高一数学（人教A版）8.6直线与直线垂直-ppt课件（52张）

(共52张PPT)
高一年级
数学
直线与直线垂直
空间两条直线的三种位置关系
知识回顾
异面直线
α
a
b
相交直线
a
b
O
平行直线
a
b
一、讲授新知
观察：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
a
b
O
平面内两条相交直线形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度．
α
a
b
如图，已知两条异面直线a，b，哪一个角是异面直线a，b所成的角呢？
a'
b'
O
经过空间中任一点O分别作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
利用定义，将两条异面直线所成的角，转化为同一平面内两条相交直线所成的角，这是研究异面直线所成的角时经常使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的思想方法很重要，同学们在学习过程中一定要认真体会！
观察：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1与直线AB，直线A1D1与直线AB都是异面直线，但直线A1C1与A1D1相对于直线AB的位置不同．可以用异面直线所成的角来刻画它们的差异．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与AB所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
分析：要求异面直线A1C1与AB所成的角，首先要把两条直线平移到相交的位置，从而构造出这个角，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A1B1//AB，因此∠B1A1C1为异面直线A1C1与AB所成的角．
解：∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
A1B1//AB．
∴
∠B1A1C1为异面直线A1C1与AB所成
的角．
∵
∠B1A1C1=45°，
∴
异面直线A1C1与AB所成的角为45°．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与AB所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
解：∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
A1B1//AB，
∴
∠B1A1D1为异面直线A1D1与AB所成
的角．
∵
∠B1A1D1=90°，
∴
异面直线A1D1与AB所成的角为90°．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1D1与AB所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
总结：
由上可知，异面直线A1C1与AB所成的角为45°，异面直线A1D1与AB所成的角为90°，这说明直线A1C1与A1D1相对于直线AB的倾斜程度不同，直线A1D1相对于直线AB的倾斜程度更大一些，所以异面直线所成的角可以刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度．
空间两条直线a，b所成角α的取值范围是
空间两条异面直线a，b所成角α的取值范围是
注意：如果两条异面直线a，b所成的角是直角，那我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．如果空间两条直线a，b相互平行，我们规定它们所成的角为0°．
二、例题讲解
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)
哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
(2)
求直线BA1与CC1所成的角的大小；
(3)
求直线BA1与AC所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
解析：正方体共有12条棱，显然下底面的4条棱所在的直线都与直线AA1垂直，同样，上底面的4条棱所在的直线也都与直线AA1垂直，而正方体的侧棱BB1，CC1，DD1所在的直线都与直线AA1平行．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)
哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
因此棱AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1所在的直线与直线AA1垂直．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(1)
哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
分析：要求直线BA1与CC1所成的角的大小，首先要把两条直线平移到相交的位置，可以平移直线BA1或CC1，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以BB1//CC1，因此平移直线CC1较好．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(2)
求直线BA1与CC1所成的角的大小；
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
解：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
BB1//CC1．
∴
∠A1BB1为直线BA1与CC1所成的角．
∵
∠A1BB1=45°，
∴
直线BA1与CC1所成的角等于45°．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(2)
求直线BA1与CC1所成的角的大小；
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
分析：要构造直线BA1与AC所成的角，可以将直线BA1平移到直线CD1位置或将直线AC平移到直线A1C1位置，不妨将直线AC平移到直线A1C1的位置．那么∠BA1C1即为所求角，要求∠BA1C1的大小，需把它放进三角形中，所以连接BC1即可．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(3)
求直线BA1与AC所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
解：如图，连接A1C1．
∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
AA1//CC1，且AA1=CC1．
∴
四边形AA1C1C是平行四边形．
∴
AC//A1C1．
∴
∠BA1C1为异面直线BA1与AC所成的角．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(3)
求直线BA1与AC所成的角的大小．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
连接BC1，易知△A1BC1是等边三角形．
∴
∠BA1C1=60°．
∴
异面直线BA1与AC所成的角等于60°．
例题
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．
(3)
求直线BA1与AC所成的角的大小．
总结：本题是异面直线所成角的概念的巩固和应用．
其中第（1）问是利用异面直线所成角的定义，直观判断直线的垂直关系．通过第（1）问我们可以认识到，在空间中垂直于同一条直线的两条直线未必平行，比如，直线AB与AD都垂直于直线AA1，但它们却不平行．这说明在同一平面内成立的结论，不一定能推广到空间中来．
总结：第（2）问和第（3）问是对异面直线所成角的定义的巩固应用，解答这样问题的关键是构造出异面直线所成的角，在构造时，可以平移两条直线，也可以平移其中一条直线．构造出角后，在求角时，一般情况要把角放在三角形中进行求解，总之，同学们要通过观察，先思考，后落笔．
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
分析：
AO1⊥BD
要证
AO1与BD所成角是直角
如何构造AO1与BD所成的角？
O
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
证法一：如图，连接B1D1．
∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
BB1//DD1，且BB1=DD1．
∴
四边形BB1D1D是平行四边形．
∴
B1D1//BD．
∴
直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1．
∵
O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴
O1为B1D1的中点．
∴
AO1⊥B1D1．
∴
AO1⊥BD．
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
证法二：取BD的中点O，连接AO，C1O，C1O1．
∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
易证四边形AA1C1C是平行四边形．
∴
AC//A1C1，且AC=A1C1．
又
O，O1分别是AC和A1C1的中点．
C
C1
D1
B
A
B1
A1
O
O1
D
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
∴
AO//O1C1，且AO=O1C1．
∴
四边形AOC1O1是平行四边形．
∴
AO1//C1O．
∴
直线C1O与BD所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
C
C1
D1
B
A
B1
A1
O
O1
D
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
连接C1B，C1D，易证C1B=C1D．
∵
O为BD的中点，
∴
C1O⊥BD．
∴
A
C
C1
D1
B
A
B1
A1
O
O1
D
思考：刚才我们用两种方法证明了这道例题，选择的策略不同，证明过程的差异较大，但这两种方法在证明垂直时都是运用了几何特征来证明的，运用的是等腰三角形的三线合一的特征．那么现在我想问同学们一个问题，你能否从代数运算的角度来证明这个问题呢？
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
分析：要证明异面直线AO1⊥BD，由证法一可知，只需证明直线AO1⊥B1D1，也就是证明∠AO1B1=90°．如果我们能求出AO1，O1B1，AB1这三条边的长度，并且它们的长度是一组勾股数，即满足
，就能说明∠AO1B1=90°．
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
证法三：如图，连接B1D1．
∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
BB1//DD1，且BB1=DD1．
∴
四边形BB1D1D是平行四边形．
∴
B1D1//BD．
∴
直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
D
C
C1
D1
B
A
B1
A1
O1
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
连接AB1，不妨设正方体的棱长为2．
∵
在Rt△ABB1中，AB=BB1=2，
∴
．
同理可证
．
∴
．
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
取BD的中点O，连接O1O和AO．
∵
ABCD-A1B1C1D1是正方体，
∴
易知OO1=2，
．
∵
△AOO1是直角三角形，
∴
．
O
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
例题
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD．
O
D
O1
C
C1
D1
B
A
B1
A1
又
，
，
∴
．
∴
∠AO1B1=90°．
∴
AO1⊥BD．
总结：本题是对异面直线垂直概念的应用．首先应该根据异面直线所成角的定义，构造出这个角，这是解决问题的关键，再联系等腰三角形的性质或者勾股定理即可完成证明．我们从不同的角度，用三种方法完成了这道题的证明，三种方法各有特点，通过对比，不难发现第一种方法的证明过程比较简单，所以同学们当遇到一个问题时，应当通过观察，先思考，后下笔．这道例题的解答过程体现了解决立体几何问题的重要思想—转化思想，同学们在今后的学习中要注意体会该思想．
例题
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
A
B
C
A1
B1
C1
D
例题
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
BD⊥AC1
AC1与BD所成角是直角
要证
分析：
A
B
C
A1
B1
C1
D
如何构造AC1与BD所成的角？
E
例题
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
证明：如图，取CC1的中点E，连接DE．
∵
D为AC的中点，
∴
DE//AC1．
∴
直线DE与BD所成的角即为直线AC1与BD所成的角．
E
A
B
C
A1
B1
C1
D
连接BE．
例题
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
∵
正三棱柱ABC-A1B1C1，且AB=BB1=2，
∴
AC=CC1=2．
∴
．
∵
DE是△
ACC1的中位线，
∴
．
E
A
B
C
A1
B1
C1
D
例题
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
∵
AB=AC=BC=2，
∴
．
∵
在Rt△BCE中，BC=2，CE=1，
∴
．
∴
．
E
A
B
C
A1
B1
C1
D
例题
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=BB1=2，求证BD⊥AC1．
∴
BD⊥DE．
∴
BD⊥AC1．
E
A
B
C
A1
B1
C1
D
总结：本题表面上是证明线线垂直的问题，其本质是求异面直线所成角的大小问题．要解决好这样的问题，首先要能构造出两条异面直线所成的角，然后再利用勾股定理进行验证．
反思与感悟：通过这些例题的解答看到，在求异面直线a，b所成的角时，虽然与点O选取的位置无关，但是为了方便，这个任一点O常取在两条异面直线中的一条上，例如取在直线b上，然后经过点O作直线a'//a，那么a'与b所成的角就是异面直线a，b所成的角．
a'
α
a
b
O
在解题时，同学们要通过观察，先思考，后落笔．在求角的大小时，我们可以利用一些特殊三角形的特点直接求出角的大小，也可以利用勾股定理证明是直角．
三、课堂小结
课堂小结
1.本节课是对异面直线的进一步研究，我们学习了两条异面直线所成的角的概念，两条异面直线互相垂直的概念．知道了两条异面直线所成的角是用来刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线倾斜程度的量．
2.空间两条直线a，b所成角α的取值范围是
．
空间两条异面直线a，b所成角α的取值范围是
．
3.求两条异面直线所成角的关键是构造出这个角．
4.注重培养直观想象和逻辑推理的核心素养．
课堂小结
四、布置作业
布置作业
1.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的各条棱所在直线中，
(1)与直线AB垂直的直线
有___条；
(2)与直线AB异面且垂直的
直线有___条；
(3)与直线AB和A1D1都垂直的直线有___条；
(4)与直线AB和A1D1都垂直且相交的直线是___．
A
B
D
C
A1
B1
D1
C1
布置作业
2.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，
，求：
(1)
直线BC与A1C1所成的角的大小；
(2)
直线AA1与BC1所成的角的大小．
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1