人教版数学八年级上册13.3.1等腰三角形的判定课件（共52张ppt)

(共52张PPT)
等腰三角形的判定
知识回顾
等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个底角相等
简称为“等边对等角”
知识回顾
等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
简称为“三线合一”
这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴
思考
如图，位于在海上A、B
两处的两艘救生船接到O
处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
换而言之，如果∠A=∠B，会有AO=BO
吗？
猜想与证明
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等．
你知道怎么证明吗？
先变成符号形式
已知：△ABC
中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
怎么证明边相等呢？
可以证三角形全等
没有全等怎么办呢？
可以构造
怎么构造呢？
可以作出顶角的平分线
猜想与证明
已知：△ABC
中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
证明：
作∠BAC
的平分线AD，
∴
∠
BAD=∠CAD．
在△BAD
和△CAD
中，
∠BAD=∠CAD，
∠B=∠C，
AD=AD
∴
△BAD
≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
还有其他证法吗？
也可以过点A作高
猜想与证明
已知：△ABC
中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
证明：
作AD⊥BC
于点D，
∴
∠
ADB=∠ADC
=90°．
在△BAD
和△CAD中，
∠B=∠C，
∠ADB=∠ADC，
AD=AD
∴
△BAD
≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
作角平分线和高都可以证明，作中线行吗？
猜想与证明
已知：△ABC
中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
证明：
取BC
中点D，连结AD，
∴
BD=CD．
在△BAD
和△CAD中，
AD=AD，
BD=CD，
∠B=∠C
这是边边角，
能判定全等吗？
不能
作中线不能证明这个结论
结论
等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等．
简称为“等角对等边”
注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形中的边角关系．
等腰三角形的判定
在证明中怎么写过程呢？
在△ABC中，
∵
∠B=∠C
（
已知）
∴
AC=AB
（等边对等角）
性质和判定的区别
等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？
性质
判定
等边
等角
等角
等边
例题
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：∠CAE是△ABC
的外角，AD平分∠CAE
AD∥BC．
求证：AB=AC．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵AD平分∠CAE
，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴
△ABC是等腰三角形．
证明：
练习
已知一个三角形的两个内角为50°和80°，则第三个角为_______，它是________三角形．
答案：50°，等腰．
练习
在△ABC
中，其两个内角如下，则能判定△ABC
为等腰三角形的是
(
　
)
C
A.∠A=40°，∠B=50°
B.∠A=40°，∠B=60°
C.∠A=40°，∠B=70°
D.∠A=40°，∠B=80°
练习
如图，∠A
=36°，AB=AC，BD平分∠
ABC，则图中一共有________个等腰三角形．
答案：3．
练习
如图，∠A
=36°，AB=AC，BD
平分∠
ABC，
CE平分∠
ACB
交BD
于点O，则图中一共有________个等腰三角形．
答案：8．
练习
如图，上午10
时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B
处，从A、B
望灯塔C，∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B
处到灯塔C
的距离．
提示：等角对等边．
提示：等角对等边．
练习
已知：如图，△ABC中，
∠
A=∠B=∠C．
求证：AB=AC=BC．
练习
如图△ABC
中，AB=AC，∠B=36°，D、E
分别是BC
边上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形有____个．
答案：6．
练习
已知：如图，△ABC
的
BC
边上有
D，E
两点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：△ABC
是等腰三角形
.
提示：先证明∠B=∠C．
已知：如图，AD
∥BC，BD
平分∠ABC．
求证：AB=AD．
提示：先把相等的边标在图中．
总结：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形
角平分线+平行→等腰三角形
如图，△ABC
中，∠ABC、∠ACB
的平分线交于点O，过点O作DE//BC，分别交AB、AC
于点D、E，求证：BD+EC=DE．
提示：角平分线+平行→等腰．
如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高，DE∥BC，交AB于点E．
判断△BDE是不是等腰三角形，并说明理由．
角平分线+平行→等腰三角形
提示：角平分线+平行→等腰．
角平分线+平行→等腰三角形
提示：角平分线+平行→等腰．
如图，△ABC
中，BI，CI
平分∠ABC，∠ACF，过点I
作ID∥BC
分别交AC，AB
于点E，D．若BD=9cm，CE=4cm，则DE
等于（?
?）
B
练习
1．如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形．
练习
2．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？
思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？
所有的对应边相等，
所有的对应角相等．
看到折叠，就可以把等量关系标在图中．
提示：平行+角平分线→等腰．
练习
3．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
练习
4．如图，AC
和BD
相交于点O，且AB∥DC，OA
=OB．求证：OC
=OD．
例题
已知等腰三角形底边长为a
，底边上的高的长为h
，求作这个等腰三角形．
作法：
（1）作线段AB
=a；
（2）作线段AB
的垂直平分线MN，与AB
相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC
=h；?
（4）连接AC，BC，则△ABC
就是所求作的等腰三角形.
如右图所示，△ABC
是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心．它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC
和一个底角∠C．同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC
重新画出来？大家试试看．
练习
方法一：用角的相等来画
方法二：用过一边中点作垂线的方法来画
角平分线+垂线
如图，已知△ABC
的面积为
12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD
于点
D，则△ADC
的面积是
______．
提示：延长BD．
总结：角平分线+垂线→等腰三角形．　
6
角平分线+垂线
提示：延长BE．
如图所示，在△ABC
中，AE
平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE
=2∠C．
求证：AC-AB=2BE．
角平分线+垂线
如图，已知等腰
Rt△ABC
中，AB
=
AC，∠BAC
=
90°，BF
平分∠ABC，CD
⊥
BD
交
BF的延长线于
D．求证：BF
=
2CD．
提示：延长CD．　
与等角对等边有关的证明
已知：如图，
AD是△BAC
的平分线，E
为
BC
延长线上一点，∠EAC
=∠B，EF⊥AD????
于点
F
.
求证：EF
平分∠AEB．
提示：先证明△ADE是等腰三角形．　
与等角对等边有关的证明
P是等腰三角形底边BC上的一点，过P
作PQ⊥BC
交AB
于Q，交CA的延长线于R．求证：△AQR是等腰三角形．
提示：先把等角在图中标出来．
与等角对等边有关的证明
P是等腰三角形底边BC所在直线上的一点，过P作PQ⊥BC交AB于Q，交CA的延长线于R，先补全图形，然后证明△AQR是等腰三角形．
提示：先把等角在图中标出来．
在△ABC
中，AD
平分∠BAC．BD
⊥
AD，垂足为
D，过
D
作DE∥AC，交
AB
于
E．
（1）求证：AE
=
DE；
（2）若
AB
=
8，求线段
DE
的长．
与等角对等边有关的证明
提示1：角平分线+平行→等腰三角形．
提示2：证明ED=EB．
与等角对等边有关的证明
已知：如图，四边形ABCD
中，AB=AD，∠B=∠D．
求证：BC=CD．
提示：连接BD．
等腰直角斜边中点模型
在△ABC
中，AB=AC，∠B=90°，点D、E
分别是AB、BC边上的动点，且BD与CE
相等，点M是AC
的中点，试探究在D、E
运动过程中，
△DEM
的形状是否发生变化，它是什么形状的三角形？
提示1：连接BM．
提示2：证明△BDM
≌△CEM．
等腰与全等综合
如图所示，在△ABC中，AB=AC，点
D，E，F
分别在
AB，BC，AC
边上，且BE=CF，BD=CE????．
（1）求证△DEF是等腰三角形
；
（2）当∠A=40°
时，求∠DEF的度数
．
提示：证△BED
≌△CFE．
答案：（2）70°．
等腰与全等综合
已知：如图，△ABC
中，AB＝AC，D点在AB上，E点在AC
的延长线上，且BD＝CE，连结DE，交BC
于F．
求证：DF=EF．
提示：过点D
做DP∥AC
．
总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造．
等腰与全等综合
已知：如图，△ABC
中，AB＝AC，D点在AB上，E
点在AC
的延长线上，且DF＝EF，连结DE，交BC
于F．
求证：BD=CE．
提示：过点D
做DP∥AC
．
总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造．
寻找满足等腰的点
如图，已知
Rt△ABC，∠C
=
90°，∠A
=
20°，在直线
BC
或
AC
上取一点
P，使得△PAB
是等腰三角形，则符合条件的
P
点有_______个．
答案：8．
寻找满足等腰的点
在正方形ABCD内找一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD
都是等腰三角形，这样的P点有几个？在正方形ABCD
外呢？
利用二倍角构造等腰
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．
（1）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果作
BD
平分∠ABC，则△DBC
是等腰三角形．
利用二倍角构造等腰
当一个三角形中出现一个角是另一个角的
2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．
（2）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线
CB
到
D，使BD＝BA，连结
AD，则△ADC
是等腰三角形．
利用二倍角构造等腰
当一个三角形中出现一个角是另一个角的
2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．
（3）如图中，若∠ABC＝2∠C，如果以
C
为角的顶点，CA
为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交
BA
的延长线于点D，则△DBC
是等腰三角形．
利用二倍角构造等腰
如图，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC．求证：∠A＝90°．
提示：作∠ACB
的平分线．
黄金三角形的剖分
如图，在△ABC中，AB=AC，
∠A=36°，你能把△ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)
黄金三角形的剖分
如图，在△ABC
中，AB=AC，
∠A=36°，你能把△ABC
分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)
剖分出等腰三角形
在△ABC
中，∠ABC
=
30°，∠BAC
=
70°．在△ABC
所在平面内画一条直线，将△ABC
分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条？
提示：按剖分线所过的顶点分类．
总结
这节课我们学到了什么？
如果一个三角形有两个角相等，
那么这两个角所对的边也相等．
简称为“等角对等边”
注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形中的边角关系．
总结
等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？
性质
判定
等边
等角
等角
等边