
B
?
sin2
C
2
?
c
a2
?
b2
k
2
k
2
k
2
代入得
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
?
?
k
证明：在?
ABC中
，设
则
k
?
0，且sin
A
?
a
，sin
B
?
b
，sin
C
?
c
k
k
k
又因为
sin2
A
?sin2
B
?
sin2
C
?
?
a2
b2
c2
k
2
k
2
k
2
代入得
即
所以?
ABC是直角三角
形．
2
a2
?
b2
?
c
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
?
?
k
证明：在?
ABC中
，设
则
k
?
0，且sin
A
?
a
，sin
B
?
b
，sin
C
?
c
k
k
k
又因为
sin2
A
?sin2
B
?
sin2
C
?
?
a2
b2
c2
k
2
k
2
k
2
代入得
即
所以?
ABC是直角三角
形．
2
a2
?
b2
?
c
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
?
?
k
证明：在?
ABC中
，设
则
k
?
0，且sin
A
?
a
，sin
B
?
b
，sin
C
?
c
k
k
k
引入参数，化角为边
sin
A
?
a
，sin
B
?
b
，sin
C
?
c
k
k
k
a
?
k
sin
A，b
?
k
sin
B，c
?
k
sin
C
反思(1)
正弦定理的应用：引入参数，边角互换．
分析：
关注：等式的结构特征．
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
?
?
a
b
c
?
k
sin
A
sin
B
sin
C
分类：
C
A
B
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
sin
90
?
c
?
c
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
A
B
A
B
O
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
sin
90
?
c
?
c
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
A
B
O
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
2R
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
O
B
A
B
A
O
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
2R
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
C
A
O
B
A
D
B
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
2R
b
O
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
C
A
O
O
B
A
D
A
B
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
2R
b
O
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
C
C
B
A
D
O
O
B
A
D
A
B
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
2R
b
b
O
反思(2)
正弦定理中，参数的几何直观．
分类：
C
C
C
B
问题4
利用正弦定理研究三角形中的几何证明．
例3
在?
ABC中，已知?
BAC
的角平分线
AD与
BC
相交
BD
AB
于点D，求证：
?
．
DC
AC
A
B
C
D
证明条件
三角形
角平分线
证明结论
线段成比例
阅
读
分
析
读图标注
A
B
C
D
基本定理
正弦定理
…
…
证明条件
三角形
角平分线
证明结论
线段成比例
阅
读
分
析
读图标注
A
B
C
D
基本定理
正弦定理
…
…
证明条件
三角形
角平分线
证明结论
线段成比例
过D作DE//AB，构造相似三角形
思
路
分
析
A
B
C
E
D
阅
读
分
析
读图标注
A
B
C
D
证明方向：利用正弦定理表示两条线段的比值．
选择三角形，边的比例式转化为角正弦之比
基本定理
正弦定理
…
…
证明条件
三角形
角平分线
证明结论
线段成比例
过D作DE//AB，构造相似三角形
思
路
分
析
A
B
C
E
D
阅
读
分
析
读图标注
A
B
C
D
证明：
A
B
C
D
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
AB
sin?
在?
ABD中，
BD
?
sin
?
，
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
在?
ABD中，
BD
?
sin
?
，
在?
ADC中，
，
sin?
?
sin
?
AB
sin?
DC
?
sin
?
AC
sin(π
??
)
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
在?
ABD中，
BD
?
sin
?
，
在?
ADC中，
，
sin?
?
sin
?
AB
sin?
DC
?
sin
?
AC
sin(π
??
)
由传递性
BD
?
DC，即
AB
AC
BD
?
AB
．
DC
AC
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
在?
ABD中，
BD
?
sin
?
，
在?
ADC中，
，
sin?
?
sin
?
AB
sin?
DC
?
sin
?
AC
sin(π
??
)
由传递性
BD
?
DC，即
AB
AC
BD
?
AB
．
DC
AC
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
关注正弦定理的变形
在?
ABD中，
BD
?
sin
?
，
在?
ADC中，
，
sin?
?
sin
?
AB
sin?
DC
?
sin
?
AC
sin(π
??
)
由传递性
BD
?
DC，即
AB
AC
BD
?
AB
．
DC
AC
证明：设
则由题意
?ADB
?
?
?BAD
?
?
得
?ADC
?
π
??，?CAD
?
?．
A
?
?
?
???
B
C
D
关注正弦定理的变形
基于正弦定理的三角形的选择
问题5
我们共同回顾、梳理本节课的主要知识结构．
利用正弦定理解决三角形的相关问题
利用正弦定理解决三角形的相关问题
解三角形
证明问题
利用正弦定理解决三角形的相关问题
解三角形
证明问题
sin
C
?
c
sin
A
a
a
?
c
sin
A
sin
C
解三角形
利用正弦定理解决三角形的相关问题
解三角形
证明问题
存在性问题
sin
C
?
c
sin
A
a
a
?
c
sin
A
sin
C
解三角形
利用正弦定理解决三角形的相关问题
解三角形
证明问题
存在性问题
c
sin
A
sin
C
?
a
c
sin
A
a
?
sin
C
解三角形
形状判定
a
?
k
sin
A
sin
A
?
a
k
利用正弦定理解决三角形的相关问题
解三角形
证明问题
存在性问题
c
sin
A
sin
C
?
a
c
sin
A
a
?
sin
C
解三角形
形状判定
a
?
k
sin
A
sin
A
?
a
k
线段成比例
a
sin
A
?
c
sin
C
在?
ABC中，已知
a
cos
A
?
b
cos
B
，用正弦定理
判断这个三角形的形状．
如果在?
ABC中，角A的外角平分线AD与BC的延
长线相交于点D，求证：BD
?
AB
．
DC
AC
正弦定理（第二课时）作业
1.
在?
ABC中，a
?
1，b
?
3，A
?
C
?
2B
，求sinC．
谢谢观看．(共88张PPT)
正弦定理（第一课时）
高一年级
数学
发现问题，提出问题
问题1
在实际生活中，土地的测量是重要的生产实践活动，
包括距离、面积的测量与计算．因此，图形也成为数学
的研究对象．在现代生活中，距离的测量能借助红外测
距仪、激光测距仪等工具直接完成．请思考，在这些工
具出现以前，人们是怎样间接获得两点间距离的呢？
实际问题
若想知道河对岸的一点A与岸
边一点B之间的距离，而且已经测
量出了BC的长，也想办法得到了
?ABC与?ACB的大小，你能借助这
3个量，求出AB的长吗？
在?
ABC中，已知BC=m，
?ABC=?，?ACB
=?
，求AB．
?
?
m
数学问题
分析问题，构建模型
1.解三角形
我们把三角形的3个角与3条边都称
为三角形的元素．
已知三角形的若干元素求其他元素
一般称为解三角形．
A
B
a
b
C
c
A
B
b
C
h
a
(1)
面积
(2)
(3)
2
1.解三角形
在?
ABC中，
S
?
1
ah；
A
?
B
?
C
?
180
；
A
>
B
的充要条件是
a
>
b
(1)面积公式：
解直角三角形
在?
ABC中，
C为直角，
S
?
1
ab；
(2)锐角三角函数：
c
c
2
sin
A
?
a
，sin
B
?
b；
(3)勾股（逆）定理：C
?
90
?
a2
?
b2
?
c2．
问题2
回顾上面已知的，或已研究的内容，如何进一步
研究一般三角形元素间的等量关系呢？
特殊化
解直角三角形
解三角形
特殊化
(1)面积公式：
在?
ABC中，
C为直角，
S
?
1
ab；
(2)锐角三角函数：
c
c
2
sin
A
?
a
，sin
B
?
b；
(3)勾股（逆）定理：C
?
90
?
a2
?
b2
?
c2．
解直角三角形
解三角形
特殊化
一般化
探究1.用?
ABC的元素，表示?
ABC
的面积．
探究1.用?
ABC的元素，表示?
ABC的面积．
需要几个元素才能表示三角形面积？
需要哪些元素才能表示、易于表示三角形面积？
探究1.已知a，b与C
，求?
ABC的面
积．
探究1.已知a，b与C
，求?
ABC的面
积．
当C
为锐角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
探究1.已知a，b与C
，求?
ABC的面
积．
a
D
D
C
B
C
a
a
B
当C
为锐角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
A
A
A
b
b
b
B（D）
C
a
D
D
C
B
C
a
a
B
探究1.已知a，b与C
，求?
ABC的面积．
当C
为锐角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
A
A
A
b
b
b
B（D）
C
在?
ADC中，sin
C
?
AD
b
即
AD
?
bsin
C
a
D
D
在?
ADC中，sin
C
?
AD
即
AD
?
bsin
C
C
B
C
a
a
B
探究1.已知a，b与C
，求?
ABC的面积．
当C
为锐角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
A
A
A
b
b
b
B（D）
C
1
2
即?
ABC的面积
S
?
b
ab
sin
C
当C
为钝角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
A
B
D
C
b
a
当C
为钝角时，已知?
ABC，作BC边上的高AD
．
在?
ADC中，
AD
?
bsin
?ACD
?
bsin(π
?
?ACB)
?
bsin
?ACB
2
即?
ABC的面积
S
?
1
ab
sin
C
A
B
D
C
b
a
A
B
a
b
C
1
2
S
?
ab
当C
为直角时，
已知?
ABC的
面积
2
即?
ABC的面积
S
?
1
ab
sin
C
?
1
ab
sin
π
2
2
分析问题，构建模型
2.三角形的面积公式
记?
ABC的面积为S，
则
S
?
1
ab
sin
C，
2
A
B
a
b
C
c
分析问题，构建模型
2.三角形的面积公式
记?
ABC的面积为S，
则
S
?
1
ab
sin
C，
2
S
?
1
ac
sin
B，
2
S
?
1
bc
sin
A
2
A
B
a
b
C
c
2
2
2
分析问题，构建模型
2.三角形的面积公式
记?
ABC的面积为S，则
S
?
1
ab
sin
C
?
1
ac
sin
B
?
1
bc
sin
A
A
B
a
b
C
c
三角形面积为两边及夹角正弦乘积的一半．
分析问题，构建模型
2
2
2
2.三角形的面积公式
记?
ABC的面积为S，则
S
?
1
ab
sin
C
?
1
ac
sin
B
?
1
bc
sin
A
A
B
a
b
C
c
A
B
a
b
C
c
问题3
回顾?
ABC面积公式的推导
过程及结论，试归纳?
ABC的
元素之间的
一些等量关系．
S
?
1
ab
?
1
ab
sin
90
2
2
探究2.
?
ABC的元素间的等量关
系．
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
S
?
1
ab
sin
C
2
思路一：
特殊
一般
A
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
类比：正弦函数
等量关系
A
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
sin
A
?
a
c
sin
B
?
b
c
?
a
b
c
?
sin
A
sin
B
类比：正弦函数
等量关系
A
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
sin
A
?
a
c
sin
B
?
b
c
?
a
b
c
?
sin
A
sin
B
sin
90
?
c
类比：正弦函数
等量关系
A
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
sin
90
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
类比：正弦函数
等量关系
A
A
b
B
a
C
c
b
c
a
C
B
sin
90
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
类比：正弦函数
等量关系
A
思路二：?
ABC中，由三角形面
积得
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
2
2
化简得
思路二：?
ABC中，由三角形面
积得
2
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
2
bsin
C
?
c
sin
B
化简得
思路二：?
ABC中，由三角形面
积得
2
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
A
B
b
C
D
c
2
bsin
C
?
c
sin
B
思路二：?
ABC中，由三角形面
积得
化简得
同理可得
2
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
2
bsin
C
?
c
sin
B
a
sin
B
?
bsin
A
a
sin
C
?
c
sin
A
化简得
思路二：?
ABC中，由三角形面
积得
同理可得
2
S
?
1
ab
sin
C?
1
ac
sin
B
b
???c
?
sin
B
sin
C
a
b
sin
B
所以
a
b
c
sin
A
?
?
sin
A
sin
B
sin
C
2
bsin
C
?
c
sin
B
即
a
sin
B
?
bsin
A
即
思路三：记?
ABC的面积为S，
则
S
?
1
ab
sin
C
?
1
ac
sin
B
?
1
bc
sin
A
2
2
2
2
2
2
S
?
1
ab
sin
C
?
1
ac
sin
B
?
1
bc
sin
A
思路三：记?
ABC的面积为S，
则
?
?
2S
?
sin
C
abc
c
b
a
sin
B
sin
A．
由此，
sin
A
?
0，sin
B
?
0，sin
C
?
0，
又因，
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
因此可得，
?
?
.
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
在一个三角形中，
各边的长和它所对角的正弦的比相等．
分析问题，构建模型
3.正弦定理
一般地，在?
ABC中
，有
A
B
a
b
C
c
A
B
a
b
C
c
解决问题，定理应用
问题4
如何利用正弦定理，解决“已知三
角形的若干元素求其他元素”问题．
两角及一角对边
两边及一边对角
三边及三边对角
方程：知三求一
两边及两边对角
?
?
a
b
c
sin
A
sin
B
sin
C
?
a
b
sin
A
sin
B
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
解决问题，定理应用
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
阅
读
分
析
作简图标注
a
c
如下图
A
C
B
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
ASA
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
a
c
如下图
A
C
B
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
c
ASA
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
运算结果
a
c
如下图
A
C
B
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
c
ASA
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
运算结果
a
c
如下图
A
C
B
A
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
c
内角和定理
正弦定理
ASA
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
运算结果
运算法则
a
c
如下图
A
C
B
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．解：在?
ABC中，A
?180
?
B
?
C
?180
?
75
?
60
?
45
解：在?
ABC中，A
?180
?
B
?
C
?180
?
75
?
60
?
45
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
?
a
c
sin
A
sin
C
由正弦定理，
，
解：在?
ABC中，A
?180
?
B
?
C
?180
?
75
?
60
?
45
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
?
a
c
sin
A
sin
C
由正弦定理，
，
?
5
6
sin
A
sin
45
所以，c
?
a
sin
C
?
10sin
60
?
a
c
sin
A
sin
C
?
5
6
sin
A
sin
45
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
由正弦定理，
，
所以，c
?
a
sin
C
?
10sin
60
解：在?
ABC中，A
?180
?
B
?
C
?180
?
75
?
60
?
45
已知两角及一角对边求另一角对边，
转化为“解关于对边的一次方程”．
?
a
c
sin
A
sin
C
?
5
6
sin
A
sin
45
例1
在?
ABC中，
B
?
75
，C
?
60
，a
?
10
，求
c．
由正弦定理，
，
所以，c
?
a
sin
C
?
10sin
60
解：在?
ABC中，A
?180
?
B
?
C
?180
?
75
?
60
?
45
满足条件的边只有一解，
与三角形全等判定定理AAS相符合．
?
a
c
sin
A
sin
C
c
?
a
sin
C
sin
A
解：在?
ABC
中，
由
得
A
?
180
??
?
?
实际问题
在?
ABC中，BC=m，?ABC=?，?ACB
=?
，求
AB．
A
B
C
c
?
?
a=m
得
c
???msin
?
???msin
?
sin(180
??
?
?
)
sin(?
?
?
)
满足（ASA）条件的三角形只有一解．
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
解决问题，定理应用
阅
读
分
析
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
b
a
A
C
B
作简图标注
如下图
阅
读
分
析
SSA
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
b
a
A
C
B
作简图标注
运算条件
如下图
B，C，c
阅
读
分
析
SSA
3，A
?
30
，求解三角形．
运算结果
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
b
a
A
C
B
作简图标注
运算条件
如下图
B，C，c
阅
读
分
析
SSA
3，A
?
30
，求解三角形．
运算结果
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
b
a
A
C
B
作简图标注
运算条件
如下图
B
C
B，C，c
正弦定理
内角和定理
阅
读
分
析
SSA
3，A
?
30
，求解三角形．
运算结果
运算法则
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
b
a
A
C
B
作简图标注
运算条件
如下图
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
3，A
?
30
，求解三角形．
?
a
b
sin
A
sin
B
解：在△ABC
中，由正弦定理得
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
a
b
2
sin
A
sin
B
a
?
即
sin
B
?
b
sin
A
?
3
解：在△ABC
中，由正弦定理得
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
a
b
2
sin
A
sin
B
a
?
即
sin
B
?
b
sin
A
?
3
解：在△ABC
中，由正弦定理得
由于
0
?
B
?
180
所以
B
?
60
或
B
?
120
解：在△ABC
中，由正弦定理得
由于
0
?
B
?
180
所以
B
?
60
或
B
?
120
3，A
?
30
，求解三角形．
例2
在?
ABC中，a
?
2，b
?
2
a
b
3
sin
A
sin
B
a
2
?
即
sin
B
?
b
sin
A
?
已知两边及一边对角求另一边对角，
转化为“解关于对角的三角方程”．
?
30
?
60
?
90
a2
?
b2
?
4
当
B
?
120
时，C
?
180
?
A
?
B
?
30
所以?
ABC为等腰三角形，c
?
a
?
2
解：当
B
?
60
时,
C
?180
?
A
?
B
?180
所以?
ABC为直角三角形
，c
?
C
?180
?
A
?
B
?180
?
30
?
60
?
90
所以?
ABC为直角三角形，c
?
a2
?
b2
?
4
当
B
?
120
时，C
?
180
?
A
?
B
?
30
所以?
ABC为等腰三角形，c
?
a
?
2
满足条件的三角形有两个，
与（SSA）不能作为三角形全等判定定理一致．
解：当
B
?
60
时,
b
a
A
C
B
b
A
C
a
B
B
?
30
?
60
?
90
C
?180
?
A
?
B
?180
所以?
ABC为直角三角形
，c
?
a2
?
b2
?
4
当
B
?
120
时，C
?
180
?
A
?
B
?
30
所以?
ABC为等腰三角形，c
?
a
?
2
解：当
B
?
60
时,
注意直角三角形及等腰三角形性质的应用．
b
a
A
C
B
b
A
C
a
B
求三角形面积．
c
?
6
B
?
120
解决问题，定理应用
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
三角形面积
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
b
c
A
C
B
如下图
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
b
c
A
C
B
如下图
S
?
1
bc
sin
A
2
A
a
2
三角形面积
S
?
1
ac
sin
B
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
b
c
A
C
B
如下图
S
?
1
bc
sin
A
2
A
a
2
三角形面积
S
?
1
ac
sin
B
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
b
c
A
C
B
如下图
S
?
1
bc
sin
A
2
A
a
2
三角形面积
S
?
1
ac
sin
B
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
b
c
A
C
B
如下图
C
S
?
1
bc
sin
A
2
A
a
2
三角形面积
S
?
1
ac
sin
B
求三角形面积．
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
运算结果
三角形面积
运算法则
正弦定理
三角形面积
阅
读
分
析
作简图标注
运算条件
SSA
三角恒等变换
b
c
A
C
B
如下图
?
b
c
sin
B
sin
C
2
b
即
sin
C
?
c
sin
B
?
由于
0
?
C
?
180
所以
C
?
45
或
C
?
135
解：在△ABC
中，由正弦定理得
求三角形面积．
2
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
?
b
c
sin
B
sin
C
b
2
即
sin
C
?
c
sin
B
?
由于
0
?
C
?
180
所以
C
?
45
或
C
?
135
解：在△ABC
中，由正弦定理得
求三角形面积．
2
例3
在?
ABC中，b
?
3
6
c
?
6
B
?
120
已知两边及一边对角求另一边对角，
转化为“解关于对角的三角方程”．
又
?
B
?
C
?
15
解：当C
?
45
时，A
?
180
2
2
4
6
?
2
?
27
?
9
3
6
?
2
sin15
?
sin(60
?
45
)
?
所以，
S
?
1
bc
sin
A
?
1
?
3
6
?
6?
2
2
又
?
B
?
C
?
15
解：当C
?
45
时，A
?
180
2
2
2
2
4
6
?
2
?
27
?
9
3
6
?
2
sin15
?
sin(60
?
45
)
?
所以，
S
?
1
bc
sin
A
?
1
?
3
6
?
6?
当
C
?
135
时，A
?
180
所以，不合题意，应舍去．
?
B
?
C
?
?75
又
2
2
2
2
4
6
?
2
?
27
?
9
3
6
?
2
sin15
?
sin(60
?
45
)
?
所以，
S
?
1
bc
sin
A
?
1
?
3
6
?
6?
当
C
?
135
时，A
?
180
所以，不合题意，应舍去．
?
B
?
C
?
?75
满足条件的三角形只有一个，注意正弦定理与其他条件综合判定．
解：当C
?
45
时，A
?
180
?
B
?
C
?
15
问题5
请同学们回顾本节课所讲的内容．
一点不可达测量
发现问题
发现问题
一点不可达测量
提出问题
解三角形
发现问题
一点不可达测量
提出问题
解三角形
建立模型
正弦定理
解直角三角形
三角形面积公式
归纳推理
逻辑推理
发现问题
一点不可达测量
提出问题
解三角形
建立模型
正弦定理
一次方程
三角方程
解直角三角形
三角形面积公式
归纳推理
逻辑推理
发现问题
一点不可达测量
提出问题
解三角形
建立模型
正弦定理
一次方程
三角方程
解决问题
AAS(ASA)?S
SSA
?
S
解直角三角形
三角形面积公式
归纳推理
逻辑推理
发现问题
一点不可达测量
提出问题
解三角形
建立模型
正弦定理
一次方程
三角方程
解决问题
AAS(ASA)?S
SSA
?
S
内角和定理…
问题检验
解直角三角形
三角形面积公式
归纳推理
逻辑推理
1.
在?
ABC中，c
?
10
，C
?
45
，B
?
60
，通
过构
造直角三角形，求出b的值．
2.
在?
ABC中，A
?
45
，B
?
75
，b
?
8
，求a．
3.
在?
ABC中，a
?
3
，b
?
4
，A
?
60，求sinC．
正弦定理（第一课时作业）
谢谢观看．
