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等差数列的概念及通项公式
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：选C ∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1
B．－1
C．±1
D．±2
解析：选C 由已知得，解得d＝±1.
3．2
018是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1
006项
B．第1
007项
C．第1
008项
D．第1
009项
解析：选C ∵此等差数列的公差d＝2，∴an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2
018＝2n＋2，∴n＝1
008.
4．若一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 由等差中项公式，得∴a＝，b＝x，∴＝.故选C.
5．已知数列是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝( )
A．－
B.－
C.
D.
解析：选A 设等差数列的公差为d，则－＝3d＝－，d＝－，∴＝＋9d＝1－＝－，a10＝－.故选A.
6．lg(＋)与lg(－)的等差中项是________．
解析：lg(＋)与lg(－)的等差中项为：
＝＝＝0.
答案：0
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n
8．已知{an}为等差数列，已知a1＋a6＝12，a4＝7，则a9＝________.
设数列{an}的公差为d.
由已知得，解得
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
9．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N
，所以153是所给数列的第45项.
10．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
[解] 在等差数列{an}中，
∵
a2＋a3＋a4＝18，∴3a3＝18，a3＝6.
∴解得或
当时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)·(－5)＝－5n＋21.
当时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)·5＝5n－9.
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
D.
解析：选B ∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
∴
①－②，得(p－q)d＝q－p.
∵p≠q，∴d＝－1.
代入①，有a1＋(p－1)×(－1)＝q，∴a1＝p＋q－1.
∴ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)×(－1)＝0.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝.这样可求出＝＝.
3．已知数列{an}，对任意的n∈N
，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
解析：选A 由题意知an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5
B．a3a6
C．a3＋a6>a4＋a5
D．a3a6＝a4a5
解析：选B 由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(a1＋2d)(a1＋5d)＝a＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a＋7a1d＋12d2，显然a3a6－a4a5＝－2d2<0，故选B.
5．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
解析：由an－1＋an＋1
＝2an
(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：21
6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，
)都在直线x－y－＝0上，则an＝________.
解析：由题意得－＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝n，an＝3n2.
答案：3n2
7．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
证明：[法一 定义法]
∵bn＋1＝＝＝，
∴bn＋1－bn＝－＝＝，为常数(n∈N
)．
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
[法二 等差中项法]
∵bn＝，
∴bn＋1＝＝＝.
∴bn＋2＝＝＝.
∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0.
∴bn＋bn＋2＝2bn＋1(n∈N
)，
∴数列{bn}是等差数列．
8．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝(n∈N
)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：∵＝＝＝
＝＝＋，
∴－＝，∴数列是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝，
∴an＝(n∈N
)．
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姓名________________
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层级一 学业水平达标
1．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A．1
B．－1
C．±1
D．±2
3．2
018是等差数列4,6,8，…的( )
A．第1
006项
B．第1
007项
C．第1
008项
D．第1
009项
4．若一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5．已知数列是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝( )
A．－
B.－
C.
D.
6．lg(＋)与lg(－)的等差中项是________．
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________.
8．已知{an}为等差数列，已知a1＋a6＝12，a4＝7，则a9＝________.
9．已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
10．已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
层级二 应试能力达标
1．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q
B．0
C．－(p＋q)
D.
2．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则等于( )
A.
B.
C.
D.
3．已知数列{an}，对任意的n∈N
，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为( )
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列
D．非等差数列
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5
B．a3a6C．a3＋a6>a4＋a5
D．a3a6＝a4a5
5．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.
6．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，
)都在直线x－y－＝0上，则an＝________.
7．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
8．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝(n∈N
)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
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