苏科版九年级数学上第2 章对称图形——圆 用分类思想讨论圆中的问题学案（含解析）

用分类思想讨论圆中的问题
用分类思想解圆中的问题常常出现在中考题中，这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养学生严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。现收集整理这方面的例题进行分析讨论，供大家参考。
按点与圆的位置关系讨论
例1
在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为
。
解析：
根据点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能。过点P和圆心O作直线分别与⊙O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到P的最长距离和最短距离。
（1）当P点在圆内时如图1（1）直径AB=PA+PB=10㎝
（2）当P点在圆外时如图1（2）直径AB=PA-PB=6㎝
所以⊙O的半径应为5㎝或3㎝
、
例2
⊙O的直径为6㎝，如果直线a上的一点C到点O的距离为3㎝，则直线a与⊙O的位置关系是
。
解析：题目中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线a的距离，所以有如图2两种可能。
（1）当直线a与⊙O仅有一个交点C时，点C到点O的距离为3㎝，它与半径相等。
则此直线为⊙O的切线，交点C为切点。
∴直线a与⊙O相切
如图2（1）
（2）当直线a与⊙O不止个交点时，OC=3
OC是⊙O的半径
∴直线a与⊙O相交
如图2（2）
所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。
按点在弧上的位置关系讨论
例9、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=___________度
解析：由于点B可能在优弧ABC上，也可能在劣AC上，所以有如图6（1）、6（2）两种情况。连接OA、OC，由于PA、PC是⊙0的切线，A、C是切点，∠P=50°，∴∠AOC=1300。
（1）当点B在优弧AC上时，∠ABC=65°，
（2）当点B在劣弧AC上时，∠ABC=（360°－130°）=1150
所以∠ABC=650或115°
例10：在⊙0中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点，判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论。
解析：由于点P可能在优弧CPD上，也可能在劣CD上，有如图7（1）、7（2）两种情况，AB为⊙0的直径，CD为弦，AB⊥CD，这样符合垂径定理的条件，（1）当点P在优弧CPD上时，如图7（1）∠COB=∠CPD。
证明：∵
AB是⊙0的直径，AB⊥CD，
∴弧CD=2弧BC；∠COB=弧BC的度数，
∠CPD=×弧CD的度数=弧BC的度数，
∴∠COB=∠CPD。
（2）当P在劣弧CD上时，如图7（2），∠COB=1800-∠CPD。证明：略。
按圆心与弦的位置关系讨论
例3
⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，求AB与CD之间的距离。
解析：
两平行弦AB、CD可能在圆心O同侧，也可能在圆心O异侧。有如图3两种可能，利用垂径定理可求出OE＝4㎝，
OF＝3㎝
（1）当两平行弦AB、CD可能在圆心O同侧，如图3（1），AB与CD之间的距离为EF=OE-OF=1㎝
（2）当两平行弦AB、CD可能在圆心O异侧如图3（2），AB与CD之间的距离为EF=OE+OF=7㎝
所以AB与CD之间的距离为1㎝或7㎝，
图
4
例4
⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，⊙O1的半径为8，⊙O2的半径为5，公共弦AB=6，求两圆的圆心距。
解析：对两圆相交问题，有的考生往往只考虑两圆的圆心在公共弦两侧的情况即图4（1）的情况，很容易遗漏图4（2）的情况。设连心线O1O2交AB于C，连接O1A、O2A，利用圆的对称性，易知A、B关于O1O2对称，故AC=3，
△AO1C，△AO2C都是直角三角形，由勾股定理可知：O1C==
，O2C==4
（1）当O与O位于公共弦AB异侧时，O1O2=
O1C+O2C=+4
（2）当O与O位于公共弦AB同侧时，O1O2=
O1C-O2C=-4
所以两圆的圆心距为：+4或-4。
说明：两圆相交时，如已知两圆半径及公共弦长，求圆心距，有两种情况（等圆除外）。若如已知两圆半径及圆心距，求公共弦长，有一种情况。
例5
⊙O的半径为1㎝，弦AB=
㎝,AC=
㎝,
则∠BAC=
.
解析：由于弦AB和CD可能在圆心O的同侧,也可能在圆心的异侧,这样有两种可能如图5（1）、5（2）。分别过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。根据垂径定理可知AD=，AE=。在Rt△AOD和Rt△AOE中，OA=1。分别求得∠OAD=300，∠OAE=450。
(1)当AB与AC在圆心O的同侧时，
图5（1）
∠BAC=∠OAE—∠OAD=150
(2)当AB与AC在圆心O的同侧时，
图5（2）
∠BAC=∠OAE+∠OAD=750
所以∠BAC=150或∠BAC=750。
图5
图
6
按弦与其所对弧的位置关系讨论
例10：圆的弦长确好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是
度。
解析：圆中一条弦所对的弦有优弧与劣弧之分，可求出这条弦所对的圆心角为60。
（1）
若圆周角的顶点在劣弧上，则圆周角的度数为：
（360°－60°）=150°
（2）
若圆周角的顶点在优劣上，则圆周角的度数为：
×60°=30，
所以，这条弦所对的圆周角落30°或1500
例11：内接于⊙0，∠AOB=10，则∠ACB=______度。
解析：由于△ABC的形状不确定，有如图8（1）锐角△ABC和如图8（2）钝角△ABC两种情况，根据同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，易得∠ACB=500或1300
图
7
图
8
例12、圆的半径等于2，圆内一条弦长
cm，则弦的中点与弦所弧的中点的距离为
。
A
解析：设⊙0的半径为2cm，
C
弦AB=cm，由图可知，
B
弦AB所对的弧有优弧ACB和劣弧ADB，作直径CD⊥AB于E，则C、E、D分别是相应的中点，连接OA，由垂径定理和勾股定理易求得OE=1
（1）弦的中点与弦所对优弧的中点的距离，CE=2+1=3cm
（2）弦的中点与弦所对优弧的中点的距离，CE=2-1=1
cm
所以：弦的中点与弦所对弧的中点的距离为3cmak
1cm。
按弦与直径位置关系讨论
例13：已知⊙0的直径AB=10，弦CD中的点C到AB的距离为3，点D到AB的距离离为4，则圆心O到弦CD的距离=_________。
解析：由于弦CD的位置不确定，所以有如图10（1）和10（2）两种情况，过点O作OH⊥CD垂足为H，连接OC、OD，由垂径定理可知，CH=DH。
（1）点C、点D在直径AB的同侧，
在中，
在中，，
过点H作于G，∴，∴，，在中。
（2）点C、点D在直径AB的两侧时，
求得，，，不难得到∽，由,DF=4,
∴,
MF=4，∴
又因为∽，
∴。
综上所述圆心O到弦CD的距离为或。
按圆与公切线的位置关系讨论
例14、两圆的半径分别为4和2，如果它们有两条互相垂直的公切线，那么它们的圆心距为=
。
解析：两直线将平面分成4部分，当两直线为两圆的内公切线或外公切线时，有3种不同的情况。
图
10
由图的切线的性质可知：⊥AB，⊥AB
（1）如图10（1），作⊥O1A于C，，，在中，
O1O2=
（2）如图10（2）易得∽
∴，即，又
∴，，在和中，，
∴
（3）如图10（3）由切线长定理可知的延长线经过点O，
∴
综上所述，它们的圆心距为或或。
按圆与圆的位置关系讨论
例6
两圆相切，圆心距是10㎝，其中一圆的半径为4㎝，则另一圆的半径是
。
解析：两圆相切，有内切和外切两种情况，设另一圆的半径是r
（1）当两圆外切时，则
r
+4=10
得r=6
（2）当两圆内切时，则
r
—4=10
得r=14
所以另一圆的半径是6㎝或14㎝。
例7：⊙01的半径为2cm，⊙02的半径为5cm，两圆没有公共点，则两圆的圆心距的取值范围为________。
解析：两圆没有公共点，则⊙01与⊙02有外离或内含两种情况，设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，①两圆外离时，d＞R+r=7，②当两圆内含时，R-r≤d＜R+r，0cm≤d＜3cm。
综上所述：圆心距心距d的取值范围：d＞7或O≤d＜3。
例8：半径例为1cm和2cm两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有
个。
（A）2个
（B）3个
（C）4个
（D）5个
解析：（1）所求圆与已知两圆外切时有2个，分别是图8（1）、（2）
（2）所求圆与一个已知圆内切，另一个已知圆外切各有1个。分别是图8（3）、（4）
（3）所求圆与两已知圆都内切有1个。图8（5）
综上可知，正确的答案为（D）
图8（1）
图8（2）
图8（3）
图8（4）
图8（5）
·O1
·O2
·O3
·O3
·O2
·O1
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