1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
类型一 旋转体的结构特征
例1 给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
跟踪训练1 判断下列各命题是否正确．
(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(2)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(3)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
类型二 简单组合体
例2 观察下列几何体的结构特点，完成以下问题：
(1)几何体①是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，使得旋转该图形180°后得到几何体①.
(2)几何体②的结构特点是什么？试画出几何图形，使得旋转该图形360°得到几何体②.
(3)几何体③是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、顶点数．
跟踪训练2 下列组合体是由哪些几何体组成的？
类型三 旋转体的侧面展开图
例3 如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
跟踪训练3 若例3中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？
【巩固提升】
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
2．下列说法正确的有( )
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转所得的几何体是( )
A．圆台
B．圆锥
C．圆柱
D．球
4．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的( )
5．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
二、填空题
6．下列说法正确的是________．
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边所在直线旋转形成；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．
7．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是________．
8．两相邻边长分别为3
cm和4
cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．
三、解答题
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，它绕AB边所在直线旋转一周后形成的几何体结构如何？
10．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
11．我国古代名著《数书九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好与圆木顶部平齐，问葛藤最短长多少尺？”(注：1丈等于10尺)则葛藤最短为( )
A．29尺
B．24尺
C．26尺
D．30尺
12．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为________．
13．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
14．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征答案
类型一 旋转体的结构特征
例1
【解析】 (1)正确，圆柱的底面是圆面．
(2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
(3)不正确，圆台的母线延长相交于一点；
(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
【答案】 (1)(2)
跟踪训练1
解析：
(1)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(2)正确．
(3)错误．应为球面．
类型二 简单组合体
例2
【解析】 (1)几何体①是由圆锥和圆台组合而成的．可旋转如下图(a)180°得到几何体①.
(2)几何体②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥而得到，且圆锥的顶点恰为圆台底面圆的圆心．
可旋转如图(b)360°得到几何体②.
(3)几何体③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面相同．
该几何体共有9个面、9个顶点、16条棱.
跟踪训练2
解析：(1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．
(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．
(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．
类型三 旋转体的侧面展开图
例3 【解析】 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝＝＝2，
∴蚂蚁爬行的最短距离为2.
跟踪训练3 解析：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求，AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，
∴AB′＝＝＝2.
所以蚂蚁爬行的最短距离为2.
[巩固提升]
一、选择题
1．
解析：对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面．
对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线．
对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．
答案：C
2．
解析：①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．
答案：C
3．
解析：由题意可得AD⊥BC，且BD＝CD，
所以形成的几何体是圆锥．故选B.
答案：B
4．
解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.
答案：A
5．
解析：一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.
答案：B
二、填空题
6．
解析：①错，圆台是直角梯形绕其直角边所在直线或等腰梯形绕其底边的中线所在直线旋转形成的；由母线的定义知②错；③正确．
答案：③
7．解析：设圆台的高为h，则h＝＝9，
∴轴截面面积S＝(4＋10)×9＝63.
答案：63
8．解析：当以3
cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3
cm，底面半径为4
cm；
当以4
cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4
cm，底面半径为3
cm.
答案：3
cm,4
cm或4
cm,3
cm
三、解答题
9．解析：旋转后的几何体结构如下：是一个大圆锥挖去了一个同底面的小圆锥．
10．
解析：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
11．
解析：由题意，圆木的侧面展开图是矩形，将圆木侧面展开两次，则一条直角边(即圆木的高)长为24尺，其邻边长为5×2＝10(尺)，因此葛藤最短为＝26(尺)．
答案：C
12．解析：过直角顶点向斜边作垂线，则由旋转体的定义可知，该直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的几何体是由两个共底面(底面半径为)的圆锥组成的组合体.
答案：由两个共底面(底面半径为)的圆锥组成的组合体
13．
解析：如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h
cm，截得该圆台的圆锥的母线长为x
cm，由条件可得圆台
上底半径r′＝2
cm，下底半径r＝5
cm.
(1)由勾股定理得h＝＝3
(cm)．
(2)由三角形相似得：＝，
解得x＝20
(cm)．
14．解析：图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1 (1)下列命题中正确的是________．(填序号)
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
①这是一个六面体.
②这是一个四棱台.
③这是一个四棱柱.
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
跟踪训练1 (1)棱台不具备的特点是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等
D．侧棱延长后都交于一点
(2)给出下列几个命题，其中错误的命题是( )
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点
C．多面体至少有四个面
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
类型二 简单几何体的判定
例2
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
跟踪训练2 如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
【巩固提升】
一、选择题
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2．下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是( )
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥
3．下列实物不能近似看成多面体的是( )
A．钻石
B．粉笔盒
C．篮球
D．金字塔
4．下列三种叙述，正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
二、填空题
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
7．下列几个命题：
①棱柱的底面一定是平行四边形；
②棱锥的底面一定是三角形；
③棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱．
其中正确的是________．(填序号)
8．下列说法正确的有________．
①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
④多面体至少有四个面．
三、解答题
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
10.如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
11．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南
B．北
C．西
D．下
12．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．
侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体．
侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体．
底面是矩形的直平行六面体叫作长方体．
棱长都相等的长方体叫作正方体．
请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)：
(1)直四棱柱________是长方体；
(2)正四棱柱________是正方体．
13．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
14．如图所示，长方体的长、宽、高分别为5
cm,4
cm,3
cm.一只蚂蚁从A点到C1点沿着表面爬行的最短路程是多少？
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征答案
类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1【答案】 (1)③④ (2)①③④⑤
跟踪训练1 答案：(1)C (2)D
类型二 简单几何体的判定
例2 【解析】 (1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.
跟踪训练2
解析：这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
[巩固提升]
1．解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.
答案：C
2．
选项A正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；选项B正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；选项C正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；选项D错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
答案：D
3．
解析：钻石、粉笔盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多边形，所以它们都能近似看成多面体．篮球的表面不是平面多边形，故不能近似看成多面体．
答案：C
4．
解析：本题考查棱台的结构特征，①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.
答案：A
5．
解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．
答案：D
6．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．
答案：4 8
7．解析：①棱柱的底面可以为任意多边形．②棱锥的底面可以为四边形、五边形等．
答案：③
8．
解析：棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故①对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故②错，③对．④显然正确．因而正确的有①③④.
答案：①③④
9．
解析：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥．
(3)这是一个三棱台．
10.解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)
11．
解析：将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．
答案：B
12．
解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体．
答案：(1)不一定 (2)不一定
13．
解析：画三棱台一定要利用三棱锥．
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一个多面体是B′C′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.
14．解析：依题意，长方体ABCD－A1B1C1D1
的表面可有如图所示的三种展开图．
展开后，A，C1两点间的距离分别为：＝
(cm)，＝4
(cm)，＝3
(cm)，三者比较得
cm为蚂蚁从A点沿表面爬行到C1点的最短路程．
