2019-2020学年山东省泰安市岱岳区七年级下学期期中数学试卷（五四学制） （解析版）

2019-2020学年七年级第二学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．解方程组的下列解法中，不正确的是（　　）
A．代入法消去a，由②得a＝b+2
B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3
D．加减法消去b，①+②得3a＝9
2．下列命题是真命题是（　　）
A．两个无理数的和仍是无理数
B．垂线段最短
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．两直线平行，同旁内角相等
3．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　）
A．14°
B．16°
C．90°﹣α
D．α﹣44°
4．下列说法正确的是（　　）
A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件
B．明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是确定事件
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件
D．a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件
5．如图，在4×4的方格中随机撒一颗大小忽略不计的沙粒，撒到阴影部分的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中白球的数量为（　　）个．
A．29
B．30
C．3
D．7
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠BDE的度数是（　　）
A．50°
B．25°
C．30°
D．35°
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）
A．45°
B．60°
C．50°
D．55°
10．若与的和是单项式，则a+b＝（　　）
A．﹣3
B．0
C．3
D．6
11．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A．
B．.
C．
D．
12．如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（　　）
A．114°
B．112°
C．110°
D．108°
二、填空题（只填写最后结果.每小题4分，共24分）
13．已知实数a，b满足方程组，则a2﹣b2的值是　
　．
14．四个实数，，，π中，任取一个数是无理数的概率为　
　．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝130°，则∠A＝　
　．
16．如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠1和∠2应满足的条件是　
　．
17．把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：　
　．
18．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为　
　．
三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤.共7小题，满分78分）
19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，求证：BD平分∠ADC．
20．解下列方程组
（1）；
（2）；
（3）．
21．有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．
（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是　
　颜色；
（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；
（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求的∠3度数．
23．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：
品名
猕猴桃
芒果
批发价（元/千克）
20
40
零售价（元/千克）
26
50
（1）他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？
（2）如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？
24．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
25．暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的三段函数图象如图．
（1）三段图象中，小刚行驶的速度最慢的是多少？
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或者选出的答案超过一个，均记零分，共48分.）
1．解方程组的下列解法中，不正确的是（　　）
A．代入法消去a，由②得a＝b+2
B．代入法消去b，由①得b＝7﹣2a
C．加减法消去a，①﹣②×2得2b＝3
D．加减法消去b，①+②得3a＝9
【分析】利用加减消元法判断即可．
解：A、代入法消去a，由②得a＝b+2，选项正确，不符合题意；
B、代入法消去b，由①得b＝7﹣2a，选项正确，不符合题意；
C、加减法消去a，①﹣②×2得3b＝3，选项错误，符合题意；
D、加减法消去b，①+②得3a＝9，选项正确，不符合题意；
故选：C．
2．下列命题是真命题是（　　）
A．两个无理数的和仍是无理数
B．垂线段最短
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】分别对各个命题进行判断，即可得出结论．
解：A、∵+（﹣）＝0，
∴两个无理数的和仍是无理数，是假命题；
B、垂线段最短，是真命题；
C、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，
∴垂直于同一直线的两条直线平行，是假命题；
D、∵两直线平行，同旁内角互补，
∴两直线平行，同旁内角相等，是假命题；
故选：B．
3．如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为（　　）
A．14°
B．16°
C．90°﹣α
D．α﹣44°
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝44°，再根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，进而得出∠1＝44°﹣30°＝14°．
解：如图，∵矩形的对边平行，
∴∠2＝∠3＝44°，
根据三角形外角性质，可得∠3＝∠1+30°，
∴∠1＝44°﹣30°＝14°，
故选：A．
4．下列说法正确的是（　　）
A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件
B．明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是确定事件
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件
D．a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件
【分析】利用随机事件及必然事件的定义确定正确的选项即可．
解：A、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是随机事件，故原命题错误；
B、明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是随机事件，故原命题错误；
C、篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件，正确；
D、a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故原命题错误；
故选：C．
5．如图，在4×4的方格中随机撒一颗大小忽略不计的沙粒，撒到阴影部分的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】用阴影部分的面积除以总面积即可得．
解：∵此方格网的总面积为16，其中阴影部分的面积为×3×2＝3，
∴随机撒一颗大小忽略不计的沙粒，撒到阴影部分的概率是，
故选：C．
6．足球比赛中，每场比赛都要分出胜负每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x负的场数为y，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设这个队胜x场，负y场，根据在8场比赛中得到12分，列方程组即可．
解：设这个队胜x场，负y场，
根据题意，得．
故选：A．
7．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中白球的数量为（　　）个．
A．29
B．30
C．3
D．7
【分析】根据题意，可以计算出红球出现的概率，从而可以得到白球出现的概率，从而可以求得白球的个数，本题得以解决．
解：∵71÷100≈0.7，
∴白球的数量为：10×（1﹣0.7）＝10×0.3＝3（个），
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则∠BDE的度数是（　　）
A．50°
B．25°
C．30°
D．35°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC，再利用角平分线的性质求出∠DBC，利用平行线的性质即可解决问题．
解：∵∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝25°，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　）
A．45°
B．60°
C．50°
D．55°
【分析】想办法求出∠AED，再利用三角形的外角的性质求解即可．
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
10．若与的和是单项式，则a+b＝（　　）
A．﹣3
B．0
C．3
D．6
【分析】根据题意，利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
解：根据题意可得：，
解得：，
所以a+b＝3+0＝3，
故选：C．
11．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x，y的二元一次方程组的解是（　　）
A．
B．.
C．
D．
【分析】先利用y＝x+2确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
解：把P（m，4）代入y＝x+2得m+2＝4，解得m＝2，
所以P点坐标为（2，4），
所以关于x，y的二元一次方程组的解是．
故选：D．
12．如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（　　）
A．114°
B．112°
C．110°
D．108°
【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC与∠C互补，由三角形的内角和为180°可求出∠C的度数，从而得出∠MNC的度数，由折叠的性质可知∠A′NM与∠MNC互补，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入数据即可得出结论．
解：∵MN∥BC，
∴∠MNC+∠C＝180°，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，
∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．
由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，
∴∠A′NM＝36°，
∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．
故选：D．
二、填空题（只填写最后结果.每小题4分，共24分）
13．已知实数a，b满足方程组，则a2﹣b2的值是　﹣3　．
【分析】方程组两方程相加减求出a+b与a﹣b的值，原式分解后代入计算即可求出值．
解：，
①﹣②得：a﹣b＝﹣1，
①+②得：5a+5b＝15，即a+b＝3，
则原式＝（a+b）（a﹣b）＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．四个实数，，，π中，任取一个数是无理数的概率为　　．
【分析】根据题目中的数字，可以判断其中有几个无理数，从而可以求得任取一个数是无理数的概率．
解：在，，，π四个实数中，无理数为，π，共2个，
故任取一个数是无理数的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC＝130°，则∠A＝　80°　．
【分析】直接利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠BOC＝90°+∠A，进而得出答案．
解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠OBC+2∠OCB+∠A＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，
又∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴90°﹣∠A+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝90°+∠A，
∵∠BOC＝130°，
∴90°+∠A＝130°，
解得：∠A＝80°．
故答案为：80°．
16．如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，要使AB∥CD，则∠1和∠2应满足的条件是　∠1和∠2互余　．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD＝180°，再根据角平分线的定义求出∠EAC+∠ECA＝90°，然后求出∠E＝90°，即可求得∠1和∠2的关系．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
∴∠EAC+∠ECA＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠E＝90°，
则∠1+∠2＝90°．
故答案是：∠1和∠2互余．
17．把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：　如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形　．
【分析】分清题目的已知与结论，即可解答．
解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，
故答案为：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．
18．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为　75　．
【分析】本题要注意观察同等位置数字的变化规律，以及每个图形中各位置数字变化规律．
解：观察每个图形最上边正方形中数字规律为1，3，5，7，9，11．左下角数字变化规律依次乘2为：2，22，23，24，25，26．所以，b＝26观察数字关系可以发现，．右下角数字等于前同图形两个数字之和．所以a＝26+11＝75
故答案为：75
三、解答题（要求写出必要的计算过程、证明过程或推理步骤.共7小题，满分78分）
19．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，求证：BD平分∠ADC．
【分析】由AB＝AD可得出∠ADB＝∠ABD，由AB∥DC，利用“两直线平行，内错角相等”可找出∠ABD＝∠BDC，结合∠ADB＝∠ABD可得出∠ADB＝∠BDC，进而可证出BD平分∠ADC．
【解答】证明：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD．
又∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC，即BD平分∠ADC．
20．解下列方程组
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解：（1），
由①得，y＝3x﹣7，
将③代入②得：5x+2（3x﹣7）＝8，
解得：x＝2，
将x＝2
代入③得：y＝﹣1，
则原方程组的解为；
（2），
①×3+②得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝3，
则方程组的解为；
（3）方程组整理得：，
①+②得：10x＝30，
解得：x＝3，
①﹣②得：6y＝0，
解得：y＝0，
则方程组的解为．
21．有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．
（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是　白色　颜色；
（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；
（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？
【分析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色；
（2）利用概率公式直接计算即可；
（3）公平，因为白色球的数量和黄色乒乓球以及红色乒乓球的数量一样多．
解：（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色
故答案为：白；
（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．
所以P（摸到白球）＝，P（摸到黄球）＝，P（摸到红球）＝；
（3）答：公平．因为P（摸到白球）＝，P（摸到其他球）＝，
所以公平．
22．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求的∠3度数．
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2＝∠BCD，再根据∠1＝∠2即可得出∠1＝∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；
（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DG即可得出∠3＝∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B＝54°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠2＝36°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+36°＝71°．
23．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，后再到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示：
品名
猕猴桃
芒果
批发价（元/千克）
20
40
零售价（元/千克）
26
50
（1）他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？
（2）如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？
【分析】（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，由总价＝单价×数量结合老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论．
解：（1）设购进猕猴桃x千克，购进芒果y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克．
（2）26×20+50×30﹣1600＝420（元）．
答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚420元钱．
24．如图，在△ABC中，AD，AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小；
（2）若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE＝15°，再利用角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝30°，然后根据高的定义和互余可求出∠BAF的度数；
（2）先根据中线定义得到BC＝2BD＝10，然后利用三角形面积公式求AF的长．
解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE＝40°﹣25°＝15°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝30°，
∵AF为高，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣30°＝60°；
（2）∵AD为中线，
∴BD＝CD＝5，
∵S△ABC＝AF?BC，
∴AF＝＝8．
25．暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的三段函数图象如图．
（1）三段图象中，小刚行驶的速度最慢的是多少？
（2）求线段AB对应的函数表达式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
【分析】（1）观察图象，分别求出个部分的速度即可得出结论；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）先将x＝2.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，进一步即可求解．
解：（1）OA段小刚行驶的速度为：80÷1＝80（km/h），
AB段小刚行驶的速度为：（320﹣80）÷2＝120（km/h），
BC段小刚行驶的速度为：（380﹣320）÷1＝60（km/h），
∴BC段小刚行驶的速度最慢，为60（km/h）．
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b．
∵A（1，80），B（3，320）在AB上，
∴，解得，
∴y＝120x﹣40（1≤x≤3）．
（3）当x＝2.5时，
y＝120×2.5﹣40＝260，
380﹣260＝120（km）．
故小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．