高一数学（人教B版）9.1.2-余弦定理（第一课时）38张PPT

(共38张PPT)
余弦定理（第一课时）
高一年级
数学
一、复习回顾，提出问题
实际测量问题
解一般三角形
数学
抽象
已知两边和一边的对角：SSA
已知两角和一边：AAS或ASA
已知三边：SSS
已知两边及其夹角：SAS
?
逻辑
推理
正弦定理
?
?
a
b
c
sinA
sinB
sinC
锐角三角函数
三角形的面积
如图所示，设无法到达的两个
山峰的顶点分别为A，B.其中利
用现代化的测量工具可以测得
地面上可到达的一点和其它任
意一点的距离，也可以测得地
面上可到达的一点和其它任意
两点连线的夹角.那么我们如何
获得A，B两点间的距离呢？
A
B
A
B
如图所示，设无法到达的两个
山峰的顶点分别为A，B.其中利
用现代化的测量工具可以测得
地面上可到达的一点和其它任
意一点的距离，也可以测得地
面上可到达的一点和其它任意
两点连线的夹角.那么我们如何
借助?ABC
的边角关系求解.
获得A，B两点间的距离呢？
C
情境分析：在地面上任取一点C.
如图所示，设无法到达的两个
山峰的顶点分别为A，B.其中利
用现代化的测量工具可以测得
地面上可到达的一点和其它任
意一点的距离，也可以测得地
面上可到达的一点和其它任意
A
B
C
情境分析：两边CA，CB和角C
两点连线的夹角.那么我们如何
可以测量.
获得A，B两点间的距离呢？
如图所示，设无法到达的两个
山峰的顶点分别为A，B.其中利
用现代化的测量工具可以测得
地面上可到达的一点和其它任
意一点的距离，也可以测得地
面上可到达的一点和其它任意
A
B
b
a
c
C
数学抽象：在?ABC
中，已知
两点连线的夹角.那么我们如何
a
，b
和?C
，求
c
.
获得A，B两点间的距离呢？
如图所示，设无法到达的两个
山峰的顶点分别为A，B.其中利
用现代化的测量工具可以测得
地面上可到达的一点和其它任
意一点的距离，也可以测得地
面上可到达的一点和其它任意
数学抽象：已知三角形的两边及
两点连线的夹角.那么我们如何其夹角，求第三边.
获得A，B两点间的距离呢？
A
B
C
b
a
c
解三角形：已知两边及其夹角（SAS）.
这类解三角形问题能否运用正弦定理
求解？
?
a
b
?
sinA
b
sinB
c
sinC
?
sinB
a
sinC
c
sinA
正弦定理
不能.因为无论运用哪一个等式，方程
都至少有两个未知数.
二、问题探究，证明定理
问题探究：在
?ABC
中，已知
a
，b
和?C
，求
c
.
A
B
C
c
b
a
向量法：
求边c：知
a，b
和
?C
问题探究：在
?ABC
中，已知
a
，b
和?C
，求
c
.
A
B
C
c
b
a
向量法：
求边c：知
a，b
和
?C
AB
=
CB-CA
|
AB
|=|
CB-CA
|
向量关系
转
化
数量关系
A
C
c
b
a
解：如图，在
?
A
B
C
中，因为
AB
=
CB
-CA
，
B
所以
|
AB
|=|
CB-CA
|
，
所以
|
AB
|2=|
CB-CA
|2
?|
CB
|2
-2CB
?
CA+
|
CA
|2
c2
?|
CB
|2
-2
|
CB
||
CA
|
cosC+
|
CA
|2
，
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
即
问题探究：在
?ABC
中，已知
a
，b
和?C
，求
c
.
直角三角形
一般三角形
转
化
几何法：
作高
，分类
A
B
C
c
b
a
?C
为锐角
?C
为直角
?C
为钝角
（1）当?C
为直角时，可由勾股定理求c.
B
c
a
b
A
C
C
A
c
D
b
D
B
C
b
A
a
c
c
b
a
a
A（D）
C
c2
c2
=
a2
-b2
=
BD2
+AD2
求边c：知
a
，b
和?C
Rt?BDA
：c2
=
BD2
+AD2
BD
=
asinC
CD
=
acosC
AD
=
acosC-b
求边c：知
a
，b
和?C
Rt?BDA
：c2
=
BD2
+AD2
BD
=
asinC
CD
=
acosC
AD
=
b-acosC
Rt?BDC
BD
=
asinC
CD
=
acosC
AD
=
b-acosC
（2）当?C为锐角时，作AC边上的高BD.
B
B
B
C
a
b
A
c
Rt?BDC
CD
?
acos(π-?ACB)
?
-acos?ACB
AD
?
AC
+
CD
?
b-acos?ACB
D
求边c：知
a
，b
和?C
Rt?BDA
：c2
=
BD2
+AD2
BD
?
asin(π-?ACB)
?asin?ACB
（3）当?C为钝角时，作AC边上的高BD.
余弦定理
当?
C
为锐角时，c2
当?
C
为钝角时，c2
（1）当?
C
为直角时，c2
综上可得
c2
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
勾股定理
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
转化
直角三角形
几何法：
一般三角形
余弦定理的证明：
向量法：
转化
向量关系
数量关系
坐标法
利用正弦定理法
c2
a2
b2
余弦定理：
结构特征：
每一个等式都有四个量：
三条边和一个角；
等式左侧：其中一边的平方；
等式右侧：另外两边的平方和
减去这两边与它们夹角余弦
的积的2倍.
=
a2
+
b2
-2abcosC
=
b2
+
c2
-2bccosA
=
a2
+
c2
-2accosB
B
C
c
b
a
A
c2
a2
b2
余弦定理：
文字语言：
三角形任何一边的平方，
等于其它两边的平方和
减去这两边与它们夹角
余弦的积的2倍.
=
a2
+
b2
-2abcosC
=
b2
+
c2
-2bccosA
=
a2
+
c2
-2accosB
B
C
c
b
a
A
a2
=
b2
+
c2
-2bccosA
b2
c2
=
a2
+
c2
-2accosB
=
a2
+
b2
-2abcosC
b2
+
c2
-a2
cosA
=
a2
2bc
+
c2
-b2
cosB
=
a2
2ac
+
b2
-c2
cosC
=
2ab
余弦定理：
余弦定理的作用：
（1）已知三角形的两边及其（2）已知三角形的三边（SSS）
夹角（SAS），求第三边.
求三个角.
B
C
c
b
a
A
三、学以致用，理解定理
例1
在
?ABC
中，已知
a
=6，b=4
，c
=
2
7，求C
.
分析：已知三边，求角.可用余弦定理(表示角的形式)求解.
=
+
42
-(2
7
)2
2
?
6
?
4
1
=
2
，
解：由余弦定理可知
a2
62
+
b2
-c2
cosC
=
2ab
又因为
0o
<
C
<
180o
，所以
C
=
60o
.
小结：已知三边解三角形时，因为三角形唯一确定，所以有唯
一解.这与三角形全等的判定定理SSS一致.
B
C
b=4
a=6
A
c=2
7
例2
在
?ABC
中，已知
a
=3，b=6
，C
=
60?
，求
c
.
分析：已知两边及其夹角，求第三边.
可用余弦定理(表示边的形式)求解.
解：由余弦定理可知
c2
=
a2
+
b2-2abcosC
=
32
+
62
-2
?
3
?
6
?
cos60?
=
27
，
小结：已知两边及其夹角解三角形时，因为三角形唯一确定，
所以有唯一解.这与三角形全等的判定定理SAS一致.
所以
c
=
3
3
或
c
=
-3
3（舍）.
A
B
C
a=3
b=6
60o
c
变式：在
?ABC
中，已知
a
=3，b=6
，A
=
30?
，求
c
.
分析:已知两边和一边的对角,求第三边.
求sinC：
sinC
=
sin(
A
+
B)
求sinB
：
?
a
b
sinA
sinB
求
c
：
a
?
c
sinA
sinC
法1
可用正弦定理
求解.
?
?
a
b
c
sinA
sinB
sinC
C
A
B
a=3
c
30o
b=6
分析:已知两边和一边的对角,求第三边.
这道题是否能够运用余弦定理求解？
a2
=
b2
+
c2
-2bccosA
b2
c2
=
a2
+
c2
-2accosB
=
a2
+
b2
-2abcosC
余弦定理每一个等式中有四个量，
分别为三条边和一个角，因此可
以知三求一.
变式：在
?ABC
中，已知
a
=3，b=6
，A
=
30?
，求
c
.
C
A
B
a=3
c
30o
b=6
法2
解：由余弦定理可知
a2
=
b2
+
c2
-2bccosA
，
即
32
=
62
+
c2
-2
?
6
?
c
?
cos30?
，
c2
-6
3c
+
27
=
0
，
2
(c-3
3)
=
0
，
整理得
即
因此
c
=
3
3
.
小结：此题通过余弦定理构造了关于所求边的方程进行求解；
运用余弦定理求边时，依据已知角来确定运用哪一个等式.
变式：在
?ABC
中，已知
a
=3，b=6
，A
=
30?
，求
c
.
C
A
B
a=3
c
30o
b=6
c2
a2
=
b2
+
c2
-2bccosA
2
2
2
b
2
+
c
2
-
a
2
c
o
s
A
=
a
2
2
b
c
+
c
2
-
b
2
c
o
s
B
=
a
2
2
a
c
+
b
2
-
c
2
c
o
s
C
=
2
a
b
余弦定理的作用：
知三求一
已知两边和一角（SAS或SSA），求第三边
已知三条边（SSS），求三个角
余弦定理形式（1）
余弦定理形式（2）
余
弦
定
（1）
理
b
=
a
+
c
-2accosB
（2）
=
a2
+
b2
-2abcosC
四、回顾反思，归纳总结
问题延伸
数学抽象
复习正弦定理
实际问题应用
提出新的两类
解三角形问题
已知三边：SSS
已知两边及其夹角：SAS
余弦定理
向量的数量积
几何证明
a
2
b
2
c
2
=
b
2
+
c
2
-
2bccosA
=
a
2
+
c
2
-
2accosB
=
a
2
+
b
2
-
2abcosC
b
2
+
c
2
-
a
2
c
o
s
A
=
a
2
2
b
c
+
c
2
-
b
2
c
o
s
B
=
a
2
2
a
c
+
b
2
-
c
2
c
o
s
C
=
2
a
b
逻
辑
推
理
逻
辑
推
理
向量关系
转
化
数量关系
研究
思路
一般三角形
转
化
直角三角形
研究
思路
已知两角和一边：AAS或ASA
正弦定理
两边和一边的对角：SSA
已知两边和一角
正弦定理
余弦定理
两边及其夹角：SAS
余弦定理
已知三边：SSS
余弦定理
解三角形（只知三要素）总结：
课后作业：
（1）已知
?ABC
中，已知
a
=10，b=5
，C
=
120?，求
c
.
（2）已知
?ABC
中，已知
a
=3，b=2
，c
=
19
，求角
C
以及三角形的面积
.
，求
b
6
，A
=
45?
（3）已.知
?ABC
中，已知
a
=2，c
=
及角C.
c
a
b
A
C
解：（1）当
?
C
为直角时，
B
由勾股定理可得
c2
=
a2
+
b2
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
在
Rt?BDC
中，BD
?
asinC
，CD
?
acosC
，
在Rt?BDA
中，AB2
?
BD2
+
AD2
，
所以
AD
?
b-acosC
.
c2
即
?
(asinC)2
+
(b-acosC)2
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
解：（2）当
?
C
为锐角时，
若?ABC
是锐角三角形，过点
B
作
AC
边上的高
BD.
A
B
C
c
a
b
D
解：（2）当
?
C
为锐角时，
若?ABC
是直角三角形，
B
C
c
b
a
A（D）
在
Rt?BDC
中，BD
=
asinC
，CD
=
acosC
，
所以
AD
=
b-acosC
.
c2
即
AB2
=
BD2
+
AD2
，
?
(asinC)2
+
(b-acosC)2
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
因为
在
Rt?BDC
中，BD
=
asinC
，CD
=
acosC
，
所以
AD
=
b-acosC
.
在Rt?BDA
中，AB2
=
BD2
+
AD2
，
c2
即
?
(asinC)2
+
(b-acosC)2
=
a2
+
b2
-2abcosC
.
解：（2）当
?
C
为锐角时，
若?ABC
是钝角三角形，过点
B
作
AC
边上的高
BD.
B
C
b
A
a
c
D
解：（3）当
?
C
为钝角时，过点
B
作
AC
边上的高
BD.
在Rt?BDC
中，
BD
?
asin(π-?ACB)
?
asin?ACB
，
CD
=
acos(π-?ACB)
=
-acos?ACB，
所以
AD
?
AC
+
CD
?
b-acos?ACB.
即
c2
?
(asin?ACB)2
+
(b-acos?ACB)2
=
a2
+
b2
-2abcos?ACB.
在Rt?BDA
中，AB2
?
BD2
+
AD2
，
B
C
a
b
A
c
D