高一数学（人教A版）8.5空间直线、平面的平行习题课-ppt课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
高一年级
数学
空间直线、平面平行习题课
一、知识复习
一、三种平行的定义
线线平行
a//b
a
b
面面平行
α
β
α//β
线面平行
a
α
a//α
知识复习
一、三种平行的定义
二、三种平行关系之间的转化
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
知识复习
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
①平行线的定义以及平面几何中判定两直线平行的定理
②基本事实4
知识复习
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
α
a
b
知识复习
③直线与平面平行的判定定理
知识复习
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
④直线与平面平行的性质定理
α
a
b
β
知识复习
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑤两个平面平行的判定定理
α
a
b
P
β
知识复习
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥面面平行的定义
⑦两个平面平行的性质定理
α
a
b
β
γ
α
a
β
α//β，γ∩α=a，γ∩β=b?a//b
α//β，a?α?a//β
二、例题讲解
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
分析一：
如何在平面CD1内得到一条直线，使得这条直线与直线EF平行？
线线平行
线面平行
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
要证
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
分析一：
线线平行
线面平行
要证
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
如何在平面CD1内得到一条直线，使得这条直线与直线EF平行？
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
分析一：
如何在平面CD1内得到一条直线，使得这条直线与直线EF平行？
线线平行
线面平行
要证
M
N
D
F
E
C
D1
B
A
B1
A1
C1
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
证法一：连接AC，
∵
底面ABCD为正方形，点F是BD中点，
∴
AC与BD交于点F，且点F是AC中点．
连接CD1，则有EF//CD1．
∵
EF
平面CD1，CD1?平面CD1，
∴
EF//平面CD1．
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
证法二：取DD1中点M，CD中点N，连接EM，MN，NF，
∵
EM是ΔADD1中位线，
∴
EM//AD，且EM=
AD．
同理FN//BC，且FN=
BC，
∴
EM//FN，且EM=FN，
∴
四边形EFNM为平行四边形．
M
N
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
∴
EF//MN．
∵
MN?平面CD1，EF
平面CD1，
∴
EF//平面CD1．
M
N
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
证法二：（接上页）
④
⑦
⑤
③
①
②
线线平行
线面平行
面面平行
⑥
分析二：
线面平行
面面平行
如何过EF作与平面CD1平行的平面?
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
要证
P
例题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
证法三：取棱AD的中点P，连接EP，FP．
∵
E为AD1中点，
∴
EP是ΔADD1的中位线，
∴
EP//DD1，同理FP//AB．
又∵
AB//CD，
∴
FP//CD．
∵
EP
平面CD1，DD1?平面CD1，
∴
EP//平面CD1，同理FP//平面CD1．
P
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
证法三：（接上页）
∵
EP与FP交于点P，且均在平面EFP内，
∴
平面EFP//平面CD1．
∵
EF?平面EFP，
∴
EF//平面CD1．
P
D
F
E
C
C1
D1
B
A
B1
A1
总结：第一和第二种方法，利用了线面平行的判定定理及逆向思考的方法，过EF作与平面CD1相交的平面，我们分别作了三角形和平行四边形，用两种方法得到了交线．第三种方法是利用面面平行得出线面平行，因此需要构造一个与平面CD1平行的平面．本题利用了线面平行的判定定理和面面平行的定义和判定定理，并且多次进行了平行关系的转化．
例题
如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．
随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
G
H
F
E
D
A
B
C
C1
D1
B1
A1
例题
如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．
随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
其中所有正确命题的序号是_____，为什么？
E
A
A1
C1
D1
B1
D
H
B
C
F
G
①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；
分析：如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
A
E
A1
D
G
H
B
C
C1
D1
B1
F
有水部分有两个面平行吗？
其余的面都是四
边形吗？相邻四边形的公共边互相平行吗？
其它面都是四边形．
A
E
A1
D
G
H
B
C
C1
D1
B1
F
解析：显然有水的部分左右两个面平行，
因为棱BC在地面上，
所以BC与水面平行．因此BC//FG．
因为前后两面平行，
且与水面分别交于FG，EH，
所以FG//EH．所以AD//EH．
因此有水部分呈棱柱形．
易得没水部分也是棱柱．
由于棱BC在地面上，所以BC始终与水面平行，
由线面平行的性质定理可得：
BC//FG，BC//EH，
因此FG//EH．
所以有水部分始终呈棱柱形．
没有水部分容易判断出也是呈棱柱形．
因此命题①，②正确．
E
A
A1
C1
D1
B1
D
H
B
C
F
G
解析：当有水部分如右图所示时，
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
所以两个侧面与水面的交线平行，
因此四边形EFGH为平行四边形．
因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，
所以FG⊥EF，因此四边形EFGH为矩形．
故水面EFGH的面积随GH的变化而变化．
因此命题③错误．
E
A
A1
C1
D1
B1
D
H
B
C
F
G
解析：因为长方体的左右两个侧面平行，
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
解析：因为BC//FG，
根据基本事实4可得，FG//A1D1，
又因为A1D1不在平面EFGH内，
FG在平面EFGH内，
所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题④正确；
A
E
A1
D
G
H
B
C
C1
D1
B1
F
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
解析：前面已得“有水部分的几何体为直棱柱”，由于水的体积没有发生变化，且该直棱柱的高BC是定值，
因此底面BEF的面积是定值．
所以命题⑤正确．
综上所述，正确的命题有①②④⑤．
E
A
A1
C1
D1
B1
D
H
B
C
F
G
可以将上述问题归结为：过平面BB1C1C内平行于BC的一条线段FG作截面，研究截得的几何体的性质问题．
A
E
G
H
F
D
B
C
C1
D1
B1
A1
E
A
H
F
D
B
C
C1
D1
B1
A1
G
(1)有水部分的几何体还是棱柱吗？
E
A
G
H
F
D
B
C
D1
B1
A1
C1
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？
请说明理由．
变式：如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地面，且水面均与四条侧棱相交．
解析：这个变式相当于过棱DD1上一点H作
与底面不平行的截面，截面与四条侧棱
都相交．由于棱DA和DC与截面均不平行，
所以DA与EH，DC与GH，AB与EF，
BC与FG均不平行，因此不满足棱柱的定义，所以有水部分的几何体不是棱柱．
(1)有水部分的几何体是棱柱吗？
E
A
G
H
F
D
B
C
D1
B1
A1
C1
面面平行
线线平行
面面平行
线线平行
容器前后两面平行
容器左右两面平行
变式：如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地面，且水面均与四条侧棱相交．
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？
请说明理由．
E
A
G
H
F
D
B
C
D1
B1
A1
C1
总结：本题是一道利用线线、线面、面面平行的判定和性质解决的实际问题，我们用到了棱柱的定义，还有基本事实4、线面平行的判定定理和性质定理，以及面面平行的性质定理．在解题过程中，我们不断进行平行关系的转化，大家要掌握好转化的方法．
例题
探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我们考虑三个几何元素的平行关系．命题：“如果有两组几何元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命题正确，请证明．
①
解析：我们一共能生成几个命题？
三条直线（一个）；两条直线和一个平面（两个）；一条直线和两个平面（两个）；三个平面（一个）．
①
例题
探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我们考虑三个几何元素的平行关系．命题：“如果有两组几何元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命题正确，请证明．
解析：命题1
如果两条直线均与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
由基本事实4可知该命题正确．
①
已知：
求证：b//α．
α
a
b
线面平行
线线平行
要证
线面平行
已知
分析：
如何在平面α内得到一条直线，使得它与直线b平行？
命题2
平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行
于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
①
α
β
a
a′
b
线面平行
线线平行
要证
线面平行
已知
如何在平面α内得到一条直线，使得它与直线b平行？
已知：
求证：b//α．
命题2
平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行
于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
分析：
①
证明：过直线a作平面β交平面α于直线a′
，
∵
a//α，∴
a//a′．
∵
a//b，
∴
b//a′．
α
β
a
a′
b
∵
，
∴
b//α．
已知：
求证：b//α．
命题2
平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行
于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
①
总结：此题通过线面平行得出线线平行，再由基本事实4得出另一组线线平行，最后得到线面平行．方法是通过“由已知想可知，由求证想需知”来实现线线平行与线面平行关系的转化．
α
β
a
a′
b
已知：
求证：b//α．
命题2
平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行
于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
①
命题3
如果两条直线同时与一个平面平行，那么这两条
直线平行．
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，DD1的中点．
F
E
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
B1C1
与A1B1相交；
B1C1
与A1D1平行；
B1C1与EF异面．
因此该命题不正确．
①
分析：
线面平行
线线平行
要证
线面、面面平行
已知
如何在β内找到这条与l平行的直线呢？
l
α
β
命题4
一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其
中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
已知：α//β，l//α，l
β，求证：l//β．
①
分析：
线面平行
线线平行
要证
线面、面面平行
已知
命题4
一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其
中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
l
α
β
如何在β内找到这条与l平行的直线呢？
已知：α//β，l//α，l
β，求证：l//β．
①
证明：过直线l作平面γ分别交平面α、平面β于直线l′，l′′，
∵
l//α，∴
l//l′．
∵
α//β，∴
l′//l′′
．
∴
l//l′′．
∵
l
β，l′′?β，
l
α
β
l′
l′′
γ
已知：α//β，l//α，l
β，求证：l//β．
∴
l//β．
①
总结：此题根据线面和面面平行的性质定理得出两组线线平行，再由基本事实4和线面平行判定定理得出结论．证明中用到线线、线面、面面平行关系转化，并根据“由已知想可知，由求证想需知”寻求解题思路．
命题4
一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其
中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
l
α
β
l′′
γ
l′
已知：α//β，l//α，l
β，求证：l//β．
命题5
如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个
平面平行．
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，DD1的中点，与EF都平行的两个平面可能平行还可能相交．
F
E
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
①
γ
α
β
命题6
如果两个平面均与第三个平面平行，那么这两个平
面平行．
面面平行
线面平行
要证
线线平行
面面平行
已知
分析：
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
如何在α，
β内各得到一条直线，使得它们平行呢？
①
命题6
如果两个平面均与第三个平面平行，那么这两个平
面平行．
γ
α
β
面面平行
线面平行
要证
线线平行
面面平行
已知
分析：
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
如何在α，
β内各得到一条直线，使得它们平行呢？
①
证明：∵
α//γ，β//γ，
过γ内的一条直线a作平面σ
，
分别与α和β交于直线a′
，a′′
，
则有a//a′
，
a//a′′
，
∴
a′//a′′．
∵
a′
β
，
a′′
β，
γ
α
β
a
σ
a′′
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
a′
∴
a′//β．
b′
①
证明：(接上页）在平面γ内作一条与直线a相交的直线b，再过直线b作平面τ，分别与α和β交于直线b′
，b′′
，同理可得出b′//β．
∵
a与b相交，
∴
a′与b′相交．
∵
a′
?α
，
b′
?α
，∴
α
//β．
γ
α
β
a
σ
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
a′
a′′
b′
①
总结：此题要证面面平行，我们用到了面面平行的判定定理以及线面平行的判定定理．已知面面平行，我们通过面面平行的性质定理可以得出线线平行，进而得到解题思路．总之，运用“由已知想可知，由求证想需知”的方法能更好地进行平行关系的转化．
γ
α
β
a
σ
a′
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
a′′
b′
面面平行
线面平行
要证
线线平行
已知
线面平行
分析：
如何在平面α内得到与直线b平行的直线呢？
α
β
a
b
练习：a，b是异面直线，a?α，b?β，a//β，b//α．
求证：α//β．
面面平行
线面平行
要证
线线平行
已知
线面平行
分析：
如何在平面α内得到与直线b平行的直线呢？
α
β
a
b
γ
b′
练习：a，b是异面直线，a?α，b?β，a//β，b//α．
求证：α//β．
证明：过直线b作平面γ，交平面α于直线b′
，
∵
b//α，∴
b//b′
．
∵
b?β，
b′
β，∴
b′//β
．
∵
a，b是异面直线，∴
b′与a相交．
又∵
a?α，a//β，
∴
α//β
．
α
β
a
b
γ
练习：a，b是异面直线，a?α，b?β，a//β，b//α．
求证：α//β．
b′
总结：该题运用了线面平行的性质定
理和判定定理以及面面平行的判定定
理，大家要结合已知和求证，用好“由已知想可知，由求证想需知”的方
法，顺利实现平行关系的转化．
α
β
a
b
γ
练习：a，b是异面直线，a?α，b?β，a//β，b//α．
求证：α//β．
b′
三、本节小结
本节课我们研究了空间中平行关系的证明，大家思考：
本节小结
④
⑦
⑤
③
①
⑥
②
线线平行
线面平行
面面平行
（1）在平行关系证明过程中运用了哪些知识？
（2）在平行关系证明过程中怎样寻求解题思路？
本节小结
（1）在平行关系证明过程中运用了哪些知识？
（2）在平行关系证明过程中怎样寻求解题思路？
（3）在本节课中，通过平行关系证明思路的寻求和严
谨证明，有助于大家提升哪些能力和素养？
本节课我们研究了空间中平行关系的证明，大家思考：
我们在证明平行位置关系时，需要利用线线、线面、面面平行的定义、判定定理和性质定理，以及基本事实4和平面几何知识，熟练掌握这些知识是证明平行关系的基础．为了使平行关系转化过程方向明确，我们用好“由已知想可知，由求证想需知”的方法，捋清解题思路，就可以轻松解决平行关系证明问题．通过本节课的学习，有助于我们提升逻辑推理和直观想象的核心素养．
本节小结
四、布置作业
布置作业
已知：α∩β=l，a//α，a//β，求证：a//l．