初一下册数学（北京版）7.4类比——邻补角与对顶角课件（74张ppt）

(共74张PPT)
初一年级
数学
邻补角与对顶角
回顾相交线的定义
只有一个公共点的两条直线叫做相交直线.
引入
请同学们在笔记本上画出：两条直线AB和CD相交于点O.
探究
如图，直线AB和CD相交于点O，图中四个角两两组合共有几对角？
探究
∠1与∠2
∠1与∠3
∠1与∠4
∠2与∠3
∠2与∠4
∠3与∠4
如何分类？
如图，直线AB和CD相交于点O，图中四个角两两组合共有六对角.
探究
第一类
∠1与∠2
∠2与∠3
∠3与∠4
∠4与∠1
如图，直线AB和CD相交于点O，图中四个角两两组合共有六对角，这六对角可以分为两类.
第二类
∠1与∠3
∠2与∠4
请同学们观察，第一类中的每对角，从角的构成要素上看，
有什么共同特征呢？
探究
顶点
两条边
∠1
O
OC，OA
∠2
O
OC，OB
第一类
∠1与∠2
∠2与∠3
∠3与∠4
∠4与∠1
公共边
互为反向延长线
共同顶点
顶点
两条边
∠2
O
OB，OC
∠3
O
OB，OD
顶点
两条边
∠3
O
OD，OB
∠4
O
OD，OA
顶点
两条边
∠4
O
OA，OD
∠1
O
OA，OC
探究
邻补角
∠1与∠2
∠1与∠4
如果两个角有共同的顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么称这两个角互为邻补角.
探究
由∠1与∠2的位置关系，你能够说一说它们的数量关系吗？
∠1与∠2互补
∠2与∠3互补
∠3与∠4互补
∠4与∠1互补
补角——没有限定两个角的位置
邻补角——限定两个角特殊的位置关系
邻补角与补角
探究
你能类比邻补角定义的形成过程，探究第二类角吗？
依然从角的构成要素上看，第二类角有什么共同特征呢？
顶点
两条边
∠1
O
OA，OC
∠3
O
OB，OD
共同顶点
互为反向延长线
互为反向延长线
探究
你能类比邻补角定义的形成过程，探究第二类角吗？
依然从角的构成要素上看，第二类角有什么共同特征呢？
顶点
两条边
∠2
O
OB，OC
∠4
O
OA，OD
对顶角
如果两个角有共同的顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么称这两个角互为对顶角.
∠1与∠3
∠2与∠4
练习：判断下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？
Ⅹ
√
Ⅹ
练习：判断下列各图中，∠1和∠2是不是对顶角？
Ⅹ
Ⅹ
小结
邻补角
∠1与∠2
∠2与∠3
∠3与∠4
∠4与∠1
两直线AB和CD相交于点O，图中四个角两两组合共有六对角，这六对角可以分为两类.
对顶角
∠1与∠3
∠2与∠4
探究
大家猜一猜这两对对顶角具有怎样的数量关系？
∠1与∠3
∠2与∠4
探究
大家猜一猜这两对对顶角具有怎样的数量关系？
猜想：对顶角相等.
探究
命题：对顶角相等.这个命题的题设和结论分别是什么？
改写成“如果……，那么……”的形式.
题设
结论
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
探究
已知：如图，直线AB和CD相交于点O.
求证：∠1=∠3，∠2=∠4.
题设
结论
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
证明两角
相等方法
角平分线的定义
等量加等量，和相等
等量减等量，差相等
等量的同倍量相等
等量的同分量相等
等量代换
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
证明∠1=∠3，
选择哪种方法？
∠3+∠2=180°
已知：如图，直线AB和CD相交于点O.
求证：∠1=∠3.
分析：
与∠1，∠3的关联
∠1+∠4=180°
∠3+∠4=180°
∠1+∠2=180°
同角的补角相等
已知：如图，直线AB和CD相交于点O.
求证：∠1=∠3.
分析：
∠1=∠3？
∠1+∠2=180°
直线AB和CD相交于点O
∠3+∠2=180°
证明：∵直线AB和CD相交于点O（已知），
∴∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°（邻补角的定义）.
∴∠1=∠3（同角的补角相等）.
已知：如图，直线AB和CD相交于点O.
求证：∠1=∠3.
自己尝试证明
∠2=∠4.
对顶角的性质：对顶角相等.
对顶角
符号语言
∵直线AB和CD相交于点O，
∴∠1=∠3，∠2=∠4.
小结
邻补角
∠1与∠2
∠2与∠3
∠3与∠4
∠4与∠1
两直线AB和CD相交于点O，图中四个角两两组合共有六对角，这六对角可以分为两类.
对顶角
∠1与∠3
∠2与∠4
四对邻补角互补
两对对顶角相等
例
如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°，
求∠2，∠3，∠4的度数．
例
如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
40°
直线a，b相交于点O
邻补角互补
对顶角
相等
∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°
∠1=∠3
∠2=∠4
例
如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
40°
直线a，b相交于点O
邻补角互补
对顶角
相等
∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°
∠1=∠3
∠2=∠4
解：∵直线a，b相交于点O（已知），
∴∠1+∠2=180°（邻补角的定义）.
∴∠2=180°－∠1（等量减等量，差相等）.
∵∠1=40°（已知），
∴∠2=180°－40°=140°（等量代换）.
∴∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°（对顶角相等）.
40°
40°
方法1：
∠1
对顶角相等
∠2，∠4
∠3
邻补角
互补
方法2：
∠1
对顶角相等
∠2
∠3
对顶角相等
∠4
邻补角
互补
例
如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
直线a，b相交于点O
对顶角相等
邻补角互补
六个等量关系？
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
直线a，b相交于点O
邻补角互补
∠1+∠2=180°
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
∠1：∠2=2：7
设∠1=2x°，∠2=7x°
直线a，b相交于点O
邻补角互补
∠1+∠2=180°
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
分析：
∠1：∠2=2：7
设∠1=2x°，∠2=7x°
直线a，b相交于点O
邻补角互补
∠1+∠2=180°
2x+7x=180
x=20
求得∠2，∠3，∠4
解：∵∠1∶∠2=2∶7（已知），
∴设∠1=2x°，∠2=7x°.
∵直线a，b相交于点O（已知），
∴∠1+∠2=180°（邻补角的定义）.
2x+7x=180.
x=20.
∴∠1=40°，∠2=140°.
∴∠3=∠1=40°，∠4=∠1=140°（对顶角相等）.
例
如图，直线a，b相交于点O，∠1=40°，
求∠2，∠3，∠4的度数．
变式
如图，直线a，b相交于点O，∠1∶∠2=2∶7，
求∠2，∠3，∠4的度数．
知一求三
设未知数，列方程
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
35°
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
分析：
直线AB，CD相交于点O
两对对顶角
四对邻补角
∠AOD与∠3
∠BOC与∠3
∠AOD与∠2
∠BOC与∠2
∠2与∠3
∠AOD与∠BOC
35°
相等
互补
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
分析：
∠1=∠2=
∠EOC
直线AB，CD相交于点O
35°
两对对顶角
四对邻补角
∠AOD与∠3
∠BOC与∠3
∠AOD与∠2
∠BOC与∠2
∠2与∠3
∠AOD与∠BOC
相等
互补
OA平分∠EOC
∠1=∠2
，∠1=35°
∠2=35°
，∠2=∠3
∠3=35°
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
分析：
对顶角相等
35°
解：∵OA平分∠EOC（已知），
∴∠1
=∠2（角平分线的定义）.
∵直线AB，CD相交于点O（已知），
∴∠2=∠3（对顶角相等）.
∵∠1=35°（已知），
∴∠3=35°（等量代换）.
35°
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
∠3？
分析：
∠2
∠1
35°
例
如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，
∠1=35°，求∠3的度数.
35°
∠3？
分析：
∠2
∠1=35°
对顶角相等
角平分线的定义
①
②
从已知入手
从未知入手
例
如图，三条直线a，b，c相交于一点O，
则∠1+∠2+∠3=
.
?
Ⅹ
求出每一个角的度数，再求和.
通过转化角，再求和.
分析：
a，b相交于点O
a，c相交于点O
b，c相交于点O
分析：选择哪个角转化呢？
方法1：
∠2
∠5
a，b相交于点O
a，c相交于点O
b，c相交于点O
对顶角相等
方法2：
∠1
∠4
对顶角相等
方法3：
∠3
∠6
对顶角相等
分析：∠1，∠2，∠3，都能转化到哪里去呢？
例
如图，三条直线a，b，c相交于一点O，
则∠1+∠2+∠3=
.
分析：
平角的定义
∠4+∠2+∠3
∠1+∠2+∠3
方法2：
∠1
∠4
对顶角相等
180°
例
如图，三条直线a，b，c相交于一点O，
则∠1+∠2+∠3=
.
多少组
对顶角？
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
70°
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
CD⊥EF
∠COF=90°
70°
90°
∠BOC=∠BOF+∠COF
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
70°
对顶角相等
∠AOE=70°
∠BOF
CD⊥EF
∠COF=90°
90°
∠BOC=∠BOF+∠COF
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
对顶角相等
∠AOE=70°
∠BOC=∠BOF+∠COF
CD⊥EF
∠COF=90°
70°
90°
∠BOF
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
解：∵CD⊥EF（已知），
∴∠COF=90°（垂直定义）.
∵直线AB，EF相交于点O，∠AOE=70°（已知），
∴∠BOF=∠AOE=70°（对顶角相等）.
∴∠BOC=∠BOF+∠COF=70°+90°=160°
（等量加等量，和相等）.
70°
90°
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
∠BOC？
70°
90°
对顶角相等
∠AOD
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
∠AOE=70°，
∠AOD
∠DOE=90°
70°
90°
∠BOC？
对顶角相等
CD⊥EF
=∠AOE+∠DOE
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
70°
90°
∠AOC+∠BOC=180°
∠BOD+∠BOC=180°
∠BOC？
邻补角互补
∠AOC，∠BOD
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
70°
90°
∠AOE=70°，
∠COE=90°
CD⊥EF
∠AOC
∠BOC？
邻补角互补
=∠COE－∠AOE
方法1：∠BOC=∠BOF+∠COF
方法2：∠BOC=∠AOD=∠AOE+∠DOE
方法3：∠BOC=180°－∠AOC
70°
90°
∠COF=∠DOE=∠COE=∠DOF=90°
CD⊥EF
70°
90°
∠BOC的
邻补角
∠BOC的对顶角
利用邻补角与对顶角的定义画图
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
分析：
对顶角相等
∠2=70°
∠BOC=∠3+∠1
CD⊥EF
∠1=90°
∠3
例
如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，
∠AOE=70°，求∠BOC的度数.
解：∵CD⊥EF（已知），
∴∠1=90°（垂直定义）.
∵直线AB，EF相交于点O，∠2=70°（已知），
∴∠3=∠2=70°（对顶角相等）.
∴∠BOC=∠3+∠1=70°+90°=160°
（等量加等量，和相等）.
邻补角
对顶角
位置关系
（有公共顶点）
一条公共边
另一边互为
反向延长线
两边都互为
反向延长线
数量关系
互补
相等
∠1与∠2
∠1与∠4
∠2与∠3
∠3与∠4
∠1与∠3
∠2与∠4
课堂小结
知一求三
设未知数
列方程
六个等量
关系！
复杂图形
基本图形
∠BOC
邻补角
∠AOC，∠BOD
∠BOC
对顶角
∠AOD
利用邻补角与对顶角的定义画图
A
D
A
D
由已知想可知，由因导果
OA平分∠EOC
∠1=∠2
，∠1=35°
∠2=35°
，∠2=∠3
∠3=35°
分析：
对顶角相等
35°
由未知想需知，执果索因
分析：
70°
90°
∠AOE=70°，
∠AOD
∠DOE=90°
∠BOC？
对顶角相等
CD⊥EF
=∠AOE+∠DOE
由什么条件，
根据什么道理，
得出什么结果！
证明两角
相等方法
角平分线的定义
等量加等量，和相等
等量减等量，差相等
等量的同倍量相等
等量的同分量相等
等量代换
同角（或等角）的余角相等
同角（或等角）的补角相等
对顶角相等
……
1.如图，直线a，b相交于点O，∠1+∠3=100°，
则∠2=
°，∠3=
°，∠4=
°.
课后作业
2.如图，AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的角平分线，∠BOC=120°，求∠AOE的度数.
同学们再见！