高一数学（人教B版）-10.2.2.复数的除法-PPT课件(共75张PPT)

(共75张PPT)
复数的除法
高一年级
数学
复
数
概念
复数z=a+bi
平面向量OZ
一一对应
复平面内的点
Z(a,b)
几何
意义
分类
实数
虚数
共轭复数
复数相等
复数的模
实部与虚部
?
运算
减
法
？
乘
法
加
法
在学习减法时，我们利用减法是加法的逆运算，
得到了减法法则：
z1
?
z2
?
z1
?
??z2
?.
我们是否可以用同样的方法研究除法呢？
复数的乘法
法则
z
z
?
?a
?
bi??c
?
di?
?
ac
?
adi
?
bci
?
bdi2
.
1
2
运算律
交换律、结合律、分配律.
乘法公式
完全平方公式、平方差公式.
重要结论
两个共轭复数的乘积等于其模的平方，为一个实数.
?其中a,
b,
c,
d
?
R
?
问题
1
设复数z
?
a
?
bi?a,b
?
R?满足?a
?
bi??2
?
i?
?
8
?
i,
你会求z
的值吗？
问题
1
设复数z
?
a
?
bi?a,b
?
R?满足?a
?
bi??2
?
i?
?
8
?
i,
你会求z
的值吗？
分析：等式的左边是两个复数的乘积，其结果是一
个复数，且含有两个未知数a,b
，等式的右边是复数8
?
i
可以利用复数相等的定义得到关于a,b
的两个方程，联立
方程，就可以解得a,b
的值.
解：根据复数的乘法法则，等式可变形为：
?2a
?
b?
?
?a
?
2b?i
?
8
?
i,
解：根据复数的乘法法则，等式可变形为：
?2a
?
b?
?
?a
?
2b?i
?
8
?
i,
再根据复数相等的定义，可得
?
2a
?
b
?
8,
?
a
?
3,
?a
?
2b
?
?1,
解得?
?
?2.
?
?b
?
a
?
bi
?
3
?
2i.
解：根据复数的乘法法则，等式可变形为：
?2a
?
b?
?
?a
?
2b?i
?
8
?
i,
再根据复数相等的定义，可得
?
2a
?
b
?
8,
?
a
?
3,
?a
?
2b
?
?1,
解得?
?
?2.
?
?b
?
a
?
bi
?
3
?
2i.
实质上，问题1等价于已知两个复数的乘积及其中
一个复数，求另一个复数的问题.我们是否可以从复数
乘法的逆运算的角度来思考这个问题呢？
我们知道，在实数中，除法是乘法的逆运算，
如果a
?
0且ax
?
b，
那么x
?
b
?或x
?
b
?
a?,
a
x称为b除以a的商，b称为被除数，a
称为除数.
利用除法定义可以得到分数的基本性质：
当c
?
0时，有b
?
bc
,
a
?
b
?
a
?
b
.
a
ac
c
c
c
如果复数z2
?
0，则满足zz2
?
z1的复数z称为z1除以z2
的
商，并记作：
?
?
1
1
2
2
z
z
z
?
或z
?
z
?
z
,
z1称为被除数，
z2
称为除数.
同样，利用复数除法的定义可以得到复数除法运算的
基本性质：
当
为非零复数时，有
1
z1
z
?
z2
z2?
?
?
?
?
.
z1
?
z2
?
z1
?
z2
.
性质1：
性质2：
例如：
8
?
i
?
?8
?
i??
3i
,
2
?
i
?2
?
i??
3i
z2
z2?
?
z1????
0?.
z1
性质1：
分子分母同乘同一非零复
数，式子的值不变.
例如：
8
?
i
?
?8
?
i??
3i
,
2
?
i
?2
?
i??
3i
8
?
i
?
?8
?
i???2
?
i?
.
2
?
i
?2
?
i???2
?
i?
z2
z2?
?
z1????
0?.
z1
性质1：
分子分母同乘同一非零复
数，式子的值不变.
5
例如：
8
?
i
?
?8
?
i??
3i
,
2
?
i
?2
?
i??
3i
8
?
i
?
?8
?
i???2
?
i?
=
?8
?
i???2
?
i?
.
2
?
i
?2
?
i???2
?
i?
z2
z2?
?
z1????
0?.
z1
性质1：
分子分母同乘同一非零复
数，式子的值不变.
5
例如：
8
?
i
?
?8
?
i??
3i
,
2
?
i
?2
?
i??
3i
8
?
i
?
?8
?
i???2
?
i?
=
?8
?
i???2
?
i?
.
2
?
i
?2
?
i???2
?
i?
z2
z2?
?
z1????
0?.
z1
性质1：
分子分母同乘同一非零复
数，式子的值不变.
例如：
+
,
8
?
i
?
8
i
2
?
i
2
?
i
2
?
i
分子为两个复数的和，
可拆成分母不变的两个
分数的和.
?
?
?
性质2：z1
?
z2
?
z1
?
z2
???
0?.
例如：
+
,
8
?
i
?
8
i
8
?
i
?
8
+
i
=
2
?
1
,
4i
4i
4i
i
4
2
?
i
2
?
i
2
?
i
分子为两个复数的和，
可拆成分母不变的两个
分数的和.
?
?
?
性质2：z1
?
z2
?
z1
?
z2
???
0?.
例如：
+
,
4
+
=2+
i.
4
4
4
8
?
i
?
8
i
8
?
i
?
8
i
1
2
?
i
2
?
i
2
?
i
8
?
i
?
8
+
i
=
2
?
1
,
4i
4i
4i
i
4
分子为两个复数的和，
可拆成分母不变的两个
分数的和.
?
?
?
性质2：z1
?
z2
?
z1
?
z2
???
0?.
例如：
+
,
4
+
=2+
i.
4
4
4
8
?
i
?
8
i
8
?
i
?
8
i
1
2
?
i
2
?
i
2
?
i
8
?
i
?
8
+
i
=
2
?
1
,
4i
4i
4i
i
4
分子为两个复数的和，
可拆成分母不变的两个
分数的和.
?
?
?
性质2：z1
?
z2
?
z1
?
z2
???
0?.
例如：
+
,
4
+
=2+
i.
4
4
4
8
?
i
?
8
i
8
?
i
?
8
i
1
2
?
i
2
?
i
2
?
i
8
?
i
?
8
+
i
=
2
?
1
,
4i
4i
4i
i
4
分子为两个复数的和，
可拆成分母不变的两个
分数的和.
?
?
?
性质2：z1
?
z2
?
z1
?
z2
???
0?.
a
?
bi
再来看问题
1
中的等式?a
?
bi??2
?
i?
?
8
?i，
你能写出a
?
bi的另一种形式了吗？
a
?
bi
?
8
?
i
,
2
?
i
即：求a
?
bi
?
求8
?
i与2
?
i的商.
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
目标：a
?
bi
形式
目标：a
?
bi
形式
分母为实数
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
目标：a
?
bi
形式
分母为实数
分母为虚数
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
目标：a
?
bi
形式
分母为实数
分母为虚数
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
8
?
i
?
?8
?
i??2
?
i?
2
?
i
?2
?
i??2
?
i?
z2
z2?
z1
?
z1?
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
8
?
i
?
?8
?
i??2
?
i?
z2
z2?
z1
?
z1?
5
2
?
i
?2
?
i??2
?
i?
15
?10i
?
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
8
?
i
?
?8
?
i??2
?
i?
z2
z2?
z1
?
z1?
5
2
?
i
?2
?
i??2
?
i?
15
?10i
?
?
3
?
2i.
?
?
?
z1
?
z2
?
z1
?
z2
a
?
bi
?
8
?
i
2
?
i
复数除法的核心思路：分母实数化.
方法：利用性质1，分子分母同乘分母的共轭复数实现分
母实数化后，再利用性质2，将结果化为
a
?
bi
的形式.
非零复数的
0
次幂：
z0
?
1?
z
?
0?.
非零复数的
0
次幂：
z0
?
1?
z
?
0?.
例如：?2i?0
?
1,
?3
?
4i?0
?
1.
非零复数的
0
次幂：
z0
?
1?
z
?
0?.
?
?
1
zn
?
n
?
负整数次幂的定义：
z
?
z
?
0且n
?
N
.
例如：?2i?0
?
1,
?3
?
4i?0
?
1.
非零复数的
0
次幂：
z0
?
1?
z
?
0?.
?
?
1
zn
?
n
?
负整数次幂的定义：
z
?
z
?
0且n
?
N
.
例如：?2i?0
?
1,
?3
?
4i?0
?
1.
1
,
?2i?2
?2i??2
?
1
.
?3
?
4i??2
?
?3
?
4i?2
当n
?
1时,z?1
?
1
?
z
?
0?，称1
为z
的倒数.
z
z
例如：2i
的倒数是
1
.
2i
当n
?
1时,z?1
?
1
?
z
?
0?，称1
为z
的倒数.
z
z
2i
例如：2i
的倒数是
1
?????2i?
?
?
1
i,
2i???2i?
2
当n
?
1时,z?1
?
1
?
z
?
0?，称1
为z
的倒数.
z
z
2i
例如：2i
的倒数是
1
?????2i?
?
?
1
i,
2i???2i?
2
3
?
4i的倒数是
1
3
4
+
i.
25
25
?3
?
4i?
?
?
3
?
4i
?3
?
4i??3
?
4i?
1
2
?
i
求出
1
2
?
i
的值.
1
?.
8
?
i
=
?8
?
i??
?
2
?
i
?
2
?
i
?
?
其中
是2
?
i的倒数，利用“分母实数化”可以
2
z
1
2
因此，
z1
也可以看成是z
与z
的倒数之积.
1
?.
8
?
i
=
?8
?
i??
?
2
?
i
?
1
2
?
i
2
?
i
?
?
其中
是2
?
i的倒数，利用“分母实数化”可以
求出
1
2
?
i
的值.
2
?
i
?
2
?
i
?
8
?
i
=
?8
?
i??
1
?=
?8
?
i???1??2
?
i?
?2
?
i??2
?
i?
?
?
2
?
i
?
2
?
i
?
8
?
i
=
?8
?
i??
1
?=
?8
?
i???1??2
?
i?
?2
?
i??2
?
i?
?
?
5
?
?8
?
i??
2
?
i
?
?
?
?
?
?
15
?10i
5
?
3
?
2i.
小结：利用“分母实数化”可以求出任意两个复
数的商,以及任意一个非零复数的倒数（除数不能为
0）.
分析：根据复数除法的定义?1?
2i?
??3
?
4i?
?
1?
2i
，
3
?
4i
利用分母实数化，分子分母需同乘分母的共轭复数.
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
解：
原式
?
1?
2i
=
?1?
2i??3
?
4i?
3
?
4i
?3
?
4i??3
?
4i?
方法一
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
=
25
?5
?10i
?
?
1
?
2
i.
5
5
解：
原式
?
1?
2i
=
?1?
2i??3
?
4i?
3
?
4i
?3
?
4i??3
?
4i?
方法一
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
=
25
?5
?10i
?
?
1
?
2
i.
5
5
解：
原式
?
1?
2i
=
?1?
2i??3
?
4i?
3
?
4i
?3
?
4i??3
?
4i?
分子分母同乘分
母的共轭复数
复数的乘法法则
化简整理
方法一
?1?
2i??
1
?3
?
4i?
，利用分母实数化，可先求出
1
?3
?
4i?
的值
再与?1?
2i?相乘.
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
分析：根据倒数的定义，?1?
2i?
??3
?
4i?也就是
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
?3
?
4i??3
?
4i?
解：
原式
?
?1?
2i????1
=
?1?
2i????1??3
?
4i?
3
?
4i
方法二
例
1
求?1
?
2i?
??3
?
4i?的值.
25
=
?1?
2i??
3
?
4i
?
?
?
?
?
?
?5
?10i
?
?
1
?
2
i.
25
5
5
?3
?
4i??3
?
4i?
解：
原式
?
?1?
2i????1
=
?1?
2i????1??3
?
4i?
3
?
4i
方法二
小结：复数除法运算的基本思路——分母实数化
分子分母同乘分
母的共轭复数
计算分子分母
化简整理成
a
?
bi
性质1
复数的乘法法则
性质2
例
2
求?1?
i??2
的值.
分析：此题考查的是非零复数的负整数指数幂的运
算，可以将其转化为商的形式，再利用复数的除法法则
求解.
例
2
求?1?
i??2
的值.
解：原式
2
1
?
?1?
i?
负整数指数幂
正整数指数幂
方法一
例
2
求?1?
i??2
的值.
解：原式
2
1
?
?1?
i?
2i
?
1
负整数指数幂
正整数指数幂
复数的乘法法则
方法一
例
2
求?1?
i??2
的值.
解：原式
2
1
?
?1?
i?
2i
?
1
4
?2i
1
?
?
?
i.
2
1???2i?
2i
???2i?
?
负整数指数幂
正整数指数幂
复数的除法法则
分母实数化
复数的乘法法则
化简整理
方法一
例
2
求?1?
i??2
的值.
解：原式
2
1
?
?1?
i?
2i
?
1
?
?
1
i.
2
i
?
2i
?i
负整数指数幂
正整数指数幂
复数的除法法则
分母实数化
复数的乘法法则
化简整理
方法二
问题
2
我们已经知道，虚数单位i是方程x2
?
?1的一个解
还有其他复数是这个方程的解吗？
问题
2
我们已经知道，虚数单位i是方程x2
?
?1的一个解
还有其他复数是这个方程的解吗？
因为
i2
?
??i?2
?
?1,
所以方程x2
?
?1在复数范围内的解集为?i,-i?.
类似地，如果实数a
?
0，方程x2
?
?a在复数范围
内的解集是什么？
类似地，如果实数a
?
0，方程x2
?
?a在复数范围
内的解集是什么？
因为?
ai?2
?
??
ai?2
?
?
a
?2
i2
?
?a,
所以，方程x2
?
?a在复数范围内的解集为?
ai,
?
ai?.
方程x2
?
2x
?
3
?
0在复数范围内的解集是什么？
分析：通过配方将方程转化为
x2
?
?a
?a
?
0?
的形
式，即可求解.
方程x2
?
2x
?
3
?
0在复数范围内的解集是什么？
解：因为x2
?
2x
?
3
?
?
x
?1?2
?
2,
所以原方程可化为?
x
?1?2
=
?
2,从而可知
方程x2
?
2x
?
3
?
0在复数范围内的解集是什么？
解：因为x2
?
2x
?
3
?
?
x
?1?2
?
2,
所以原方程可化为?
x
?1?2
=
?
2,从而可知
x
?1
?
2i或x
?1
?
?
2i,
2i,所求解集为
2i?.
因此x
?
?1+
2i或x
?
?1?
??1+
2i,
?1?
方程x2
?
?1在复数范围内的解集为?i,-i?,
ai,
?
方程x2
?
?a在复数范围内的解集为?
ai??a
?
0?,
2i?.
方程x2
?
2x
?
3
?
0在复数范围内的解集为??1?
2i,
?1?
方程x2
?
?1在复数范围内的解集为?i,-i?,
ai,
?
方程x2
?
?a在复数范围内的解集为?
ai??a
?
0?,
2i?.
方程x2
?
2x
?
3
?
0在复数范围内的解集为??1?
2i,
?1?
小结：
当
a,b,c都是实数且a
?
0时,
关于
x
的方程
ax2
?
bx
?
c
?
0称为实系数一元二次方程，这个方程在复
数范围内总是有解的.
根的情况
?=b2
?
4ac
?
0
有两个不相等的实数根
?=b2
?
4ac
?
0
有两个相等的实数根
?=b2
?
4ac
?
0
有两个互为共轭的虚数根
?
?
1
1
2
2
z
z
z
?
或z
?
z
?
z
zz2
?
z1
1
2
z
z
?
z
?
1
?其中z2
?
0?
根的情况
?=b2
?
4ac
?
0
有两个不相等的实数根
?=b2
?
4ac
?
0
有两个相等的实数根
?=b2
?
4ac
?
0
有两个互为共轭的虚数根
实系数一元二次方程ax2
?
bx
?
c
?
0?a
?
0?在复数范
围内总是有解的.
1.计算下列各式的值.
1
2i
（1）
；
（2）1?
i
；
4
?
i
（3）
2
?
i
；
7
?
4i
1?
i
（4）
2
?
i
.
1
2
1
2
z
z
z
2.已知z
?
5
?10i，z
?
3
?
4i,
1
?
1
?
1
,求z.
3.在复数范围内求方程x2
?10x
?
40
?
0的解集.
4.
证明：如果
x1
,
x2
为实系数一元二次方程
ax2
?
bx
?
c
?
0?a
?
0?的解，那么
1
2
1
2
a
c
a
?x
?
x
?
?
b
,
?
x
x
?
.
?
?
??