初一下册数学（北京版）7.7简单几何图形与推理课件（102张ppt）

(共102张PPT)
初一年级
数学
简单几何图形与推理
几何图形
几何图形
实物
抽象
几何图形
实物
抽象
立体图形
几何图形
实物
抽象
平面图形
立体图形
观察
实验
剪剪
拼拼
比比
量量
图形的性质
三角形的内角和是180°；
三角形任意两边之和大于第三边；
等腰三角形的两个底角相等；
平行四边形的对边相等.
相关计算
感性认识
图形及性质
理性认识
是什么
为什么
怎样想到的
概念
简易的逻辑
命题
什么是概念、命题和推理?
推理
知识间的逻辑联系
它们之间有怎样的关系?
对数学学习有什么帮助呢?
概
念
属
性
外框是棕色、木制的；
里面是白色、玻璃的、光滑的；
有四条边、四个直角；
对边平行、对边相等；
……
大小，如长、宽、周长、面积；
属
性
有四条边、四个直角；
对边平行、对边相等；
分离数学属性
大小，如长、宽、周长、面积等.
数学属性
实物抽象
几何图形
形状
大小
位置关系
请将下列图形分为两类.
共性
差异
观察
比较
综合
分析
第一类
第二类
第一类
在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点（本质属性）抽出来，加以概括，就成为概念.
三条线段、每相邻两条线段端点相连、封闭图形.
共同特点（本质属性）：
三角形
第二类
归纳共同特点加以概括
概念
四边形
表达
归纳共性
抽象概括
形成概念
（本质属性）
词或词组（名词或术语）
概念
等边三角形和正三角形
表达
1.不同的词可能表达相同的概念;
2.同一个词可能表达不同的概念.
白头翁
鸟
植物
白头发的老人
概念反映对象的本质属性.
概念反映对象的本质属性.
概念的内涵
三角形的内涵：三条线段、每相邻两条线段端点相连、
封闭图形.
(共同特点或属性)
概念
词或词组（名词或术语）
表达
如何去描述呢？
概念的内涵
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形.
三角形的内涵：三条线段、每相邻两条线段端点相连、
封闭图形.
解释、说明
组织、概括
统一对本质属性的认识
定义
总结与巩固
定义揭示概念的内涵
定义：对一个名词或术语的意义的说明叫做定义.
“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角”.
“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”.
“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”.
定义揭示概念的内涵
定义：对一个名词或术语的意义的说明叫做定义.
“从一点引出两条射线所组成的图形叫做角”.
“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”.
“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”.
本质属性
三角形：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的
图形叫做三角形.
由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形.
具有该本质属性的所有对象呢？
概念反映对象的本质属性.
概念的内涵
具有该本质属性的所有对象
概念反映对象的本质属性.
概念的外延
概念的内涵
概念
概念的外延
概念的内涵
？？？
一一列出来？
三角形的外延是所有三角形的全体.
下定义
明确
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其它三角形的特有属性.
边和角
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其他三角形的特有属性.
图①三个角都是锐角；
边和角
观察、比较
图⑤有一个角是钝角；
图⑦有两条边相等；
图⑨三条边都相等；
图
有一个角是直角.
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其他三角形的特有属性.
图①三个角都是锐角
+三角形
锐角三角形
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其他三角形的特有属性.
图①三个角都是锐角
+三角形
锐角三角形
特有属性
+
一般概念
特殊概念
图⑤有一个角是钝角
+三角形
钝角三角形
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其他三角形的特有属性.
图⑦有两条边相等
+三角形
等腰三角形
特有属性
+
一般概念
特殊概念
试一试
观察并说出下图中每个三角形区别于其他三角形的特有属性.
图⑨三条边都相等
+三角形
等边三角形
特有属性
+
一般概念
特殊概念
+三角形
直角三角形
图
有一个角是直角
按边分类：
等腰三角形
等边三角形
特例
按角分类：
分类的不重不漏
概念的外延
概念
概念的内涵
概念的外延
本质属性
具有本质属性的所有对象
分类
明确
揭示
词
表达
指代
定义
解释
几小类
概念
概念的内涵
概念的外延
本质属性
具有本质属性的所有对象
分类
明确
揭示
特有属性+一般概念
特殊概念
词
表达
指代
定义
解释
几小类
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行线：在同一平面内不
相交的两条直线叫做平行线.
平行四边形
四边形
平行线
追根溯源
平行四边形概念的产生历程
四边形：同一平面内，四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做四边形.
相交线
平行四边形概念的产生历程
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
追根溯源
平行四边形
四边形
平行线
线段
相交线
平行四边形概念的产生历程
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
追根溯源
平行四边形
四边形
平行线
点、直线、平面
线段
相交线
平行四边形概念的产生历程
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
追根溯源
平行四边形
四边形
平行线
点、直线
点、直线、平面
初始概念
线段
相交线
平行四边形概念的产生历程
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
追根溯源
平行四边形
四边形
平行线
导出概念
初中几何中的概念
点、直线、平面
下定义
引入
其余概念
线段、角、相交线、平行线、三角形、等腰三角形、四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形……
旧词解释新词
旧概念定义新概念
其余概念
初中几何中的概念
点、直线、平面
下定义
引入
线段、角、相交线、平行线、三角形、等腰三角形、四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形……
定义有规则
概念有顺序
初始概念
导出概念
直
接
间
接
定
义
概念有联系
概念体系
思考：你认为给概念下定义有什么好处吗？
1.对概念的本质属性形成统一明确的认识，便于
交流，达成共识；
2.将数学中的概念通过定义的方式串起来，形成
体系，便于对概念的整体把握.
概念
命题
推理
三角形的内角和是180°；
三角形任意两边之和大于第三边；
等腰三角形的两个底角相等；
平行四边形的对边相等.
概念
命题
推理
组成
命题：判断某一件事情的语句叫做命题.
试一试：判断下列语句是不是命题.
1.如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
2.垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
3.作一条线段等于已知线段.
是
不是
不是
4.如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
是
命题：判断某一件事情的语句叫做命题.
试一试：判断下列语句是不是命题.
1.如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
是
4.如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
是
如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
命题由题设和结论两部分组成.
条件
题设
结论
题设
结论
如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
命题由题设和结论两部分组成.
条件
题设
结论
题设
结论
等于同一个量的两个量相等.
“如果……，那么……”形式.
题设
结论
成立
一定成立
成立
不一定成立
假命题
真命题
等于同一个量的两个量相等.
如果两个量都与同一个量相等，那么这两个量也相等.
如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
判断下列命题的真假.
等于同一个量的两个量相等.
真命题
真命题
真命题
两个锐角的和一定是钝角.
如果直线a//b，那么直线a与直线b没有交点.
如果a=b，c=d，那么a+c=b+d.
判断下列命题的真假.
等于同一个量的两个量相等.
真命题
真命题
真命题
两个锐角的和一定是钝角.
20°
30°
假命题
反例
50°
长期实践中获得的真命题，可以直接作为推理依据的事实.
4.等于同一个量的两个量相等；
7.等量的同倍量相等；
8.等量的同分量相等.
5.等量加等量和相等；
6.等量减等量差相等；
1.两点确定一条直线；
基本事实
2.两点之间，线段最短；
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（公理）
长期实践中获得的真命题，可以直接作为推理依据的事实.
4.等于同一个量的两个量相等；
7.等量的同倍量相等；
8.等量的同分量相等.
5.等量加等量和相等；
6.等量减等量差相等；
1.两点确定一条直线；
基本事实
2.两点之间，线段最短；
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（公理）
几何基本事实
等量公理
三角形的内角和是180°；
三角形任意两边之和大于第三边；
等腰三角形的两个底角相等；
平行四边形的对边相等.
真命题（待证明）
定理：用逻辑的方法判断为正确，并作为推理依据的真命题叫做定理.
定理(待证明)
初中几何命题体系
其余所有的真命题（定理）
逻
辑
规
则
推演
9个基本事实+5
（公理）
3个初始概念
导出概念
直
接
间
接
定
义
初中几何概念体系
初中几何公理体系
古希腊数学家
欧几里得
2000多年前，数学家欧几里得对前人在数学上的成果进行了系统整理，选取少量的初始概念和人们公认的一些真命题（公理），作为整个体系的出发点和逻辑依据，用逻辑推理的方法证实了一系列命题（共465个），编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著《几何原本》，本书共13卷，对后世产生了深远影响.
霍布斯
17世纪
英国哲学家
霍布斯巧遇《几何原本》的故事
爱上几何学
概念
命题
推理
组成
组成
概念
命题
推理
组成
推理：根据一个或一些判断得出另一个判断的思维过程.
归纳
组成
找共性
特殊
一般
演绎
概念
命题
推理
组成
推理：根据一个或一些判断得出另一个判断的思维过程.
归纳
演绎
组成
找共性
用共性
特殊
一般
一般
特殊
归纳
找共性
特殊
一般
演绎
用共性
一般
特殊
全部是甜的
归纳
后买部分是甜的
演绎
特殊
一般
“先尝后买”
先尝几个是甜的
实验
推理？
特殊
归纳
找共性
特殊
一般
演绎
用共性
一般
特殊
全部是甜的
归纳
后买部分是甜的
演绎
特殊
一般
“先尝后买”
先尝几个是甜的
实验
推理？
特殊
发现结论
证明结论
常用的演绎推理的形式——三段论.
由三个判断构成的，前两个判断是前提，最后一个判断是结论，这样的推理就是“三段论”.
所有人都会死.
苏格拉底是人.
所以苏格拉底会死.
一般
特殊
结论
一个推理
常用的演绎推理的形式——三段论.
所有人都会死.
一般
苏格拉底是人.
所以苏格拉底会死.
特殊
结论
大前提
小前提
常用的演绎推理的形式——三段论.
所有人都会死.
一般
苏格拉底是人.
所以苏格拉底会死.
特殊
结论
大前提
小前提
所有哺乳动物都有肺.
狗是哺乳动物.
所以狗有肺.
一般
特殊
结论
大前提
小前提
常用的演绎推理的形式——三段论.
所有人都会死.
一般
苏格拉底是人.
所以苏格拉底会死.
特殊
结论
大前提
小前提
所有哺乳动物都有肺.
狗是哺乳动物.
所以狗有肺.
大前提
小前提
一般
特殊
结论
常用的演绎推理的形式——三段论.
例
所有偶数都能被2整除.
一般
因为382是偶数，
所以382能被2整除.
特殊
结论
大前提
小前提
与同一个量相等的两个量相等.
大前提
如果两个量都和同一个量相等，
那么这两个量也相等.
三个量
a，b，c
常用的演绎推理的形式——三段论.
例
所有偶数都能被2整除.
一般
因为382是偶数，
所以382能被2整除.
特殊
结论
大前提
小前提
与同一个量相等的两个量相等.
因为a=c，b=c，
所以a=b.
结论
大前提
小前提
练习：根据三段论推理形式填空.
1.等量加等量和相等.
因为
a=b，c=d，
所以
.
结论
∠1，∠2都是直角，
2.凡直角都相等.
所以∠1=∠2.
结论
大前提
小前提
大前提
小前提
因为
a+c=b+d
练习：根据三段论推理形式填空.
3.等量的同倍量相等.
因为
a=b，c为常数，
所以
.
结论
4.
因为三角形ABC是等腰三角形，
所以三角形ABC的两个底角相等.
结论
大前提
小前提
大前提
小前提
ac=bc
练习：根据三段论推理形式填空.
3.等量的同倍量相等.
因为
a=b，c为常数，
所以
.
结论
4.
因为三角形ABC是等腰三角形，
所以三角形ABC的两个底角相等.
结论
大前提
小前提
大前提
小前提
ac=bc
等腰三角形的两个底角相等.
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
1.水中的动物都是鱼.
因为鲸鱼在水中，
所以鲸鱼是鱼.
结论
2.会飞的都是鸟.
因为麻雀会飞，
所以麻雀是鸟.
结论
大前提
小前提
大前提
小前提
错
对
错
错
对
对
3.等量减等量差相等.
因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
结论
分析：小前提少了一对等量，因果关系不成立.
大前提
小前提
对
错
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
3.等量减等量差相等.
因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4.
结论
正确：等量减等量差相等.
结论
小前提
大前提
小前提
因为∠ABC=∠DEF，∠1=∠3，
所以∠ABC-∠1=∠DEF-∠3.
即∠2=∠4.
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
4.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加.
大前提
对
因为
是同底数幂相乘的运算，
所以
.
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
小前提
对
结论
错
4.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加.
小前提
大前提
对
对
因为
是同底数幂相乘的运算，
所以
.
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
指数相乘
结论
错
4.同底数的幂相乘，底数不变，指数相加.
结论
小前提
大前提
对
对
错
因为
是同底数幂相乘的运算，
所以
.
大前提、小前提、结论中有一个错，则此推理错.
知识要牢固，推理按规则.
练习：找出下面三段论中的错误，并说明理由.
指数相乘
例
证明命题：四边形的内角和是360°.
命题证明的一般步骤：
1.分析命题的题设与结论；
2.根据题设画出图形；
3.结合图形写出已知和求证；
题设：一个图形是四边形.
结论：它的内角和是360°.
4.进行分析并证明.
例
证明命题：四边形的内角和是360°.
已知：四边形ABCD.
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
例
证明命题：四边形的内角和是360°.
已知：四边形ABCD.
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
分析：
四边形内角和是360°
四边形
三角形
转化
三角形的内角和180°
联
想
例
证明命题：四边形的内角和是360°.
已知：四边形ABCD.
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
分析：
∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∠2+∠B+∠4
=180°
∠1+∠3+∠D
=180°
三角形ABC
三角形ACD
连接AC
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
证明：连接AC.
三角形的内角和是180°.
等量加等量和相等
∵∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
∴（∠2+∠B+∠4）
+（∠1+∠3+∠D）=180°+180°.
即：∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°.
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
证明：连接AC.
三角形的内角和是180°.
等量加等量和相等
∵∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
∴（∠2+∠B+∠4）
+（∠1+∠3+∠D）=180°+180°.
即：∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°.
“省略的三段论”
？？？
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
三角形的内角和是180°.
1.省略大前提“三角形的内角和是180°”
或将大前提放在结论的后面作为依据.
2.某些情况下可以省略小前提.
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
三角形的内角和是180°.
1.省略大前提“三角形的内角和是180°”
或将大前提放在结论的后面作为依据.
2.某些情况下可以省略小前提.
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
三角形的内角和是180°.
如图，∠2+∠B+∠4
=180°，
∠1+∠3+∠D=180°
（三角形的内角和是180°）.
∵图中有三角形ABC和三角形ACD.
∴∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
三角形的内角和是180°.
等量加等量和相等
∵∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°.
∴（∠2+∠B+∠4）
+（∠1+∠3+∠D）=180°+180°.
省略或结论后
省略
省略或结论后
∵∠2+∠B+∠4
=180°，∠1+∠3+∠D=180°
证明：连接AC.
(三角形的内角和是180°).
(等量加等量和相等).
∴（∠2+∠B+∠4）+（∠1+∠3+∠D）=180°+180°
即：∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°.
课堂小结
一、概念、命题、推理等相关知识
二、几何公理体系
三、对数学学习的作用
概念
命题
推理
组成
组成
一、概念、命题、推理等相关知识
概念
命题
推理
组成
组成
正确思维的前提
恰当的判断
合乎逻辑
概念
命题
推理
组成
组成
表达
词
分类
明确
定义
揭示
概念外延
（全体对象）
概念内涵
（本质属性）
题设
结论
真命题
假命题
如果……
那么……
三段论
演绎推理
（一般到特殊）
合情推理
（特殊到一般）
归纳推理
证明
课堂小结
二、几何公理体系
初中几何命题体系
9个基本事实+5
其余所有的真命题（定理）
逻
辑
规
则
推演
（公理）
3个初始概念
导出概念
直
接
间
接
定
义
初中几何概念体系
初中几何公理体系
逻辑关联
课堂小结
三、对数学学习的作用
结构化
系统化
整体把握
知识体系的构建
本质与规律
课后作业
1.请参考概念的学习，依据概念的发展，画出下列概念之
间的关系示意图.
“点、直线、平面、射线、线段、角、角平分线、平行线、相交线、垂线、线段的中点、两点之间的距离，点到直线的距离”.
课后作业
2.指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是
假命题，如果是假命题，请举出一个反例.
（1）
三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）
一个负数与一个正数的和是负数；
（3）
平角的度数是180°；
（4）
若
，则
.
.
同学们再见！